淺析等時圓模型

于彩娟

(山東省榮成市第二中學)

備戰(zhàn)高考的過程離不開物理模型的建構(gòu)與應(yīng)用.高中階段的物理模型主要有連接體模型、斜面模型、輕繩桿模型、碰撞模型、人船模型、彈簧振子模型、等時圓模型等.很多學生對物理模型不熟悉,對原理理解不透徹,必然影響模型的應(yīng)用.下面我們簡單分析一下等時圓模型如何建構(gòu)和應(yīng)用.

1 明確模型原理,提升科學思維

下面我們通過證明其等時性來明確模型原理,即證明tAB＝tAC＝tAD.

圖1

要解決質(zhì)點沿豎直面內(nèi)的AB、AC、AD三條光滑弦由靜止下滑的時間問題,我們必須弄清質(zhì)點的運動特征,先對兩圖進行分析,找出共同特征,從而找出解決方案,這也是證明的關(guān)鍵.

運動特征1)質(zhì)點沿光滑弦下滑的本質(zhì)就是質(zhì)點沿光滑斜面下滑(構(gòu)建斜面模型);2)質(zhì)點的運動性質(zhì)是初速度為零的勻變速直線運動;3)明確其運動性質(zhì)之后可用動力學的解題思路來分析,即用牛頓第二定律求出加速度,再用運動學公式求出時間;4)找位移時要充分利用所有的弦都在同一個圓中,且圓的半徑是個定值這一條件.

證明作兩條輔助線(如圖2中虛線所示)構(gòu)建斜面模型,設(shè)斜面AB傾角為θ,則∠ADB＝θ,設(shè)AB弦長為xAB,圓的半徑為R.由牛頓第二定律得

圖2

由幾何關(guān)系得

由運動學公式得

我們對質(zhì)點沿這些不同軌道的下滑運動進行對比分析,歸納出共性的運動特征,在此過程中,學生的歸納、類比、推理等思維方法得到了提升,學生的科學思維得到培養(yǎng).

2 充分認識模型特征,培養(yǎng)物理觀念

模型特征1)圓在豎直面內(nèi);2)弦是光滑的;3)質(zhì)點自弦上端由靜止滑到弦底端;4)弦的一端一定是圓周的最低點或最高點;5)時間相等(如圖3所示,其中圖3-丙是圖3-甲等時圓和圖3-乙等時圓的一個組合).

圖3

【思考】如圖4所示,三個質(zhì)點分別沿光滑豎直面內(nèi)的軌道OA、OB、OC由靜止下滑,討論其時間關(guān)系時,是否可用等時圓模型直接得出tOA＝tOB＝tOC?

圖4

分析有部分學生想當然地認為是等時圓模型,三段時間都相等,這是不對的.我們在應(yīng)用等時圓模型之前一定要將問題與等時圓模型特征逐一對照,對照后會發(fā)現(xiàn)與前文提到的模型特征4)不符合,所以不是等時圓模型,所以三段時間不相等.那這三段時間究竟是什么關(guān)系呢? 我們將在后面的例3中詳細分析并解答.

在高中物理的學習過程中經(jīng)常要用到一些物理概念和物理規(guī)律,這些概念和規(guī)律會不斷在頭腦中被提煉和升華.實際上,認識等時圓模型特征和規(guī)律能很好地培養(yǎng)學生的物理觀念.

3 典型分析

例1如圖5所示,在豎直平面內(nèi)有AM、BM、CM三條光滑固定軌道,其中A、C兩點處于同一個圓的圓周上,C是圓周上任意一點,A、M分別為此圓與x、y軸的切點.現(xiàn)將三個小球(可視為質(zhì)點)分別從A、B、C點同時由靜止釋放,它們將沿三條軌道運動到M點,所用時間分別為tA、tB、tC,則( ).

圖5

A.tA＜tC＜tB

B.tA＝tC＜tB

C.tA＝tC＝tB

D.由于C點的位置不確定,無法比較時間大小關(guān)系

解析對照等時圓模型特征可知AM段和CM段是等時圓模型,所以,而B點在圓周以外,所以tA＝tC＜tB,選項B正確.

例2如圖6 所示,在半徑為R的圓弧AB上放置一光滑木板DB,一質(zhì)量為m的小物體(可視為質(zhì)點)在DB板的D端由靜止下滑,然后沖向水平面BC,在BC上滑行距離L后停下.不計小物體在B點的能量損失,已知小物體與水平面BC間的動摩擦因數(shù)為μ.求:小物體沿DB下滑過程中,重力做功的平均功率.

圖6

解析由動能定理得小物體從D到C過程中重力做的功,即WG－μmgL＝0,得WG＝μmgL.

本題的解題關(guān)鍵在于通過識別等時圓模型來求時間,光滑板DB的傾角未知,其位移和加速度無法求出,導致時間無法直接求出,但弦DB符合等時圓的特征,由等時圓特征可知小物體從D到B的時間等于物體從A點沿弦AB運動到B點(如圖7)的時間,即為,所以小物體沿DB下滑過程中,重力做功的平均功率

圖7

例3如圖8所示,O、A、B、C、D位于同一圓周上,C點為圓周最低點,OB、CD是圓的直徑,將三個質(zhì)點從O點無初速度釋放,分別沿著豎直面三個光滑斜面OA、OB、OC下滑,求它們的時間關(guān)系.

圖8

解析本題不是等時圓模型,而求解的又是時間問題,我們可以試著構(gòu)建等時圓.由于三個質(zhì)點都從O點出發(fā),所以可以讓O點成為等時圓的最高點,讓等時圓過B點,交OA于E點,交OC延長線于F點,顯然O點到B、E、F、G的時間是相等的,所以tOA＞tOB＞tOC.

在高中物理學習中,我們要想更好地建構(gòu)物理模型并應(yīng)用物理模型,首先應(yīng)明確每個模型的基本原理,明確其中包含的基本概念和基本規(guī)律.實踐出真知,模型方法的精髓體現(xiàn)在建立模型的探索與發(fā)現(xiàn)之中,只有親身經(jīng)歷其中的困惑和發(fā)現(xiàn),才可能將模型方法內(nèi)化,提升認知水平,從而領(lǐng)悟應(yīng)用模型方法的要領(lǐng)與關(guān)鍵.所以建構(gòu)模型的能力不是一蹴而就的,需要教師有目的地進行引導,也需要學生用心積累.積累的過程中,學生的物理觀念得到了加強,其科學探究能力也得到了培養(yǎng).

圖9

(完)