以問題串為驅(qū)動(dòng)的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)
——以“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”為例

◎榮 霜 程國忠

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637002)

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯有一句名言：“問題是數(shù)學(xué)的心臟”為了在課堂教學(xué)中更好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，教師可以通過提出問題，以問題串為驅(qū)動(dòng)開展教學(xué)而好的數(shù)學(xué)問題需要具有以下特征：(1)好的數(shù)學(xué)問題可以與實(shí)際生活相聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)到“數(shù)學(xué)從生活中來，到生活中去”，并深刻地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切關(guān)聯(lián)；(2)數(shù)學(xué)問題要具有趣味性，讓學(xué)生能夠充分體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的樂趣，從而樂于學(xué)習(xí)；(3)好的數(shù)學(xué)問題應(yīng)具有一定的應(yīng)用價(jià)值和教育價(jià)值，從而吸引學(xué)生、感染學(xué)生；(4)好的數(shù)學(xué)問題應(yīng)具有發(fā)展性、探索性，可以進(jìn)一步引申、拓展和推廣；(5)好的數(shù)學(xué)問題應(yīng)具有一定的難度，不能讓學(xué)生依靠簡單的模仿就能夠輕松地解決問題，要易于理解，但又具有一定的挑戰(zhàn)性

一、問題驅(qū)動(dòng)的課堂教學(xué)模式

問題驅(qū)動(dòng)的課堂教學(xué)模式是以問題為驅(qū)動(dòng)，借助問題開展教學(xué)，使學(xué)生在解決問題的過程中掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，感悟數(shù)學(xué)思想方法的一種教學(xué)模式問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)模式可以強(qiáng)化學(xué)生的內(nèi)部學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，提高學(xué)生的認(rèn)知內(nèi)驅(qū)動(dòng)力而認(rèn)知內(nèi)驅(qū)動(dòng)力的產(chǎn)生大部分來源于學(xué)生對(duì)于未知事物的好奇以及對(duì)未解決問題的求知欲，因此，教師在課堂教學(xué)中適時(shí)地提出好的數(shù)學(xué)問題能夠有效激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，從而提高課堂教學(xué)效率關(guān)于什么是好的數(shù)學(xué)問題，文章開頭已經(jīng)進(jìn)行了討論，這里不再贅述

教師在借助問題進(jìn)行課堂教學(xué)時(shí)應(yīng)尤其注意問題的難度與關(guān)聯(lián)度其一，對(duì)于問題的難度來說，如果教師提出過于簡單的問題，學(xué)生運(yùn)用已學(xué)的知識(shí)便能夠輕易得出答案，他們便會(huì)產(chǎn)生疑惑：“我用已經(jīng)學(xué)過的方法就能解決的問題，為什么還要費(fèi)時(shí)、費(fèi)力學(xué)習(xí)新的方法？”而難度過大的問題又會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生畏懼心理，打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，對(duì)本節(jié)課要學(xué)習(xí)的新知望而卻步因此，教師提出的問題難度要適中，具有一定的挑戰(zhàn)性，使學(xué)生經(jīng)過學(xué)習(xí)才能夠解決其二，若教師提出的問題之間毫無關(guān)聯(lián)，或者提出的問題是學(xué)生完全陌生的，學(xué)生便會(huì)感到突兀，對(duì)其內(nèi)部學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)起到負(fù)強(qiáng)化作用，使學(xué)生喪失學(xué)習(xí)興趣因此，教師在設(shè)計(jì)問題時(shí)要注意從學(xué)生熟悉的事物入手，同時(shí)設(shè)計(jì)的問題之間要互相關(guān)聯(lián)，做到環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)，以問題串的形式呈現(xiàn)，強(qiáng)化課堂的整體性和連貫性

