鐵道車輛車體橫向低頻異?；蝿犹骄?/h1>
2022-09-19 02:20:06陳迪來晏瑩暉
應(yīng)用技術(shù)學(xué)報 2022年3期
陳迪來，曹 委，楊 超，何 偉，晏瑩暉，晏 月
（1. 上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 軌道交通學(xué)院，上海 201418；2. 中國鐵路廣州局有限公司，廣州 510088；3. 復(fù)旦大學(xué) 工程與應(yīng)用技術(shù)研究院，上海 200433）
某些地鐵車輛在運行過程中會出現(xiàn)橫向低頻異?；蝿?，這種情況會降低乘客的乘坐舒適性，帶來不佳的乘車體驗[1]。導(dǎo)致此現(xiàn)象的因素比較多，但其主要因素還是轉(zhuǎn)向架蛇行（同相或反相）振動和車體自身振動的相互作用，該現(xiàn)象也稱做這2種振型之間的耦合振動[2]。車體固有頻率（如上、下心滾擺、橫移和搖頭振動頻率）幾乎不隨車輛運行速度的變化而發(fā)生改變，且車體振動頻率較低，大約在2 Hz以下。而轉(zhuǎn)向架蛇行運動頻率卻隨車輛運行速度的增加而增加，也就是說，車輛運行速度越快，轉(zhuǎn)向架蛇行振動頻率也就越高。當(dāng)某速度范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)向架蛇行運動頻率與車體振動頻率相接近時，就可能發(fā)生共振現(xiàn)象。
針對此問題，許多學(xué)者進行了大量的研究試驗。張洪[3]從模態(tài)參數(shù)識別角度對客車的異?；蝿诱归_了研究，認為造成該現(xiàn)象的原因是車輛系統(tǒng)中某些參數(shù)的阻尼較小。黃彩虹等[4]從對于車體蛇行穩(wěn)定性的研究測試中，得出輪軌條件和懸掛參數(shù)是造成蛇行運動不穩(wěn)定的主要因素。周勁松等[5]通過搭建數(shù)學(xué)模型并運用車體模態(tài)參數(shù)和協(xié)方差的方法，對車輛穩(wěn)定性進行分析，得出二系橫向剛度和二系橫向阻尼直接影響車輛運行時的平穩(wěn)性的結(jié)論。陳迪來等[6]在搭建某地鐵車輛線性模型的基礎(chǔ)上再利用模糊教學(xué)的歐氏貼進度對不同速度下各振動模態(tài)進行識別，當(dāng)歐氏貼進度判斷出2種振型的貼近度為1，則說明2種振型相似，屬于同一類振型，因此利用歐氏貼進度可以對有多個自由度的車輛系統(tǒng)進行自動識別和跟蹤。陸威宏等[7]運用模糊教學(xué)的最大隸屬度原則對相似度較高的模態(tài)參數(shù)進行自動識別并歸類，有利于在研究中對模態(tài)參數(shù)的追蹤。李艷[8]通過搭建車輛系統(tǒng)模型并運用敏感性分析法的方式，研究車輛懸掛參數(shù)和阻尼對車體運行時的平穩(wěn)性影響。王賀鵬[9]從模態(tài)識別的角度對車輛系統(tǒng)的振動問題進行研究，運用有限元仿真分析法盡量避免車體振型頻率和轉(zhuǎn)向架蛇行振型頻率發(fā)生同步振動。孫善超等[10]建立多體仿真模型，指出輪軌關(guān)系不匹配可能導(dǎo)致轉(zhuǎn)向架蛇行阻尼因子太小，造成車輛發(fā)生晃車的狀況。宗聰聰[11]從車輛系統(tǒng)的強迫振動出發(fā)，利用機械振動的同步理論和歐氏貼近度概念判斷各振型的相似性，實現(xiàn)對不同振型頻率的跟蹤與識別。Wnicki[12]通過比較不同踏面等效錐度下的車輛運行平穩(wěn)性，發(fā)現(xiàn)較低的踏面等效錐度更容易造成轉(zhuǎn)向架蛇行的不穩(wěn)定。Suarez等[13]通過Pareto方法優(yōu)化了轉(zhuǎn)向架橫向阻尼，降低了車輛的橫向加速度，結(jié)合磨耗車輪和鋼軌的特征，通過優(yōu)化被動阻尼改善了乘客的舒適性。Perzold[14]對比了實際運行中的車輛和試驗臺上的車輛系統(tǒng)仿真模型，然后研究了不同條件下轉(zhuǎn)向架蛇行振動頻率和阻尼比隨速度變化的情況。
針對地鐵車輛的橫向低頻異常晃動，本文從模態(tài)識別角度出發(fā)，根據(jù)歐氏貼進度的概念對車輛系統(tǒng)中不同的振動模態(tài)進行追蹤，得出車輛系統(tǒng)各模態(tài)和阻尼比在不同速度下的變化趨勢，并分析地鐵車輛橫向低頻異?；蝿拥脑?，再借助通過耦合度的概念來優(yōu)化車輛系統(tǒng)的懸掛參數(shù)，以消除車體橫向低頻晃動現(xiàn)象。
1 車輛自由振動系統(tǒng)的特征值與特征向量
假設(shè)某地鐵車輛處于理想狀態(tài)并且在某速度v下運行，其自由振動線性方程為：
式中：[M]為自由振動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；[C]為阻尼矩陣； [K]為剛度矩陣；{q}為廣義坐標向量；[Cwr]、[Kwr]表示與輪軌接觸參數(shù)有關(guān)的矩陣。
