斜齒偏置非正交面齒輪的齒面建模及插齒仿真

何光政，彭先龍，胡錫文，徐磊，闞琛

(1.西安科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，陜西西安 710054；2.中國(guó)核電工程有限公司北京核化工研究設(shè)計(jì)院，北京 100840)

0 前言

面齒輪傳動(dòng)是Fellow公司發(fā)明的一種由圓柱齒輪和錐齒輪組成的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。如今，面齒輪傳動(dòng)已成功應(yīng)用于機(jī)器人關(guān)節(jié)減速器、直升機(jī)動(dòng)力分流減速器、汽車傳動(dòng)系統(tǒng)中的差速器和后橋驅(qū)動(dòng)減速器。與錐齒輪相比，面齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)具有諸多優(yōu)點(diǎn)：質(zhì)量輕、體積小、無軸向定位要求、承載能力高、更換方便、噪聲低等。因此，近年來許多公司和科研人員在面齒輪的研究工作中投入了大量的精力。李政民卿、朱如鵬研究了正交面齒輪齒廓尖化、根切、裝配誤差對(duì)面齒輪傳動(dòng)特性的影響。沈云波等研究了斜齒面齒輪齒寬設(shè)計(jì)和幾何傳動(dòng)誤差設(shè)計(jì)。付學(xué)中等研究了偏置面齒輪的加工制造和安裝誤差容差性、敏感性。趙寧、靳永先完成了非正交面齒輪的插齒仿真加工和誤差分析。

由于面齒輪加工制造困難，限制了面齒輪在傳動(dòng)領(lǐng)域的應(yīng)用。而現(xiàn)有的研究多集中在直齒正交面齒輪，忽視了對(duì)更復(fù)雜和一般的偏置非正交面齒輪的研究。為了進(jìn)一步豐富面齒輪的傳動(dòng)形式，使其在空間受限的傳動(dòng)系統(tǒng)中，滿足多樣化結(jié)構(gòu)布局要求，擴(kuò)大面齒輪在傳動(dòng)領(lǐng)域的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)，本文作者對(duì)包含斜齒、偏置、非正交3個(gè)參數(shù)的面齒輪進(jìn)行設(shè)計(jì)，用螺旋插齒刀齒面方程推導(dǎo)出面齒輪的齒面方程，用MATLAB對(duì)斜齒偏置非正交面齒輪齒面進(jìn)行數(shù)值建模，實(shí)現(xiàn)了齒面可視化，并對(duì)面齒輪進(jìn)行虛擬仿真加工。通過數(shù)值方法，將插齒仿真面齒輪與理論面齒輪進(jìn)行齒面對(duì)比分析，計(jì)算出其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的齒面偏差，為后續(xù)斜齒偏置非正交齒輪的研究奠定理論基礎(chǔ)。

1 面齒輪加工原理及齒面方程

1.1 面齒輪加工原理

斜齒偏置非正交面齒輪插齒加工過程是對(duì)斜齒輪與面齒輪范成運(yùn)動(dòng)的模擬，其加工原理如圖1所示。與直齒面齒輪插齒加工不同，斜齒偏置非正交面齒輪在插齒過程中，螺旋插齒刀軸線與面齒輪軸線不平行且不相交，具有一個(gè)相錯(cuò)角。在加工面齒輪時(shí)，根據(jù)斜齒輪螺旋線的形成原理，插齒機(jī)除具備切削運(yùn)動(dòng)、圓周進(jìn)給運(yùn)動(dòng)、徑向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)、分度展成運(yùn)動(dòng)和讓刀運(yùn)動(dòng)外，螺旋插齒刀在切削運(yùn)動(dòng)同時(shí)還需疊加一個(gè)附加轉(zhuǎn)動(dòng)以形成螺旋齒廓。即螺旋插齒刀沿軸向進(jìn)給一個(gè)螺旋導(dǎo)程時(shí)，螺旋插齒刀剛好繞其軸線附加轉(zhuǎn)動(dòng)一圈。

圖1 插齒加工原理

1.2 面齒輪齒面方程推導(dǎo)

1.2.1 螺旋插齒刀齒面方程

加工斜齒偏置非正交面齒輪的刀具為漸開線螺旋插齒刀，其端面漸開線齒廓與坐標(biāo)系如圖2所示。在坐標(biāo)系中，螺旋插齒刀齒面的位置矢量可表示為式(1)：

圖2 螺旋插齒刀輪廓

(1)

=(+±)

(2)

其中：=/2為端面上分度圓半徑;=cos為端面上基圓半徑;=2π/-(tan-)表示基圓上1/2齒槽寬所對(duì)應(yīng)的圓心角；表示端面漸開線齒廓的角度參數(shù);為螺旋插齒刀端面漸開線繞軸線的轉(zhuǎn)角;=/tan為分度圓上螺旋導(dǎo)程;為螺旋角;、分別為螺旋插齒刀端面壓力角和端面模數(shù)。則螺旋插齒刀齒面的單位法矢表示為式(3)：

(3)