接下來筆者以“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”這個(gè)課題為例進(jìn)行論述說明“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中有著至關(guān)重要的地位，本節(jié)內(nèi)容為后續(xù)學(xué)習(xí)“二分法求方程的近似解”奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)，本節(jié)內(nèi)容中滲透的方程與函數(shù)以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的重要思想方法因此，筆者選取本節(jié)內(nèi)容，以問題串為驅(qū)動(dòng)進(jìn)行了如下的教學(xué)設(shè)計(jì)

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

(一)教學(xué)分析

本節(jié)課的內(nèi)容選自人教A版高中數(shù)學(xué)必修一的第三章第一節(jié)，是“函數(shù)與方程”章節(jié)的第一課時(shí)學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過二次函數(shù)和一元二次方程，并初步掌握了利用函數(shù)圖像研究函數(shù)性質(zhì)的能力，這為本節(jié)課知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下了一定的基礎(chǔ)，但還缺乏將函數(shù)與方程聯(lián)系起來的思想方法本節(jié)內(nèi)容既是對(duì)學(xué)生初中所學(xué)知識(shí)的承接，又為后續(xù)學(xué)習(xí)二分法做了鋪墊，有著承上啟下的作用

(二)教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：理解函數(shù)零點(diǎn)的概念，能夠運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理解決簡單的數(shù)學(xué)問題

過程與方法：初步體會(huì)方程與函數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法，能夠熟練完成方程的求根問題與函數(shù)零點(diǎn)問題之間的相互轉(zhuǎn)化

情感、態(tài)度、價(jià)值觀：在學(xué)習(xí)零點(diǎn)的概念以及零點(diǎn)存在性定理的過程中感悟方程與函數(shù)的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想方法以及從特殊到一般的思想方法

(三)教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的概念，零點(diǎn)存在性定理

難點(diǎn)：掌握零點(diǎn)存在性定理，并辨析其使用條件

(四)教學(xué)過程

(1)問題導(dǎo)入

問題1：下列方程分別有幾個(gè)實(shí)根？你是如何判斷的？你聯(lián)想到了什么？

①2-3=6； ②-2-3=0； ③ln+2-6=0

【設(shè)計(jì)意圖】前兩個(gè)方程比較簡單，從熟悉的一元一次方程和一元二次方程入手，學(xué)生能夠輕松求得答案，同時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過方程聯(lián)想到與之相對(duì)應(yīng)的函數(shù)對(duì)于第三個(gè)方程，學(xué)生雖然能夠聯(lián)想到與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)=ln+2-6，但依然無法求解，從而設(shè)下懸念，激發(fā)學(xué)生的求知欲問題1的設(shè)計(jì)既考慮到了問題難度的適宜性，從第一小題到第三小題難度依次增加，并在第三小題為學(xué)生設(shè)下了需要本節(jié)課學(xué)習(xí)的新知才能解決的問題，又考慮到了新舊知識(shí)的關(guān)聯(lián)度，由熟悉的方程引入，使學(xué)生易于接受，同時(shí)設(shè)下懸念，激發(fā)學(xué)生的求知欲

(2)探求新知，得到概念

學(xué)生在解決問題1的過程中發(fā)現(xiàn)，問題1中的方程都能與函數(shù)聯(lián)系起來，在此基礎(chǔ)上，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考方程與函數(shù)之間到底有著什么樣的聯(lián)系

問題2：請(qǐng)完成下面的表格，并觀察方程的根與之相對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像間有怎樣的關(guān)系

方程f(x)=0x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0方程f(x)=0的根函數(shù)y=f(x)的圖像函數(shù)y=f(x)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

【設(shè)計(jì)意圖】在問題1的基礎(chǔ)上提出問題2，幫助學(xué)生將“數(shù)”的問題與“形”的問題相結(jié)合，通過完成表格中的內(nèi)容，學(xué)生能夠清晰、直觀地觀察出一元二次方程的實(shí)數(shù)根同二次函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)，得出一元二次方程的實(shí)數(shù)根就是與之相對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值，并從中初步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法問題2與問題1之間有較好的關(guān)聯(lián)度，是對(duì)問題1的進(jìn)一步思考探究，同時(shí)，問題2本身具有較好的發(fā)展性和探索性，讓學(xué)生從特殊的方程推廣到一般方程進(jìn)行探究