將式（1）降為一階常微分方程，得到:
將式（2）代入式（1），將其轉(zhuǎn)化為:
式中：{q}為n維列向量；{y}為{q}的降階，為2n維列向量；[A]稱為系統(tǒng)矩陣，是2n階方陣。
將式（2）和式（4）代入式（3）中，得：
式（5）是一個齊次線性代數(shù)方程組，它有非零的充分必要條件為系數(shù)矩陣[[A]-λ[I]]的行列式為零，即：
由式（6）所得到的解λ就是矩陣[A]的特征值，也是系統(tǒng)的特征值。因為矩陣[A]為2n階方陣，所以可以求得2n個特征值，它們分別為λ1,λ2,···,λ2n。
由式（6）所得到的特征值λ的普遍形式是一對共軛復(fù)數(shù)：
當(dāng)特征值共軛時取1個即可。對于每一特征值，其自由振動系統(tǒng)的解的形式如下：
式中：Aj為 振幅，且；αj為衰減系數(shù)；βj為模態(tài)振動頻率（有阻尼頻率）；?j為相位角，且?j=arctan(dj/cj)。
根據(jù)衰減系數(shù)αj的數(shù)值，可將系統(tǒng)狀態(tài)分為3種情況：
（1）αj＞0，系統(tǒng)的振幅將隨時間t的改變而不斷增大，系統(tǒng)屬于失穩(wěn)狀態(tài)。
（2）αj=0，系統(tǒng)的振幅是定值，不隨時間t的改變而改變，系統(tǒng)屬于臨界狀態(tài)。
（3）αj＜0，系統(tǒng)的振幅將隨時間t的改變而連續(xù)衰減，系統(tǒng)屬于穩(wěn)定狀態(tài)。
振動模態(tài)的阻尼率可由下式求得：
系統(tǒng)的自振頻率（無阻尼頻率）的計算方法為
在特定參數(shù)下，對矩陣求解其特征值和特征向量時，當(dāng)特征值的虛部為零時，應(yīng)該將其舍棄，得到a個b維共軛復(fù)數(shù)的特征向量：
忽略相位角的超前和滯后，可得
即ψi=[|φi1||φi2|···|φib|]T。
綜上所述，在固定速度為v的情況下，表1所示為車輛各模態(tài)振型的特征向量。
表1 車輛各模態(tài)特征向量Tab. 1 The eigenvectors of various modes of the vehicle
2 車輛系統(tǒng)建模及模態(tài)追蹤
對一個比較復(fù)雜的多自由度系統(tǒng)的研究，一般采用數(shù)值計算模擬，也就是把實際的系統(tǒng)簡化為抽象的物理模型，并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來求解。同理，車輛系統(tǒng)也是一個多自由度系統(tǒng)，共23個自由度，如表2所示。在車體橫向低頻晃動的分析中，可建立整車多剛體線性化模型。
表2 某地鐵車輛系統(tǒng)模型自由度Tab. 2 Degrees of freedom of a subway vehicle system model
對具有多自由度的系統(tǒng)進行動力學(xué)求解時，可以使用矩陣組裝法。先對慣量、阻尼、剛度較簡單的自由度進行組裝，再利用相同的方法，對整個車輛系統(tǒng)進行組裝。慣量、阻尼、剛度系數(shù)矩陣如下所示：
式中：[M]為自由振動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；[C]為阻尼矩陣；[K]為剛度矩陣。
在模糊集合中，把相似性較大的子集歸為同一個集合。通常，子集之間越相似，它們之間的距離就越近，反之，它們之間的距離就越遠。但僅僅依據(jù)距離來判斷某集合內(nèi)部的相似程度是不準確的。研究人員在此基礎(chǔ)上提出了歐氏貼進度的概念[12]。
假設(shè)A、B為2個模糊集合，則歐氏距離為：
式中：n為集合的維數(shù)；A={a1,a2,···,an}，ai∈A，ai≥A；B={b1,b2,···,bn}，bi∈B，bi≥B。
數(shù)學(xué)中，2個值之間的差越小，它們就離的越近，但是，在歐氏距離中恰恰相反，差越大，集合之間越接近，即
式中：N(A,B)為歐氏貼進度，由式（16）可知，N(A,B)越大，集合A，B越接近，N(A,B)越小，說明A、B差異性就越大。
可以用歐氏貼進度來進行模糊識別。以下是表示特征向量的相似度公式:
式中：N_Y為計算出的振型A和B的振幅貼進度；N_ψ為計算出振型A和B的相位角貼進度；α、β分別為振型A和振型B的相似性振幅、相位角所占的權(quán)重；N為計算得到2個振型的綜合貼進度；ω為振幅在綜合貼進度中貢獻的比例值。
依據(jù)歐氏貼進度的定義，假設(shè)Nij中 的第j列的第i個數(shù)最大，可以得出參數(shù)v1的第i個模態(tài)振型與參數(shù)v2的第j個模態(tài)振型最接近，因此可以判斷參數(shù)v1的第i個模態(tài)振型與參數(shù)v2的第j個模態(tài)振型相似。
