一維PT對稱非厄米自旋軌道耦合Su-Schrieffer-Heeger 模型的拓撲性質(zhì)*

李家銳 王梓安 徐彤彤 張蓮蓮 公衛(wèi)江

(東北大學理學院,沈陽 110819)

理論上分析了受自旋指標調(diào)控并施以增益和損耗復勢能的一維非厄米自旋軌道耦合Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型的拓撲性質(zhì)和能譜特性.發(fā)現(xiàn)虛勢能導致體系的拓撲非平庸區(qū)出現(xiàn)能譜虛化,而在拓撲平庸區(qū)發(fā)生 PT 相變.此外,虛勢能和自旋軌道耦合共同作用使得拓撲平庸區(qū)中發(fā)生拓撲相變,并且拓撲非平庸區(qū)變寬.能譜結果顯示,虛勢能和自旋軌道耦合對于體系的零能態(tài)有明顯的調(diào)控作用,主要在于出現(xiàn)了4 種局域性、數(shù)目均不同的零能態(tài).這說明虛勢能和自旋軌道耦合對體系的能帶結構的特殊調(diào)節(jié)效果.本文有助于理解 PT 對稱非厄米系統(tǒng)的拓撲相變行為.

1 引言

多年來,具有空間和時間反演組合對稱性(PT對稱性)的非厄米哈密頓量一直是量子物理領域的研究熱點.PT對稱性的概念最早是在1998 年由Bender 和Boettcher 提出的,他們發(fā)現(xiàn)在PT對稱破缺發(fā)生之前,系統(tǒng)能夠出現(xiàn)純實數(shù)的本征能譜[1].隨著非厄米和拓撲量子物理的發(fā)展,PT對稱拓撲量子物理已經(jīng)成為一個重要的研究方向[2-5].

在眾多非厄米PT對稱體系的結構中,Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型是最基本、最重要的體系之一[6-8].所謂的一維SSH 模型是一種具有交替跳躍系數(shù)的一維兩能帶晶格[9-12].在厄米情況下,通過調(diào)節(jié)胞內(nèi)和胞間躍遷系數(shù)的比值,在布里淵區(qū)的邊界處會出現(xiàn)能隙閉合再打開的過程,即拓撲相變[13].在開邊界條件下,拓撲非平庸區(qū)的能隙中會出現(xiàn)局域在系統(tǒng)兩端的零能邊緣態(tài).正因為SSH 模型清晰的拓撲特性,被視為非厄米拓撲量子物理的重要研究對象.朱保剛等[14]研究了在模型兩端具有增益和損耗虛勢能的PT對稱非厄米SSH 模型.發(fā)現(xiàn)虛勢能的加入會導致體系的拓撲平庸區(qū)和非平庸區(qū)表現(xiàn)出不同的特性.在拓撲平庸區(qū)中,虛勢能會導致系統(tǒng)經(jīng)歷自發(fā)的PT對稱破缺轉(zhuǎn)變.而在拓撲非平庸區(qū),僅會出現(xiàn)自發(fā)的PT對稱破缺相.隨后,許多課題組致力于研究PT對稱非厄米SSH 模型的性質(zhì),討論了自發(fā)PT對稱破缺,添加次近鄰耦合、拓撲相位以及奇異點和拓撲邊態(tài)[15-21].在此基礎之上,其他復雜結構也得到討論,如PT對稱的三聚體晶格、Kitaev 模型、六角蜂窩晶格等[22-25].

雖然在自然界中找不到特殊的PT對稱系統(tǒng),但實驗上可以等效實現(xiàn).如利用光波導通道可以得到具有增益和損耗效果的復勢能[26],利用光學微腔或單向隱形Bragg 光柵結構實現(xiàn)PT對稱[27,28].PT對稱光學和拓撲光子學的發(fā)展直接推動了PT對稱拓撲系統(tǒng)的發(fā)展.除了光學系統(tǒng)之外,在聲學領域[29]以及LRC 電路中也能實現(xiàn)PT對稱[30,31].