問題3：其他方程與相對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像之間也有這樣的關(guān)系嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】問題3是在問題2的基礎(chǔ)上做進(jìn)一步拓展、延伸，從一元二次方程與二次函數(shù)圖像間的關(guān)系推廣到一般方程與相對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考探究，使學(xué)生在探究的過程中體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法當(dāng)學(xué)生指出其他方程與相對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像同樣具有這樣的關(guān)系時(shí)，教師引出本節(jié)課的新知

函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)=()，我們把使()=0的實(shí)數(shù)叫作函數(shù)=()的零點(diǎn)

問題4：從函數(shù)零點(diǎn)的概念中，你能看出哪些等價(jià)關(guān)系？

方程()=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)=()有零點(diǎn)?函數(shù)=()的圖像與軸有交點(diǎn)

【設(shè)計(jì)意圖】問題4可培養(yǎng)學(xué)生的概念辨析能力，讓學(xué)生從函數(shù)零點(diǎn)的概念中找出等價(jià)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力，深化學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)概念的理解同時(shí)，問題4通過三者的等價(jià)關(guān)系突出了函數(shù)零點(diǎn)的特殊地位：一方面，函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于相對(duì)應(yīng)方程的根，這是函數(shù)零點(diǎn)在“數(shù)”方面的意義；另一方面，函數(shù)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這是函數(shù)零點(diǎn)在“形”方面的意義，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解和掌握

(3)課堂練習(xí)，鞏固概念

問題5：函數(shù)()=(-5)(+9)(-6)的零點(diǎn)是( )

A.(5,0),(-9,0),(6,0) B.5，-9，-9,-9，6

C.(0,5),(0,-9),(0,6) D.5,-9,6

【設(shè)計(jì)意圖】問題5可讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到函數(shù)的零點(diǎn)并不是由坐標(biāo)表示的“點(diǎn)”，而是一個(gè)實(shí)數(shù)，由此加深學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)概念的理解

問題6：現(xiàn)在我們可以解決問題1中l(wèi)n+2-6=0的實(shí)數(shù)根的問題了嗎？可以找到=ln+2-6的零點(diǎn)嗎？

教師在幾何畫板中向?qū)W生展示函數(shù)=ln+2-6的圖像，幫助學(xué)生解決問題

追問：如果不借助幾何畫板，我們能判斷這個(gè)函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】在得到函數(shù)零點(diǎn)的概念之后，借助新知解決問題1中未解決的問題，通過作出函數(shù)=ln+2-6的圖像，可以清晰看到函數(shù)圖像與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，由此得到問題1的答案，方程ln+2-6=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根同時(shí)，利用追問設(shè)下新的懸念，對(duì)于不方便直接作出函數(shù)圖像的問題如何判斷函數(shù)零點(diǎn)，以此引出零點(diǎn)存在性定理問題6的提出加強(qiáng)了課堂的整體性、連貫性，既解決了問題1中未解決的問題，又為進(jìn)一步探究零點(diǎn)存在性定理做了鋪墊

(4)解決問題，再探新知

問題7：判斷()=-2-4有幾個(gè)零點(diǎn)，你可以指出它的零點(diǎn)的大致范圍嗎？

圖1

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在利用剛學(xué)習(xí)的函數(shù)零點(diǎn)的概念解決該問題時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)如果從“數(shù)”的角度出發(fā)，通過計(jì)算方程的根解決問題較為復(fù)雜，而從“形”的角度出發(fā)，利用函數(shù)的圖像能更直觀地看出結(jié)果，并從中歸納、總結(jié)出零點(diǎn)存在性定理

(5)鞏固練習(xí)，課堂小結(jié)