1.2.2 面齒輪加工坐標(biāo)系

斜齒偏置非正交面齒輪插齒加工采用如圖3所示的坐標(biāo)系。其中=/，、分別為面齒輪和螺旋插齒刀的轉(zhuǎn)角，、分別為面齒輪和螺旋插齒刀的齒數(shù)；坐標(biāo)系、分別與面齒輪和螺旋插齒刀固連；輔助坐標(biāo)系、、、均與機(jī)架固連；表示面齒輪坐標(biāo)系原點(diǎn)到螺旋插齒刀坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離；表示螺旋插齒刀的偏置距離；為螺旋插齒刀軸和面齒輪軸的相錯(cuò)角。

圖3 插齒加工坐標(biāo)系

1.2.3 面齒輪齒面方程

斜齒偏置非正交面齒輪齒面是由螺旋插齒刀齒面包絡(luò)形成的。圖3中，繞軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，沿軸負(fù)方向平移得到，沿軸正方向平移得到，繞軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，繞軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到。由上述坐標(biāo)變換，可以得到螺旋插齒刀坐標(biāo)系到面齒輪坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣如式(4)：

==

(4)

(5)

由坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，在面齒輪坐標(biāo)系中，可將面齒輪的齒面方程和法矢分別由式(6)、式(7)表示如下：

(6)

(,,)=()(,)

(7)

2 MATLAB仿真面齒輪齒面

文中所使用的相關(guān)參數(shù)如表1所示。為了方便面齒輪齒面求解，如圖4所示，將面齒輪的齒面表達(dá)在坐標(biāo)系中。繞軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，坐標(biāo)變換矩陣如式(8)：

圖4 數(shù)值仿真坐標(biāo)系

表1 插齒刀和面齒輪參數(shù)

(8)

坐標(biāo)系中，面齒輪的齒面方程和法矢分別為式(9)、式(10)：

(9)

(,,)=(,,)

(10)

通過對(duì)斜齒偏置非正交面齒輪齒面方程的理論推導(dǎo)，可以知道，在坐標(biāo)系中設(shè)定面齒輪齒面點(diǎn)的半徑和該點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，有如下代數(shù)關(guān)系：

(11)

式(11)中有3個(gè)未知數(shù)、、，聯(lián)立3個(gè)方程可以求解出、、的值，將其代入面齒輪齒面方程(9)中，可以得到面齒輪齒面點(diǎn)的坐標(biāo)。

根據(jù)相關(guān)的設(shè)計(jì)參數(shù)及面齒輪齒面方程，使用MATLAB軟件編寫相關(guān)程序，即可求解面齒輪齒面，結(jié)果如圖5所示。

圖5 面齒輪數(shù)值仿真齒面

3 面齒輪插齒加工仿真

虛擬仿真流程與實(shí)際加工過程基本上是一樣的。通過調(diào)整數(shù)控機(jī)床參數(shù)，得到螺旋插齒刀與工件的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)螺旋插齒刀和工件運(yùn)動(dòng)軸關(guān)系的控制，通過數(shù)控機(jī)床各組件的協(xié)同運(yùn)動(dòng)即可加工出斜齒偏置非正交面齒輪。

3.1 搭建插齒機(jī)床模型

根據(jù)第1.1節(jié)中提到的面齒輪加工所涉及的6個(gè)運(yùn)動(dòng)，搭建了如圖6所示的數(shù)控機(jī)床模型。

圖6 插齒加工機(jī)床模型

機(jī)床包含了主軸傳動(dòng)鏈與工件傳動(dòng)鏈兩大傳動(dòng)鏈。主軸傳動(dòng)鏈有：控制齒深進(jìn)給的軸，調(diào)整螺旋插齒刀相對(duì)于面齒輪中心軸偏置距離的軸，控制螺旋插齒刀往復(fù)運(yùn)動(dòng)的軸，控制螺旋插齒刀附加轉(zhuǎn)動(dòng)及分度展成運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)軸軸。工件傳動(dòng)鏈有：控制相錯(cuò)角的軸和工件旋轉(zhuǎn)軸的軸。

首先，在VERICUT項(xiàng)目樹上設(shè)置好機(jī)床各機(jī)構(gòu)組件的依附關(guān)系；然后，在SolidWorks軟件中按需要的尺寸參數(shù)建立機(jī)床各部件的模型，并以STL格式分別保存；最后，將各部件的模型導(dǎo)入機(jī)床中相應(yīng)位置，即完成了插齒機(jī)床的搭建。

3.2 數(shù)控程序的編寫

搭建好機(jī)床結(jié)構(gòu)，將螺旋插齒刀和毛坯導(dǎo)入相應(yīng)位置后，就可以分析各軸的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，編寫所需的數(shù)控程序。選用法蘭克Fan18m數(shù)控系統(tǒng)作為機(jī)床的數(shù)控系統(tǒng)，根據(jù)螺旋插齒刀和毛坯的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，使用G代碼指令編寫的數(shù)控加工程序如下：

%

O0001%加工程序命名

T6M6

%刀具調(diào)用

CGTECH_MACRO "BroachModeOn" "" 1

%機(jī)床啟動(dòng)