隨著自旋軌道耦合體系研究的深入,有研究組指出自旋軌道耦合對厄米體系的拓撲性質(zhì)具有重要影響和驅(qū)動作用[32-34].受此啟發(fā),本文擬設計一個復雜的體系,即在一維自旋軌道耦合SSH 模型的基礎上施加與自旋方向相關的虛勢能.目的在于,研究虛勢能和自旋軌道耦合對一維自旋軌道耦合SSH 模型拓撲性質(zhì)的共同驅(qū)動作用.研究發(fā)現(xiàn),隨著虛勢能的增加,體系發(fā)生自發(fā)PT對稱破缺.此外,虛勢能和自旋軌道耦合共同作用會誘導拓撲平庸區(qū)發(fā)生相變,使得拓撲非平庸相的范圍增加.在此過程中,兩種參數(shù)對拓撲非平庸區(qū)也產(chǎn)生了不同特性的零能態(tài).所有現(xiàn)象都表明了虛勢能和自旋軌道耦合對非厄米自旋軌道耦合SSH 模型拓撲性質(zhì)、邊緣態(tài)特征等因素具有豐富的調(diào)控作用.

2 理論模型

本文提出的非厄米一維自旋軌道耦合SSH 模型是由Nc個原胞組成的一維鏈,具體結構如圖1所示.體系哈密頓量表示為

圖1 非厄米自旋軌道SSH 模型示意圖.A 和B 表示兩種晶格,紫色上箭頭和綠色下箭頭分別表示具有增益和損耗的虛勢能 iγ 和 - iγ,淺綠色線和黑色線分別表示胞內(nèi)躍遷v 和胞間躍遷w,藍色線和粉色線表示胞內(nèi)自旋軌道耦合躍遷 λ υ 和胞間自旋軌道耦合躍遷λwFig.1.Schematic diagram of the non-Hermitian spin-orbit SSH model.A and B represent two kinds of lattices,and purple-up and green-down arrows represent imaginary potentials iγ and - iγ,respectively.Light-green and black lines denote intracell hopping v and intercell hopping w,and the blue and pink lines describe the intracell spin-orbit coupling λ υ and the intercell spin-orbit coupling λ w .

右側(cè)第一項H0表示一維自旋軌道耦合SSH 模型的哈密頓量:

(2)式右側(cè)第二項U描述在位能處引入能量增益和損耗來實現(xiàn)的虛勢能項,其哈密頓量寫為

2.1 對稱性

哈密頓量的對稱性決定了具有拓撲結構的系統(tǒng)中對稱保護的拓撲相位.因此,應首先關注體系的對稱性,以呈現(xiàn)自旋軌道耦合SSH 模型的拓撲性質(zhì).利用泡利矩陣,(5)式可以改寫成:

根據(jù)所滿足的對稱性,可以將拓撲體系分類[35,36].可以推斷厄米情況下本體系屬于BDI 類,而在非厄米情況下屬于非厄米系統(tǒng)38 種拓撲分類中的BDI?類,具體分類結果如表1 所列.以往的結論[35]表明,一維BDI 類體系存在類拓撲不變量.

表1 厄米和非厄米情況的 B DI 和 B DI? 類Table 1. The B DI and B DI? classes for Hermitian and non-Hermitian Hamiltonians.

2.2 能帶結構與拓撲相變

需要強調(diào)的是,只從對稱性的角度確定體系的拓撲性質(zhì)是不夠準確的.下面計算一維非厄米自旋軌道耦合SSH 模型的能帶結構,探究體系的拓撲相變條件.將(5)式的哈密頓量進行對角化處理,可以得到動量空間能帶表達式:

通過能帶表達式(9)能夠發(fā)現(xiàn),當k=±π 時中間兩條能帶發(fā)生閉合,此時λ,δ和t之間滿足條件δ=±λ/t.同樣,當三者滿足δ=±t/λ時,中心能帶在k=0處發(fā)生能隙閉合.如圖2(a)和圖2(b)所示的λ=0.3 時的能譜.可以發(fā)現(xiàn),當δ=0.3 時中間兩條能帶在k=±π 相 交,而 當δ=3.333 時能隙 在k=0處閉合,與理論推導結果一致.