問題8：現(xiàn)在可以不依靠函數(shù)的圖像判斷函數(shù)=ln+2-6的零點(diǎn)的大致范圍了嗎？如何判斷？

問題9：判斷以下命題是否正確，錯(cuò)誤的話你能舉出反例嗎？

問題10：本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？體會(huì)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

學(xué)生自主歸納，教師總結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一個(gè)概念、一個(gè)定理以及兩種數(shù)學(xué)思想方法

【設(shè)計(jì)意圖】問題10培養(yǎng)了學(xué)生的反思與歸納總結(jié)能力，在歸納總結(jié)的過程中加深學(xué)生對(duì)本堂課所學(xué)新知的認(rèn)識(shí)與理解，以及對(duì)數(shù)形結(jié)合和從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法的體會(huì)

三、教學(xué)反思與建議

(一)反思

本節(jié)課從引入到探究函數(shù)零點(diǎn)的概念共設(shè)計(jì)了四個(gè)問題，問題1從學(xué)生熟悉的方程入手，由易到難，由簡入繁，難度層層遞進(jìn)，并設(shè)置了懸念，既給了學(xué)生解決問題的成功體驗(yàn)及信心，又留下了挑戰(zhàn)，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考探究的興趣；問題2，3是在問題1的基礎(chǔ)上進(jìn)行的進(jìn)一步探究，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生進(jìn)行自主探究，分享探究結(jié)果，并進(jìn)行討論，在探究的過程中初步體會(huì)數(shù)形結(jié)合以及從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，充分發(fā)揮了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體作用；問題4通過方程的實(shí)數(shù)根、函數(shù)的零點(diǎn)以及函數(shù)的圖像之間的等價(jià)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)概念的理解，進(jìn)一步體會(huì)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法

問題5，6的提出既幫助學(xué)生鞏固了剛學(xué)習(xí)的函數(shù)零點(diǎn)概念，又設(shè)置了新的懸念，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行新的思考，在此基礎(chǔ)上提出問題7，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生自主探究得出零點(diǎn)存在性定理；問題8利用函數(shù)=ln+2-6將整個(gè)課堂串聯(lián)起來，加強(qiáng)了整堂課的整體性；問題9，10幫助學(xué)生辨析概念，總結(jié)歸納，使整堂課更加完整

總的來說，本節(jié)課的設(shè)計(jì)以判斷方程的根的問題引入，既有學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)便能解決的問題，又有具有一定難度、無法直接計(jì)算的問題，這激發(fā)了學(xué)生的求知欲學(xué)生利用已有知識(shí)無法從“數(shù)”的角度解決問題，進(jìn)而從“形”的角度進(jìn)行思考，借助函數(shù)圖像解決問題問題1到問題10的設(shè)置層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，教師通過不斷提出新的問題的方式改變了傳統(tǒng)課堂“滿堂灌”的形式，以問題串為驅(qū)動(dòng)激發(fā)了學(xué)生的求知欲，促進(jìn)學(xué)生積極思考，并在解決問題的過程中使學(xué)生掌握本節(jié)課知識(shí)內(nèi)容，感悟方程與函數(shù)以及數(shù)形結(jié)合的思想方法

(二)建議

現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育強(qiáng)調(diào)教學(xué)要以學(xué)生的發(fā)展為本，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)部動(dòng)機(jī)，而以問題串為驅(qū)動(dòng)的教學(xué)模式很好地實(shí)現(xiàn)了這一目標(biāo)，該教學(xué)模式能夠在很大程度上激發(fā)學(xué)生的求知欲，促使學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)

教師在采用問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)模式開展教學(xué)時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：首先，要適時(shí)提出問題，做到每個(gè)問題都有價(jià)值、有意義，避免由傳統(tǒng)課堂的“滿堂灌”變成為了提問而提問的“滿堂問”；其次，要設(shè)置合適的問題串將課堂串聯(lián)起來，加強(qiáng)課堂的整體性及連貫性；最后，提出的問題難度要適宜，并在提出問題后給予學(xué)生提示或引導(dǎo)，幫助學(xué)生理解和解決問題