3 車體橫向低頻晃動原因分析
建立某地鐵車輛系統(tǒng)的模型，運用MATLAB軟件對車輛各剛體模態(tài)進行追蹤。仿真速度為1～120 km/h，速度變化幅度不宜過大[6]。轉(zhuǎn)向架蛇行（同相或反相）振動、車體上心滾擺和車體搖頭是導(dǎo)致車體橫向低頻振動的主要因素，實驗將從這4種振動模態(tài)出發(fā)，進行模態(tài)追蹤分析。利用控制變量法，保持其他參數(shù)不變，通過改變踏面等效錐度，觀察在不同速度下轉(zhuǎn)向架蛇行和車體振動模態(tài)的變化趨勢。
如圖1～圖3所示，車體上心滾擺振型頻率和車體搖頭頻率幾乎不隨速度的變化而變化。在0.7～0.8 Hz范圍內(nèi)，車體搖頭比上心滾擺微大，轉(zhuǎn)向架蛇行（同相或反相）振動頻率隨速度的增加而增加，幾乎呈線性關(guān)系；且隨著踏面等效錐度的增大，線性關(guān)系越明顯，振動頻率越大，踏面錐度由0.1時的1.9增加到0.3時的4.1。在某一速度范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)向架蛇行振動頻率（同相或反相）與車體上心滾擺振動和搖頭頻率相接近或相等時，認為這時2種模態(tài)的歐氏貼進度接近于1，從而導(dǎo)致2種模態(tài)發(fā)生共振并相互作用，造成車體低頻異?；蝿蝇F(xiàn)象。在圖1中，踏面等效錐度為0.1時，轉(zhuǎn)向架蛇行振動與車體振動相互作用的速度范圍大，隨踏面等效錐度的增加，2種模態(tài)振型發(fā)生共振時的速度范圍減小。等效錐度為0.1時，發(fā)生共振的速度為40～70 km/h；等效錐度為0.2時，發(fā)生共振的速度為30～40 km/h；等效錐度為0.3時，發(fā)生共振的速度為22～30 km/h。發(fā)生共振時的速度隨踏面等效錐度的增加而降低。不同踏面等效錐度下，各模態(tài)阻尼比的圖像變化趨勢大致相似，車體搖頭的阻尼比明顯比車體上心滾擺的阻尼比大，且車體搖頭阻尼比先變小后增大，車體上心滾擺隨速度的變化呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢，兩者最后幾乎維持一個值保持不變。當(dāng)轉(zhuǎn)向架蛇行振動頻率與車體頻率發(fā)生共振現(xiàn)象時，在與之對應(yīng)的速度范圍下，各振動模態(tài)的阻尼比出現(xiàn)劇烈的變化趨勢。阻尼比出現(xiàn)劇烈變化可能會引起相應(yīng)的模態(tài)振型不穩(wěn)定，從而造成車輛出現(xiàn)不穩(wěn)當(dāng)?shù)恼駝?。分?種等效錐度下的各振型模態(tài)的頻率和阻尼比變化曲線圖得出，等效錐度不同，其發(fā)生共振時的速度范圍不同，但發(fā)生共振時的頻率卻幾乎相同，都大約為0.8 Hz。
圖1 踏面等效錐度為0.1的頻率、阻尼比速度圖像Fig. 1 The frequency and damping ratio speed image of the tread equivalent taper of 0.1
圖3 踏面等效錐度為0.3的頻率、阻尼比速度圖像Fig. 3 The frequency and damping ratio speed image of the tread equivalent taper of 0.3
為了驗證前面的模態(tài)追蹤的準確性，選取踏面等效錐度為0.2，速度分別為70和30 km/h時，車體上心滾擺和轉(zhuǎn)向架蛇行（同相）振動模態(tài)的車輛系統(tǒng)23各自由度的振幅變化進行研究。由上述分析可知，踏面等效錐度為0.2時發(fā)生共振的速度范圍為30～40 km/h。如圖4和圖5所示，仿真運行速度為70 km/h時，車體上心滾擺模態(tài)的和轉(zhuǎn)向架蛇行（同相）模態(tài)的各自由度振幅變化差異較大；而在速度為30 km/h時，車體上心滾擺模態(tài)的振幅和轉(zhuǎn)向架蛇行（同相）模態(tài)振幅非常接近。這與圖2的內(nèi)容一致。根據(jù)歐氏貼進度的概念，此時2種振型相似，從而導(dǎo)致其相互作用，發(fā)生耦合共振，在該情況下，車體就會發(fā)生低頻異常晃動。
圖2 踏面等效錐度為0.2的頻率、阻尼比速度圖像Fig. 2 The frequency and damping ratio velocity image of the tread equivalent taper of 0.2
圖4 仿真速度70 km/h的模態(tài)振型Fig. 4 Modal amplitude of simulation speed 70 km/h