圖2 (a),(b) 厄米情況下,體系的 動量空 間能譜 圖,λ =0.3 (a) δ =0.4 ;(b) δ =2.5 .(c) 動量空 間相圖,其中黃 色對應Z=2π,綠色對應 Z =π 以及紫色對應 Z =0 .(d) 體系能譜隨著二聚化參量 δ 的變化Fig.2.(a),(b) The energy spectra of system in the momentum space under the Hermitian condition with λ =0.3 : (a) δ =0.4 ;(b) δ =2.5 .(c) Phase diagram in the momentum space,where yellow region corresponds to Z =2π,green region corresponds to Z=π,and purple corresponds to Z =0 .(d) Energy spectrum with the change of dimerization parameter δ .

根據(jù) B DI 類對稱性的結論,體系存在Z類拓撲不變量.將動量空間哈密頓量轉(zhuǎn)換為非對角形式,代入拓撲不變量表達式

圖3 隨 γ 和 λ 變化的拓撲相圖.藍色對應 Z =π 的拓撲非平庸相,綠色區(qū)域表示=0 的拓撲平庸相.相關參數(shù)為 δ =0.4 以 及t=1.0Fig.3.Topological phase diagram with changes in γ and λ .Blue region corresponds to the topologically non-trivial phase of =π,and green region represents the topologically trivial phase of Z =0 .Relevant parameters are taken to be δ =0.4 and t =1.0 .

3 數(shù)值結果與討論

基于上述理論推導,接下來從動量空間和坐標空間出發(fā),詳細討論非厄米一維自旋軌道SSH 模型的能帶結構.為方便計算,整篇文章中取t=1.0 .

圖4 給出了在動量空間中非厄米一維自旋軌道耦合SSH 模型的能譜.參數(shù)設置為λ=0.3 和δ=0.4,對應厄米情況下的拓撲平庸區(qū).從圖4 可以發(fā)現(xiàn),隨著γ的增加,體系確實經(jīng)歷了兩次相變過程,這意味著虛勢能在調(diào)控體系的拓撲屬性方面扮演了重要角色.具體來說,從圖4(a)和圖4(b)可以觀察到,當γ增加至時,中間兩條能帶在k=±π處相遇.在這個過程中發(fā)生了拓撲相變,與(11)式結果一致.隨著γ繼續(xù)增加,閉合的能隙重新打開.在γ=0.8 時(如圖4(c)),上下兩條能帶在k=±π 處相交,此時簡并點能量為|E|=2λ.當γ＞2δt時,虛勢能使簡并點劈裂成兩個與PT對稱性破缺相關的奇異點,此時出現(xiàn)能量虛部.當γ ≈1.986 時,能隙重新在k=0 處閉合,且閉合點的能級虛部 I m(E)=0 (如圖4(e)).這說明了體系發(fā)生第二次相變,而且條件與(12)式一致.隨著非厄米勢能的增加,兩個奇異點繼續(xù)移動,復能區(qū)逐漸擴展到中心.在γ=2t=2.0 時,兩個奇異點在k=0處合并,虛部在k=0 處形成狄拉克錐,此時實部能量為E=±2δλ(如圖4(f)).最后,γ＞2t時,整個體系的能量全部為復數(shù),不再存在奇異點.根據(jù)以上結果,可以確定虛勢能在非厄米自旋軌道耦合SSH 模型中誘導出了豐富的能帶結構.

