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      非局部守恒Allen-Cahn方程的高效算子分裂格式

      2022-09-15 00:28:54崔晨吳哲翟術(shù)英
      關(guān)鍵詞:剖分算例算子

      崔晨, 吳哲, 翟術(shù)英

      (華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 福建 泉州 362021)

      1 預(yù)備知識

      近年來,帶有非局部算子的Allen-Cahn方程等相場模型引起了廣泛的關(guān)注,且在數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)、圖像處理和材料科學(xué)等領(lǐng)域得到了成功的應(yīng)用. 例如,相變[1]、近場動力學(xué)理論[2]、圖像修復(fù)[3]和非局部熱傳導(dǎo)[4]. 由于經(jīng)典的Allen-Cahn方程不保持其初始質(zhì)量,Rubinstein等[5]提出了一個守恒型的Allen-Cahn方程,這個問題與相變的擴(kuò)散界面模型有密切的關(guān)系;隨后他們的模型在文獻(xiàn)[6]中得到了廣泛的分析和數(shù)值研究.

      文中,考慮如下帶有周期邊界條件的非局部Allen-Cahn方程,即

      (1)

      (2)

      式(2)中:卷積核J滿足ⅰ)J(x)≥0,?x∈Ω;ⅱ)J(x-y)=J(y-x);ⅲ) J是Ω周期的.

      非局部Allen-Cahn方程(1)可以看作能量泛函的L2梯度流[8],即

      (3)

      對能量泛函E(u)關(guān)于時間t求導(dǎo),可得

      (4)

      由上述推導(dǎo)可知,能量泛函E(u)是非增的.

      與經(jīng)典Allen-Cahn方程[9-12]的大量研究相比, 非局部Allen-Cahn方程的數(shù)值結(jié)果較少.額外的非局部項給開發(fā)快速有效的算法帶來了巨大的數(shù)值挑戰(zhàn),因此許多學(xué)者致力于這一方面的研究.Du等[13]研究了非局部Allen-Cahn問題的傅里葉譜逼近;Zhai等[14-15]結(jié)合譜方法和解析法,研究了分?jǐn)?shù)階非局部Allen-Cahn模型的快速顯式算子分裂方法;Weng等[16]對此方法進(jìn)行進(jìn)一步推廣,并給出了誤差分析;Liu等[17]研究了幾類非局部和分?jǐn)?shù)階模型的數(shù)值分析及快速算法;Guan等[18]研究了非局部Allen-Cahn和Cahn-Hilliard方程的二階凸分裂格式,且利用非線性多重網(wǎng)格方法求解離散產(chǎn)生的非線性方程;Tian等[19]對非局部擴(kuò)散方程的不同逼近形式做了比較并給出理論分析.

      鑒于此,本文給出求解守恒型非局部Allen-Cahn方程的數(shù)值格式及質(zhì)量守恒定理,并通過兩個數(shù)值算例驗證算法的有效性.

      2 數(shù)值格式

      2.1 非局部算子的離散格式

      首先,從文獻(xiàn)[20]關(guān)于非局部算子Lδ的分析,可將算子Lδ轉(zhuǎn)化為卷積形式.對于任意函數(shù)u(x,t),有

      Lδu(x,t)=(J*1)u(x,t)-J*u(x,t).

      (5)

      于是,可將Lδu在點(diǎn)(xi,tm),(0≤i≤N,0≤m≤M)處離散為

      (6)

      (7)

      (8)

      因此,針對任意的N+1階向量u=(u0,u1,…,uN-1,uN)T, 有

      Lδu=-h×

      (9)

      式(9)中:*i的值為所在行其余值和的相反數(shù).

      2.2 算子分裂法求解非局部Allen-Cahn方程

      u(t+τ)=SA(t)SB(t)SC(t)u(t)+O(τ).

      (10)

      式(10)中:非線性方程解析求解,非局部方程利用C-N格式求解,拉格朗日乘子方程利用數(shù)值積分求解,從而得到簡單高效的數(shù)值格式.