圖5 仿真速度30 km/h的模態(tài)振型Fig. 5 Modal amplitude of simulation speed 30 km/h
4 參數(shù)優(yōu)化
4.1 耦合度的概念
耦合度指的是多個振動系統(tǒng)共同振動時，它們之間會相互影響，同時還會相互作用。對車輛系統(tǒng)來說，整個系統(tǒng)各模態(tài)同時振動時，把它們之間的模態(tài)耦合度看成是一個整體，得到一個系統(tǒng)耦合度：
式中：Cij表示第i個模態(tài)和第j個模態(tài)之間的耦合度；ωij為各模態(tài)在系統(tǒng)耦合度中的所占的權(quán)重系數(shù)。
以耦合度為標準來判斷各模態(tài)振型之間發(fā)生共振程度的大小。如果耦合度大，說明振型之間的相互作用大，即發(fā)生共振現(xiàn)象的幾率大；反之，則發(fā)生共振的幾率就小。
圖6為3種不同等效錐度條件下耦合度隨速度的變化曲線圖，初始的等效耦合度幾乎相等，隨著速度的增加，耦合度都是先增大，在某個速度時，其耦合度達到最大。隨著等效錐度的增大，耦合度的最大值減小。說明等效錐度越小時，耦合度越大，從而越容易發(fā)生共振現(xiàn)象，導(dǎo)致車體發(fā)生晃車現(xiàn)象。
圖6 不同等效錐度下的耦合度變化圖Fig. 6 Coupling degree change diagram under different equivalent tapers
4.2 參數(shù)優(yōu)化
通過優(yōu)化參數(shù)的方法來降低耦合度的大小。利用控制變量法，不斷改變阻尼和剛度相關(guān)參數(shù)，并進行仿真分析，得出最優(yōu)參數(shù)。對阻尼參數(shù)中的二系橫向阻尼和剛度中的抗側(cè)滾扭桿2種參數(shù)進行進一步優(yōu)化，將二系橫向阻尼由58 kNm/s增大到100 kNm/s，抗側(cè)滾扭桿由1.5 Nm/rad減小到0.05 Nm/rad。優(yōu)化后的仿真結(jié)果如圖7所示。
圖7 優(yōu)化后的頻率-阻尼比與速度的圖像Fig. 7 The optimized frequency-damping ratio and speed image
圖7是踏面等效錐度為0.2時參數(shù)優(yōu)化后的頻率、阻尼比和速度的圖像。與同等效錐度下參數(shù)未經(jīng)優(yōu)化時比較，在某個速度時，轉(zhuǎn)向架蛇行（同相或反相）振動與車體的上心滾擺和搖頭振動頻率還是會相交，卻沒有明顯的耦合現(xiàn)象。且各個模態(tài)振型的阻尼比沒有發(fā)生劇烈的上升或者下降的趨勢，隨速度的變化較平緩穩(wěn)定。車體上心滾擺從19%增加到28%，車體搖頭從37%左右增大到75%，隨著阻尼比的增加，車輛橫向低頻異?；蝿拥默F(xiàn)象減少。
經(jīng)過參數(shù)優(yōu)化后，如圖8所示，速度增大的整個過程中，每一個速度下的耦合度都明顯減小了，優(yōu)化前的最大耦合度為90，優(yōu)化后的耦合度為82，大約減小了9%。說明參數(shù)的優(yōu)化有效地降低了整個車輛系統(tǒng)的耦合度，同時整個系統(tǒng)發(fā)生共振的狀況也相對降低。
圖8 等效錐度0.2時優(yōu)化后的耦合度-速度變化圖Fig. 8 Optimized coupling degree-speed change diagram with equivalent taper 0.2
5 結(jié) 語
根據(jù)歐氏貼進度的定義，在模態(tài)的追蹤分析中，對模態(tài)進行自動識別和追蹤，得出各模態(tài)振型的頻率、阻尼在不同速度下變化的曲線圖。車體上心滾擺和車體搖頭振型頻率不隨速度的改變而發(fā)生改變，是車輛系統(tǒng)本身固有的振型頻率；而轉(zhuǎn)向架蛇行（同相或反相）振型頻率基本隨速度的增加呈線性增加趨勢。轉(zhuǎn)向架蛇行振型頻率和車體振型頻率相近時會發(fā)生共振現(xiàn)象，轉(zhuǎn)向架蛇行（同相）振型與車體上心滾擺更容易發(fā)生共振現(xiàn)象；而轉(zhuǎn)向架蛇行（反相）與車體搖頭更容易發(fā)生共振，2種振型發(fā)生共振時，對阻尼比的影響很大，會發(fā)生急劇增加或減小的狀況，很有可能引起地鐵車輛的橫向低頻晃動。通過耦合度的大小來判斷發(fā)生共振的明顯程度，耦合度越大說明車輛系統(tǒng)發(fā)生共振的幾率越大。進一步對參數(shù)進行優(yōu)化來降低車輛系統(tǒng)的耦合度大小，利用控制變量法得出最佳模擬參數(shù)。本研究可為地鐵車輛運行中的低頻異常現(xiàn)象及其原因和解決思路提供參考，從而幫助解決部分地鐵車輛的晃車問題。