圖4 不 同虛勢能 γ 的能帶結構 (a) γ =0.3 ;(b) γ =/5 ;(c) γ =0.8 ;(d) γ =1.0 ;(e) γ ≈1.986 ;(f) γ = 2 .0 .對 應于圖3中標出的各個位置.藍線表示能量的實部,紅線對應于虛部.其他參數(shù)為λ=0.3和δ=0.4Fig.4.Band structures for different values of imaginary potentialγ: (a)γ=0.3;(b)γ=/5 ;(c) γ = 0 .8 ;(d) γ =1.0 ;(e) γ ≈1.986 ;(f) γ =2 .Correspond to the respective points in Fig.3.The blue lines indicate the real part of energy,and the red lines correspond to the imaginary part.Other parameters are λ =0.3 and δ =0.4 .

接下來討論開邊界情況下體系的能譜結構,相關參數(shù)取λ=0.3 .根據(jù)厄米情況的結論知道,當δ ∈[-1.0,-0.3] 時,存在四重簡并零能,而在δ ∈[-0.3,0.3]時表現(xiàn)為二重簡并零能,剩下區(qū)域δ ∈[0.3,1]為拓撲平庸區(qū).

圖5 給出的是在Nc=50 的條件下能帶的實部和虛部.由(11)式和(12)式可知,非厄米情況下體系在和δ3(4)=處會發(fā)生相變.從能量的實部和虛部圖中可以發(fā)現(xiàn),虛勢能對于體系的拓撲非平庸和平庸相的體態(tài)和零能態(tài)具有不同的調(diào)控作用.首先,對于拓撲平庸區(qū)而言(厄米 0.3＜δ＜1),隨著γ的增加,由虛勢能誘導的零能態(tài)區(qū)域逐漸變寬.當γ=1.908 時,達到拓 撲相變條件δ1,在δ ∈[0.3,1.0]全區(qū)間內(nèi)存在零能態(tài)(如圖5(e)).在整個過程中新產(chǎn)生的零能態(tài)無虛部出現(xiàn).而在拓撲非平庸區(qū)(厄米δ∈[-1.0,0.3])中,虛勢能對兩個非平庸相的作用效果不同.虛勢能的加入導致厄米的四重簡并零能態(tài)出現(xiàn)虛部,即E=0±ib,說明該階段發(fā)生PT對稱破缺,而原來二重簡并的狀態(tài)仍表現(xiàn)為純實數(shù)的零能.γ的增加使?jié)M足δ2的拓撲相變點逐漸靠近δ=-1.0,導致原來四重零能態(tài)區(qū)域減小,二重零能態(tài)區(qū)域逐漸增大.另外,在δ ∈[-δ2,0] 中出現(xiàn)從體態(tài)析出的孤立態(tài).隨著δ趨近于-1.0,孤立態(tài)也逐漸進入到零能態(tài)中并伴有能量虛部,形成具有純實零能又有純虛能的混合六能態(tài)區(qū)域.由于該部分的零能態(tài)不是由于能隙閉合再打開產(chǎn)生,推斷其不具有拓撲性.當γ=2.0 時,拓撲相變的破缺導致體系不再存在拓撲相,僅存在具有虛勢能的能態(tài).對于體態(tài),在-γ/2＜δ ＜γ/2范圍內(nèi)體態(tài)有虛部出現(xiàn),發(fā)生PT對稱破缺,而其余區(qū)域的體態(tài)均為實數(shù).以圖5(d)為例,當γ=2.0時,整個參數(shù)空間的體態(tài)都有虛部.基于以上結果,可以發(fā)現(xiàn)虛勢能對于開邊界條件下的的能帶結構和拓撲態(tài)具有明顯的調(diào)控作用.

圖5 開邊界情況下,不同 δ 的能量實部和虛部 (a),(b) γ =0.1 ;(c),(d) γ =/5 ;(e),(f) γ ≈1.908 ;(g),(h) γ =2.0 .左側(cè)顯示能量的實部,右側(cè)對應于能量的虛部.其他參數(shù)設為 λ =0.3 .圖中紅線代表零能態(tài)的實部和虛部Fig.5.Real and imaginary parts of energy for different δ : (a),(b) γ =0.1 ;(c),(d) γ =/5 ;(e),(f) γ ≈ 1 .908 ;(g),(h)γ=2.0.Left panel shows the real part of energy,and the right corresponds to the imaginary part of energy.Other parameters are λ=0.3.The red lines denote the real and imaginary parts of zero energy states.

