對偶空間、轉(zhuǎn)置映射與一般線性群下的逆變向量和協(xié)變向量

涂泓， 馮承天

對偶空間、轉(zhuǎn)置映射與一般線性群下的逆變向量和協(xié)變向量

涂泓1，2， 馮承天1

（1.上海師范大學 數(shù)理學院，上海 200234；2.上海師范大學 上海市星系和宇宙學半解析研究重點實驗室，上海 200234）

從線性代數(shù)中的對偶空間出發(fā)，闡明了轉(zhuǎn)置映射和轉(zhuǎn)置矩陣等不為物理工作者所熟悉的概念.在此基礎上，給出了一般線性群（，）下的逆變向量與協(xié)變向量，及其分量的變換法則.

對偶空間； 轉(zhuǎn)置映射； 逆變向量； 協(xié)變向量； 一般線性群

0 引言

數(shù)理科學中廣泛地應用了在某一變換群下的逆變向量（張量）和協(xié)變向量（張量）.不過，完整地闡明它們本原的文獻卻不多見.本文作者以線性代數(shù)中的對偶空間和轉(zhuǎn)置映射理論系統(tǒng)地敘述了在一般線性群下的這兩種矢量，以及它們的分量變換法則.

1 對偶空間與對偶基

設為域上的一個向量空間，而是上的一個線性泛函，即（）∈，∈，且滿足

（+）=（）+（），，∈，，∈（1）

2 轉(zhuǎn)置映射與轉(zhuǎn)置矩陣

設維空間1的基為1，2，，a，維空間2的基為1，2，，b，而考慮1到2的線性變換，即∈（1，2），此時，

（a）=α11+α22+…+αb，α∈，=1，2，…，，=1，2，…，， （4）

有其矩陣形式

將式（8）的左邊作用于a，利用式（3），（4），（6），有：

將式（8）的右邊作用于a，利用式（3），有：

因此β=α.于是，若記=T，則式（8）可表示為：

其中，T是的轉(zhuǎn)置矩陣，故f為的轉(zhuǎn)置映射.

3 向量空間中基及其向量分量的變換

考慮下列特殊情況：對于1=，使用基1，2，，a；對于2=，使用基1，2，，b，且是的恒等變換，在中考慮基的變化.此時，從式（5）有：

是×的滿秩矩陣，即∈（，），因此存在（T）-1.可將式（13）寫成：

利用這些關系，可以得出同一向量的分量隨基的變化規(guī)律.為此將∈分別在基1，2，，a及1，2，，b中展開：

即

利用式（12），即有：

如果以式（12）為基準，那么式（15）中的矩陣（T）-1與式（12）中的矩陣一般是不同的.因此，把中的元稱為逆變向量，而它們的分量即為逆變分量.因此，式（15）即逆變分量在基底變換（12）下的變換.

即

而利用式（13），有：

4 幾點說明

中的量——逆變階協(xié)變階張量分量的變換法則.

2） 由于這里討論的是（）的變換，即（，）群下的張量，其中=dim，包括了在物理學上有重大應用的一些群，如（2），（3），（3），（2，）等.

3） 如果考慮的是正交變換，即滿足-1=T，那么由于（-1）T=，逆變與協(xié)變沒有區(qū)別.

5 結(jié)論

在向量空間的對偶空間、向量空間之間的線性變換，及其在相應的對偶空間之間誘導出的轉(zhuǎn)置映射的框架下，嚴格地推導出了兩種向量分量的變換法則，進而闡明了不必區(qū)別這兩種向量的條件，并對如何把這里的討論推廣到一般線性群下的張量，以及微分流形上作了說明.對數(shù)理文獻中關于這方面的論述給出了堅實的數(shù)學基礎.

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The dual space， the transposed mapping， and the contravariant and the covariant vectors of the general linear group

TUHong1，2， FENGChengtian1

（1.Mathematics and Science College， Shanghai Normal University， Shanghai 200234， China；2.Key Lab for Astrophysics， Shanghai Normal University， Shanghai 200234， China）

In this paper，the concepts of the dual space and the transposed mapping in linear algebra were enunciated，which were not well known by physicists. Based on the proposed concepts，two kinds of vectors named as contravariant vector and covariant vector for the general linear group and their transformation laws were fully explained and illustrated.

dual space； transposed mapping； contravariant vector； covariant vector； general linear group

10.3969/J.ISSN.1000-5137.2022.04.001

2022-04-21

涂 泓（1967—）， 女， 博士， 主要從事數(shù)理理論方面的研究. E-mail： tuhong@shnu.edu.cn.

涂泓， 馮承天. 對偶空間、 轉(zhuǎn)置映射與一般線性群下的逆變向量和協(xié)變向量 ［J］. 上海師范大學學報（自然科學版）， 2022，51（4）：397?400.

TU H， FENG C T. The dual space， the transposed mapping， and the contravariant and the covariant vectors of the general linear group ［J］. Journal of Shanghai Normal University（Natural Sciences）， 2022，51（4）：397?400.

O 411.1

A

1000-5137（2022）04-0397-04

（責任編輯：顧浩然）