等差數(shù)列與等比數(shù)列的幾類凹凸性不等式

山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué) 宋志敏 256600

山東省濱州學(xué)院理學(xué)院 尹 櫪 256603

文獻(xiàn)[1]證明了等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和的一個統(tǒng)一性質(zhì)，其主要結(jié)果可以敘述如下：定理A 若正項等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項和為Sn，則當(dāng)m+n=2p,m,n,p∈N 時，SnSm≤成立.之后文獻(xiàn)[2]中筆者類似的研究了等差數(shù)列與等比數(shù)列通項an的凸性問題.最近，宋志敏、尹櫪在文獻(xiàn)[3]中提出了一個更廣泛的問題，即研究等差數(shù)列與等比數(shù)列的廣義凹凸性問題.即考慮如下類型的不等式問題：bM(m,n)≥(≤)N(bn,bm)? 其中M(m,n),N(m,n)為任意的兩個平均.本文主要研究反調(diào)和平均、Helon 平均與平方根平均.其中反調(diào)和平均為：λ(a,b)=;Helon 平均為：h(a,b)=；平方根平均為：討論之前，我們先對等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義延拓一下，假設(shè){an} 為等差數(shù)列,且首項為a1,公差為d，在此基礎(chǔ)上規(guī)定n可以取到任意實數(shù)，其通項公式以及前n項和公式類似可以寫出對應(yīng)形式，等比數(shù)列的延拓類似.

本文主要結(jié)果如下：

定理1:設(shè){an} 為等差數(shù)列,且首項為a1,公差為d，則有（1）當(dāng)a1≥d,d≥0 時aλ(m,n)≥λ(am,an)；（2）當(dāng)a1≤d,d≤0 時aλ(m,n)≤λ(am,an).