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（1. 上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 軌道交通學(xué)院，上海 201418；2. 中國鐵路廣州局有限公司，廣州 510088；3. 復(fù)旦大學(xué) 工程與應(yīng)用技術(shù)研究院，上海 200433）
某些地鐵車輛在運行過程中會出現(xiàn)橫向低頻異?；蝿?，這種情況會降低乘客的乘坐舒適性，帶來不佳的乘車體驗[1]。導(dǎo)致此現(xiàn)象的因素比較多，但其主要因素還是轉(zhuǎn)向架蛇行（同相或反相）振動和車體自身振動的相互作用，該現(xiàn)象也稱做這2種振型之間的耦合振動[2]。車體固有頻率（如上、下心滾擺、橫移和搖頭振動頻率）幾乎不隨車輛運行速度的變化而發(fā)生改變，且車體振動頻率較低，大約在2 Hz以下。而轉(zhuǎn)向架蛇行運動頻率卻隨車輛運行速度的增加而增加，也就是說，車輛運行速度越快，轉(zhuǎn)向架蛇行振動頻率也就越高。當(dāng)某速度范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)向架蛇行運動頻率與車體振動頻率相接近時，就可能發(fā)生共振現(xiàn)象。
針對此問題，許多學(xué)者進行了大量的研究試驗。張洪[3]從模態(tài)參數(shù)識別角度對客車的異?；蝿诱归_了研究，認為造成該現(xiàn)象的原因是車輛系統(tǒng)中某些參數(shù)的阻尼較小。黃彩虹等[4]從對于車體蛇行穩(wěn)定性的研究測試中，得出輪軌條件和懸掛參數(shù)是造成蛇行運動不穩(wěn)定的主要因素。周勁松等[5]通過搭建數(shù)學(xué)模型并運用車體模態(tài)參數(shù)和協(xié)方差的方法，對車輛穩(wěn)定性進行分析，得出二系橫向剛度和二系橫向阻尼直接影響車輛運行時的平穩(wěn)性的結(jié)論。陳迪來等[6]在搭建某地鐵車輛線性模型的基礎(chǔ)上再利用模糊教學(xué)的歐氏貼進度對不同速度下各振動模態(tài)進行識別，當(dāng)歐氏貼進度判斷出2種振型的貼近度為1，則說明2種振型相似，屬于同一類振型，因此利用歐氏貼進度可以對有多個自由度的車輛系統(tǒng)進行自動識別和跟蹤。陸威宏等[7]運用模糊教學(xué)的最大隸屬度原則對相似度較高的模態(tài)參數(shù)進行自動識別并歸類，有利于在研究中對模態(tài)參數(shù)的追蹤。李艷[8]通過搭建車輛系統(tǒng)模型并運用敏感性分析法的方式，研究車輛懸掛參數(shù)和阻尼對車體運行時的平穩(wěn)性影響。王賀鵬[9]從模態(tài)識別的角度對車輛系統(tǒng)的振動問題進行研究，運用有限元仿真分析法盡量避免車體振型頻率和轉(zhuǎn)向架蛇行振型頻率發(fā)生同步振動。孫善超等[10]建立多體仿真模型，指出輪軌關(guān)系不匹配可能導(dǎo)致轉(zhuǎn)向架蛇行阻尼因子太小，造成車輛發(fā)生晃車的狀況。宗聰聰[11]從車輛系統(tǒng)的強迫振動出發(fā)，利用機械振動的同步理論和歐氏貼近度概念判斷各振型的相似性，實現(xiàn)對不同振型頻率的跟蹤與識別。Wnicki[12]通過比較不同踏面等效錐度下的車輛運行平穩(wěn)性，發(fā)現(xiàn)較低的踏面等效錐度更容易造成轉(zhuǎn)向架蛇行的不穩(wěn)定。Suarez等[13]通過Pareto方法優(yōu)化了轉(zhuǎn)向架橫向阻尼，降低了車輛的橫向加速度，結(jié)合磨耗車輪和鋼軌的特征，通過優(yōu)化被動阻尼改善了乘客的舒適性。Perzold[14]對比了實際運行中的車輛和試驗臺上的車輛系統(tǒng)仿真模型，然后研究了不同條件下轉(zhuǎn)向架蛇行振動頻率和阻尼比隨速度變化的情況。
針對地鐵車輛的橫向低頻異常晃動，本文從模態(tài)識別角度出發(fā)，根據(jù)歐氏貼進度的概念對車輛系統(tǒng)中不同的振動模態(tài)進行追蹤，得出車輛系統(tǒng)各模態(tài)和阻尼比在不同速度下的變化趨勢，并分析地鐵車輛橫向低頻異?；蝿拥脑?，再借助通過耦合度的概念來優(yōu)化車輛系統(tǒng)的懸掛參數(shù)，以消除車體橫向低頻晃動現(xiàn)象。
1 車輛自由振動系統(tǒng)的特征值與特征向量
假設(shè)某地鐵車輛處于理想狀態(tài)并且在某速度v下運行，其自由振動線性方程為：
式中：[M]為自由振動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；[C]為阻尼矩陣； [K]為剛度矩陣；{q}為廣義坐標向量；[Cwr]、[Kwr]表示與輪軌接觸參數(shù)有關(guān)的矩陣。