      非線性方程SA可通過解析式得到, 即

      (11)

      式(11)中:um表示第m層數(shù)值解.

      (12)

      對上述等式進(jìn)行整理,并寫成矩陣形式有

      (13)

      式(13)中:I表示單位矩陣.

      拉格朗日乘子方程SC可通過數(shù)值積分離散為

      (14)

      (15)

      (16)

      將式(16)代入式(14),可得

      (17)

      結(jié)合等式(11),(13),(17), 可獲得算子分裂格式為

      (18)

      證明:方程(18)的第3個式子與e=(1,1,…,1)T作內(nèi)積,并對i求和,可得

      (19)

      3 數(shù)值算例

      通過數(shù)值算例來驗證理論分析的正確性,包括數(shù)值格式的收斂性、能量穩(wěn)定性、質(zhì)量守恒等. 所有的算例均選擇空間區(qū)域Ω=[-1,1],高斯核J由下列等式給出[20],即

      (20)

      3.1 算例1

      取初值u0(x)=0.1cos(2πx),x∈[-1,1].為驗證空間收斂階,將時間剖分固定為M=3000.計算當(dāng)ε=0.1,δ=0.5,T=1時,不同N值的空間收斂階, 如表1所示.由表1可知: 隨著網(wǎng)格剖分變細(xì),E2及E∞變得越來越小, 且收斂精度逐漸接近預(yù)期的二階收斂.

      表1 空間收斂階(ε=0.1,δ=0.5,T=1,M=3 000)Tab.1 Spatial convergence order of different schemes (ε=0.1,δ=0.5,T=1,M=3 000)

      將空間剖分固定為N=3000, 計算當(dāng)ε=0.1,δ=0.50,T=1時,不同M值的時間收斂階, 如表2所示.由表2可知:隨著網(wǎng)格剖分變細(xì),E2與E∞均變得越來越小, 且此方法在時間上達(dá)到一階精度.

      表2 時間收斂階(ε=0.1,δ=0.50,T=1,N=3 000)Tab.2 Spatial convergence order of different schemes (ε=0.1,δ=0.5,T=1,N=3 000)

      3.2 算例2

      將能量函數(shù)E(u)進(jìn)行離散,可得

      (21)

      取初值u0(x)=0.2sin(πx)cos(πx),x∈[-1,1], 其相應(yīng)的參數(shù)為ε=0.1,T=200,N=500,M=1 000.分別取δ=0.10,0.20,0.21,0.30,得到不同δ值的數(shù)值解、能量變化及質(zhì)量圖像,分別如圖1~2所示.

      (a) 數(shù)值解(δ=0.10) (b) 能量變化(δ=0.10)

      (c) 數(shù)值解(δ=0.20) (d) 能量變化(δ=0.20)

      (e) 數(shù)值解(δ=0.21) (f) 能量變化(δ=0.21)

      (g) 數(shù)值解(δ=0.30) (h) 能量變化(δ=0.30)圖1 算例2不同δ值的數(shù)值解和能量變化圖Fig.1 Numerical solution and energy change diagram of different δ values of example 2

      (a) δ=0.10 (b) δ=0.20 (c) δ=0.30圖2 算例2不同δ值的質(zhì)量圖Fig.2 Quality map of different δ values of example 2

      由圖1可知:能量函數(shù)E(u)隨著時間t的增加而減小,滿足能量遞減規(guī)律,且能量耗散與δ的大小有關(guān),δ越大, 方程達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需時間越長.從圖2可知:對于不同δ值,所給出格式均滿足質(zhì)量守恒的性質(zhì).

      4 結(jié)束語

      文中研究了守恒型非局部Allen-Cahn方程. 首先利用算子分裂方法將原方程分解為3個子問題,并構(gòu)造相應(yīng)數(shù)值求解格式.理論分析表明,格式滿足質(zhì)量守恒. 最后,通過數(shù)值算例驗證了所給格式的有效性.

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