G00 X-500 A0

%移動(dòng)毛坯位置

G00 B20

%調(diào)整相錯(cuò)角

G00 Y-50

%移動(dòng)毛坯位置

G00 Z730

%調(diào)整刀具位置

G00 X-390

%移動(dòng)毛坯位置

G00 Z718.8881169 C-79.92758501

%切削初始位置

G01 Z538.8881169 C-100.132414985

%刀具螺旋切削

G00 X-500

%讓刀

G00 Z718.8881169

%退刀

G00 X-390

%切削初始位置

M98 P0003 L4200

%調(diào)用循環(huán)子程序

G00 X-600

%讓刀

G00 Z700 C33

%退刀

G04

%程序停止

3.3 仿真過程及結(jié)果

把編寫好的程序?qū)爰纯蛇M(jìn)行面齒輪插齒仿真加工：將螺旋插齒刀調(diào)整到合適的初始位置，工件繞軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)20°，使得螺旋插齒刀軸與面齒輪相錯(cuò)角為110°；螺旋插齒刀在軸切削運(yùn)動(dòng)的同時(shí)附加軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，使刀刃沿螺旋線進(jìn)給，形成螺旋齒面；軸向上抬起，完成讓刀運(yùn)動(dòng)；刀具返回初始切削位置，完成退刀運(yùn)動(dòng)；插齒加工過程中，軸與軸旋轉(zhuǎn)有固定的耦合關(guān)系，即螺旋插齒刀與毛坯之間的分度展成運(yùn)動(dòng)按照二者齒數(shù)比進(jìn)行。循環(huán)上述切削步驟，得到如圖7所示的面齒輪模型，并將VERICUT插齒仿真結(jié)果保存為STL格式。

圖7 面齒輪插齒仿真模型

4 面齒輪齒面對(duì)比分析

采用數(shù)值比較的方法，通過計(jì)算VERICUT插齒仿真齒面與理論齒面的法向差值，對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行精確的分析。

4.1 齒面測(cè)量網(wǎng)格規(guī)劃

為了精確計(jì)算仿真齒面與理論齒面的偏差，對(duì)面齒輪齒面進(jìn)行離散化。由于斜齒偏置非正交面齒輪兩齒面并不對(duì)稱，需要分別對(duì)兩齒面進(jìn)行離散化。坐標(biāo)系中，在面齒輪工作齒面的旋轉(zhuǎn)投影面上進(jìn)行網(wǎng)格的劃分。齒面測(cè)量區(qū)域不能太接近齒頂、齒根過渡曲面及大小端面。如圖8所示，在齒高方向上取7列，在齒寬方向上等距取11列，共77個(gè)測(cè)量點(diǎn)。測(cè)量網(wǎng)格齒高邊界收縮量為工作齒高的5%，齒寬邊界收縮量為實(shí)際齒寬的10%。

圖8 面齒輪齒面測(cè)量網(wǎng)格

4.2 齒面偏差計(jì)算

通過對(duì)理論面齒輪齒面進(jìn)行離散化，可求得齒面上各網(wǎng)格點(diǎn)的坐標(biāo)(，)及與之對(duì)應(yīng)的單位法矢(，)，其中=1～7，=1～11；再以離散化的理論面齒輪齒面(7×11網(wǎng)格齒面)作為測(cè)量基準(zhǔn)，在第3.4節(jié)保存的STL模型上，提取與理論齒面網(wǎng)格點(diǎn)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)值(，)；通過式(12)，即可計(jì)算出面齒輪仿真齒面與理論齒面的法向偏差。齒面偏差計(jì)算結(jié)果如圖9所示。

圖9 面齒輪齒面偏差

(,)=[(,)-(,)](,)

(12)

與理論齒面對(duì)比斜齒偏置非正交面齒輪插齒仿真偏差均為齒面殘留，左齒面最大殘留為7.4 μm，最小殘留為3.3 μm，右齒面最大殘留為7.2 μm，最小殘留為3.9 μm。誤差可能由兩方面造成：一方面是VERICUT軟件的模型轉(zhuǎn)換和數(shù)控插值公差造成的；另一方面是由插齒加工包絡(luò)殘差造成的。即使仿真結(jié)果存在偏差，但參照錐齒輪精度國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)評(píng)定，面齒輪齒形精度達(dá)到5級(jí)要求。

5 結(jié)語

以斜齒偏置非正交面齒輪為研究對(duì)象，推導(dǎo)了斜齒偏置非正交面齒輪的齒面方程，對(duì)面齒輪相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了設(shè)計(jì)；使用VERICUT虛擬仿真軟件，完成了斜齒偏置非正交面齒輪的插齒加工仿真；使用MATLAB軟件完成了斜齒偏置非正交面齒輪的數(shù)值建模，并對(duì)插齒仿真結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值分析，驗(yàn)證了斜齒偏置非正交面齒輪插齒仿真加工的正確性。為后續(xù)斜齒偏置非正交齒輪的研究奠定了理論基礎(chǔ)。