將式（1）降為一階常微分方程，得到:
將式（2）代入式（1），將其轉(zhuǎn)化為:
式中：{q}為n維列向量；{y}為{q}的降階，為2n維列向量；[A]稱為系統(tǒng)矩陣，是2n階方陣。
將式（2）和式（4）代入式（3）中，得：
式（5）是一個齊次線性代數(shù)方程組，它有非零的充分必要條件為系數(shù)矩陣[[A]-λ[I]]的行列式為零，即：
由式（6）所得到的解λ就是矩陣[A]的特征值，也是系統(tǒng)的特征值。因為矩陣[A]為2n階方陣，所以可以求得2n個特征值，它們分別為λ1,λ2,···,λ2n。
由式（6）所得到的特征值λ的普遍形式是一對共軛復(fù)數(shù)：
當(dāng)特征值共軛時取1個即可。對于每一特征值，其自由振動系統(tǒng)的解的形式如下：
式中：Aj為 振幅，且；αj為衰減系數(shù)；βj為模態(tài)振動頻率（有阻尼頻率）；?j為相位角，且?j=arctan(dj/cj)。
根據(jù)衰減系數(shù)αj的數(shù)值，可將系統(tǒng)狀態(tài)分為3種情況：
（1）αj＞0，系統(tǒng)的振幅將隨時間t的改變而不斷增大，系統(tǒng)屬于失穩(wěn)狀態(tài)。
（2）αj=0，系統(tǒng)的振幅是定值，不隨時間t的改變而改變，系統(tǒng)屬于臨界狀態(tài)。
（3）αj＜0，系統(tǒng)的振幅將隨時間t的改變而連續(xù)衰減，系統(tǒng)屬于穩(wěn)定狀態(tài)。
振動模態(tài)的阻尼率可由下式求得：
系統(tǒng)的自振頻率（無阻尼頻率）的計算方法為
在特定參數(shù)下，對矩陣求解其特征值和特征向量時，當(dāng)特征值的虛部為零時，應(yīng)該將其舍棄，得到a個b維共軛復(fù)數(shù)的特征向量：
忽略相位角的超前和滯后，可得
即ψi=[|φi1||φi2|···|φib|]T。
綜上所述，在固定速度為v的情況下，表1所示為車輛各模態(tài)振型的特征向量。
表1 車輛各模態(tài)特征向量Tab. 1 The eigenvectors of various modes of the vehicle
2 車輛系統(tǒng)建模及模態(tài)追蹤
對一個比較復(fù)雜的多自由度系統(tǒng)的研究，一般采用數(shù)值計算模擬，也就是把實際的系統(tǒng)簡化為抽象的物理模型，并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來求解。同理，車輛系統(tǒng)也是一個多自由度系統(tǒng)，共23個自由度，如表2所示。在車體橫向低頻晃動的分析中，可建立整車多剛體線性化模型。
表2 某地鐵車輛系統(tǒng)模型自由度Tab. 2 Degrees of freedom of a subway vehicle system model
對具有多自由度的系統(tǒng)進行動力學(xué)求解時，可以使用矩陣組裝法。先對慣量、阻尼、剛度較簡單的自由度進行組裝，再利用相同的方法，對整個車輛系統(tǒng)進行組裝。慣量、阻尼、剛度系數(shù)矩陣如下所示：
式中：[M]為自由振動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；[C]為阻尼矩陣；[K]為剛度矩陣。
在模糊集合中，把相似性較大的子集歸為同一個集合。通常，子集之間越相似，它們之間的距離就越近，反之，它們之間的距離就越遠。但僅僅依據(jù)距離來判斷某集合內(nèi)部的相似程度是不準確的。研究人員在此基礎(chǔ)上提出了歐氏貼進度的概念[12]。
假設(shè)A、B為2個模糊集合，則歐氏距離為：
式中：n為集合的維數(shù)；A={a1,a2,···,an}，ai∈A，ai≥A；B={b1,b2,···,bn}，bi∈B，bi≥B。
數(shù)學(xué)中，2個值之間的差越小，它們就離的越近，但是，在歐氏距離中恰恰相反，差越大，集合之間越接近，即
式中：N(A,B)為歐氏貼進度，由式（16）可知，N(A,B)越大，集合A，B越接近，N(A,B)越小，說明A、B差異性就越大。
可以用歐氏貼進度來進行模糊識別。以下是表示特征向量的相似度公式:
式中：N_Y為計算出的振型A和B的振幅貼進度；N_ψ為計算出振型A和B的相位角貼進度；α、β分別為振型A和振型B的相似性振幅、相位角所占的權(quán)重；N為計算得到2個振型的綜合貼進度；ω為振幅在綜合貼進度中貢獻的比例值。
依據(jù)歐氏貼進度的定義，假設(shè)Nij中 的第j列的第i個數(shù)最大，可以得出參數(shù)v1的第i個模態(tài)振型與參數(shù)v2的第j個模態(tài)振型最接近，因此可以判斷參數(shù)v1的第i個模態(tài)振型與參數(shù)v2的第j個模態(tài)振型相似。
3 車體橫向低頻晃動原因分析
建立某地鐵車輛系統(tǒng)的模型，運用MATLAB軟件對車輛各剛體模態(tài)進行追蹤。仿真速度為1～120 km/h，速度變化幅度不宜過大[6]。轉(zhuǎn)向架蛇行（同相或反相）振動、車體上心滾擺和車體搖頭是導(dǎo)致車體橫向低頻振動的主要因素，實驗將從這4種振動模態(tài)出發(fā)，進行模態(tài)追蹤分析。利用控制變量法，保持其他參數(shù)不變，通過改變踏面等效錐度，觀察在不同速度下轉(zhuǎn)向架蛇行和車體振動模態(tài)的變化趨勢。
如圖1～圖3所示，車體上心滾擺振型頻率和車體搖頭頻率幾乎不隨速度的變化而變化。在0.7～0.8 Hz范圍內(nèi)，車體搖頭比上心滾擺微大，轉(zhuǎn)向架蛇行（同相或反相）振動頻率隨速度的增加而增加，幾乎呈線性關(guān)系；且隨著踏面等效錐度的增大，線性關(guān)系越明顯，振動頻率越大，踏面錐度由0.1時的1.9增加到0.3時的4.1。在某一速度范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)向架蛇行振動頻率（同相或反相）與車體上心滾擺振動和搖頭頻率相接近或相等時，認為這時2種模態(tài)的歐氏貼進度接近于1，從而導(dǎo)致2種模態(tài)發(fā)生共振并相互作用，造成車體低頻異?；蝿蝇F(xiàn)象。在圖1中，踏面等效錐度為0.1時，轉(zhuǎn)向架蛇行振動與車體振動相互作用的速度范圍大，隨踏面等效錐度的增加，2種模態(tài)振型發(fā)生共振時的速度范圍減小。等效錐度為0.1時，發(fā)生共振的速度為40～70 km/h；等效錐度為0.2時，發(fā)生共振的速度為30～40 km/h；等效錐度為0.3時，發(fā)生共振的速度為22～30 km/h。發(fā)生共振時的速度隨踏面等效錐度的增加而降低。不同踏面等效錐度下，各模態(tài)阻尼比的圖像變化趨勢大致相似，車體搖頭的阻尼比明顯比車體上心滾擺的阻尼比大，且車體搖頭阻尼比先變小后增大，車體上心滾擺隨速度的變化呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢，兩者最后幾乎維持一個值保持不變。當(dāng)轉(zhuǎn)向架蛇行振動頻率與車體頻率發(fā)生共振現(xiàn)象時，在與之對應(yīng)的速度范圍下，各振動模態(tài)的阻尼比出現(xiàn)劇烈的變化趨勢。阻尼比出現(xiàn)劇烈變化可能會引起相應(yīng)的模態(tài)振型不穩(wěn)定，從而造成車輛出現(xiàn)不穩(wěn)當(dāng)?shù)恼駝?。分?種等效錐度下的各振型模態(tài)的頻率和阻尼比變化曲線圖得出，等效錐度不同，其發(fā)生共振時的速度范圍不同，但發(fā)生共振時的頻率卻幾乎相同，都大約為0.8 Hz。
圖1 踏面等效錐度為0.1的頻率、阻尼比速度圖像Fig. 1 The frequency and damping ratio speed image of the tread equivalent taper of 0.1
圖3 踏面等效錐度為0.3的頻率、阻尼比速度圖像Fig. 3 The frequency and damping ratio speed image of the tread equivalent taper of 0.3
為了驗證前面的模態(tài)追蹤的準確性，選取踏面等效錐度為0.2，速度分別為70和30 km/h時，車體上心滾擺和轉(zhuǎn)向架蛇行（同相）振動模態(tài)的車輛系統(tǒng)23各自由度的振幅變化進行研究。由上述分析可知，踏面等效錐度為0.2時發(fā)生共振的速度范圍為30～40 km/h。如圖4和圖5所示，仿真運行速度為70 km/h時，車體上心滾擺模態(tài)的和轉(zhuǎn)向架蛇行（同相）模態(tài)的各自由度振幅變化差異較大；而在速度為30 km/h時，車體上心滾擺模態(tài)的振幅和轉(zhuǎn)向架蛇行（同相）模態(tài)振幅非常接近。這與圖2的內(nèi)容一致。根據(jù)歐氏貼進度的概念，此時2種振型相似，從而導(dǎo)致其相互作用，發(fā)生耦合共振，在該情況下，車體就會發(fā)生低頻異常晃動。
圖2 踏面等效錐度為0.2的頻率、阻尼比速度圖像Fig. 2 The frequency and damping ratio velocity image of the tread equivalent taper of 0.2
圖4 仿真速度70 km/h的模態(tài)振型Fig. 4 Modal amplitude of simulation speed 70 km/h
圖5 仿真速度30 km/h的模態(tài)振型Fig. 5 Modal amplitude of simulation speed 30 km/h
4 參數(shù)優(yōu)化
4.1 耦合度的概念
耦合度指的是多個振動系統(tǒng)共同振動時，它們之間會相互影響，同時還會相互作用。對車輛系統(tǒng)來說，整個系統(tǒng)各模態(tài)同時振動時，把它們之間的模態(tài)耦合度看成是一個整體，得到一個系統(tǒng)耦合度：
式中：Cij表示第i個模態(tài)和第j個模態(tài)之間的耦合度；ωij為各模態(tài)在系統(tǒng)耦合度中的所占的權(quán)重系數(shù)。
以耦合度為標準來判斷各模態(tài)振型之間發(fā)生共振程度的大小。如果耦合度大，說明振型之間的相互作用大，即發(fā)生共振現(xiàn)象的幾率大；反之，則發(fā)生共振的幾率就小。
圖6為3種不同等效錐度條件下耦合度隨速度的變化曲線圖，初始的等效耦合度幾乎相等，隨著速度的增加，耦合度都是先增大，在某個速度時，其耦合度達到最大。隨著等效錐度的增大，耦合度的最大值減小。說明等效錐度越小時，耦合度越大，從而越容易發(fā)生共振現(xiàn)象，導(dǎo)致車體發(fā)生晃車現(xiàn)象。
圖6 不同等效錐度下的耦合度變化圖Fig. 6 Coupling degree change diagram under different equivalent tapers
4.2 參數(shù)優(yōu)化
通過優(yōu)化參數(shù)的方法來降低耦合度的大小。利用控制變量法，不斷改變阻尼和剛度相關(guān)參數(shù)，并進行仿真分析，得出最優(yōu)參數(shù)。對阻尼參數(shù)中的二系橫向阻尼和剛度中的抗側(cè)滾扭桿2種參數(shù)進行進一步優(yōu)化，將二系橫向阻尼由58 kNm/s增大到100 kNm/s，抗側(cè)滾扭桿由1.5 Nm/rad減小到0.05 Nm/rad。優(yōu)化后的仿真結(jié)果如圖7所示。
圖7 優(yōu)化后的頻率-阻尼比與速度的圖像Fig. 7 The optimized frequency-damping ratio and speed image
圖7是踏面等效錐度為0.2時參數(shù)優(yōu)化后的頻率、阻尼比和速度的圖像。與同等效錐度下參數(shù)未經(jīng)優(yōu)化時比較，在某個速度時，轉(zhuǎn)向架蛇行（同相或反相）振動與車體的上心滾擺和搖頭振動頻率還是會相交，卻沒有明顯的耦合現(xiàn)象。且各個模態(tài)振型的阻尼比沒有發(fā)生劇烈的上升或者下降的趨勢，隨速度的變化較平緩穩(wěn)定。車體上心滾擺從19%增加到28%，車體搖頭從37%左右增大到75%，隨著阻尼比的增加，車輛橫向低頻異?；蝿拥默F(xiàn)象減少。
經(jīng)過參數(shù)優(yōu)化后，如圖8所示，速度增大的整個過程中，每一個速度下的耦合度都明顯減小了，優(yōu)化前的最大耦合度為90，優(yōu)化后的耦合度為82，大約減小了9%。說明參數(shù)的優(yōu)化有效地降低了整個車輛系統(tǒng)的耦合度，同時整個系統(tǒng)發(fā)生共振的狀況也相對降低。
圖8 等效錐度0.2時優(yōu)化后的耦合度-速度變化圖Fig. 8 Optimized coupling degree-speed change diagram with equivalent taper 0.2
5 結(jié) 語
根據(jù)歐氏貼進度的定義，在模態(tài)的追蹤分析中，對模態(tài)進行自動識別和追蹤，得出各模態(tài)振型的頻率、阻尼在不同速度下變化的曲線圖。車體上心滾擺和車體搖頭振型頻率不隨速度的改變而發(fā)生改變，是車輛系統(tǒng)本身固有的振型頻率；而轉(zhuǎn)向架蛇行（同相或反相）振型頻率基本隨速度的增加呈線性增加趨勢。轉(zhuǎn)向架蛇行振型頻率和車體振型頻率相近時會發(fā)生共振現(xiàn)象，轉(zhuǎn)向架蛇行（同相）振型與車體上心滾擺更容易發(fā)生共振現(xiàn)象；而轉(zhuǎn)向架蛇行（反相）與車體搖頭更容易發(fā)生共振，2種振型發(fā)生共振時，對阻尼比的影響很大，會發(fā)生急劇增加或減小的狀況，很有可能引起地鐵車輛的橫向低頻晃動。通過耦合度的大小來判斷發(fā)生共振的明顯程度，耦合度越大說明車輛系統(tǒng)發(fā)生共振的幾率越大。進一步對參數(shù)進行優(yōu)化來降低車輛系統(tǒng)的耦合度大小，利用控制變量法得出最佳模擬參數(shù)。本研究可為地鐵車輛運行中的低頻異常現(xiàn)象及其原因和解決思路提供參考，從而幫助解決部分地鐵車輛的晃車問題。
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