為了更好地描述體系中零模的特征,圖6(a)—(d)依次給出了δ=-0.7,δ=-0.32,δ=-0.23 及δ=0.32時的本征能譜和波函數(shù)概率密度.可以觀察到,不同區(qū)域的零能態(tài)呈現(xiàn)出異樣的特征.具體在于,當δ=-0.7 時,在能隙中存在四個純虛能態(tài).圖6(a)概率密度譜中(i) 和(iii)對應 0 +0.514i,(ii)和(iv)對應 0-0.514i .由于虛勢能的加入導致本征能量變?yōu)閺蛿?shù),四個態(tài)都呈現(xiàn)局域在晶格的左端或右端的趨勢,并且相同能量的兩個態(tài)的局域性相反.圖6(b)對應δ=-0.32 的結果.可以看出,能隙中存在六個態(tài),其中四個有虛能量,兩個能量為純實數(shù).從前面的結果可知,有能量虛部的態(tài)是由體態(tài)中析出的孤立態(tài)導致的,不具有拓撲性.從概率密度可以發(fā)現(xiàn),兩個純實零能態(tài)(i)局域在系統(tǒng)的兩端.四個能量為 0 +0.271i (ii)和 0-0.271i (iii)的態(tài)也呈現(xiàn)局域在系統(tǒng)兩端的趨勢.為了確定從體系析出的孤立態(tài)情況,圖6(c)給出了δ=-0.23 的結果.從能譜可以觀察到,新產(chǎn)生的孤立態(tài)是二重簡并的,在能隙中間形成純實能的二重簡并零能態(tài).從概率密度可知,孤立態(tài)和零能態(tài)一樣,都呈現(xiàn)局域在系統(tǒng)兩端的趨勢.然而,與孤立態(tài)產(chǎn)生的零能模相比(圖6(b)中(ii)和(iii)),局域性相對較弱.最后,當γ=0.32 時,虛勢能的加入導致原有的拓撲平庸區(qū)的間隙中出現(xiàn)局域在系統(tǒng)兩端的二重簡并零能態(tài),如圖6(d)所示.綜上所述,虛勢能的加入導致原來的拓撲平庸區(qū)的間隙中出現(xiàn)局域在系統(tǒng)兩端的二重簡并零能態(tài),而隨著體態(tài)析出的二重簡并孤立態(tài)進入到零能態(tài)中,導致原有二重實零能態(tài)變?yōu)榱鶄€態(tài).這說明虛勢能可以讓體系的零能態(tài)呈現(xiàn)出更加有趣的現(xiàn)象.

圖6 開邊界條件下的能譜和概率密度譜 (a) δ =-0.7 ;(b) δ =-0.32 ;(c) δ =-0.23 ;(d) δ =0.32 .其他參數(shù)設為λ=0.3以及γ=/5Fig.6.Energy and probability density spectra with open boundary conditions: (a) δ =-0.7 ;(b) δ =-0.32 ;(c) δ =-0.23 ;(d)δ=0.32.The other parameters are λ=0.3 andγ=/5 .

下面討論虛勢能強度γ對不同區(qū)域能譜結構的影響,如圖7 所示.其中圖7(a)和圖7(b)對應δ=-0.4,圖7(c)和圖7(d)對應δ=-0.2 以及圖7(e)和圖7(f)對應δ=0.4 .它們分別描述厄米體系中四重簡并、二重簡并的拓撲非平庸區(qū)和拓撲平庸區(qū).從圖7(a)和圖7(b)可以發(fā)現(xiàn),在γ＜2δt=0.8 區(qū)間內(nèi)體態(tài)能量為實數(shù),而γ＞0.8 區(qū)間內(nèi)體態(tài)能量有虛部出現(xiàn).對于零能態(tài),只要γ不等于零,它的本征能量立刻呈現(xiàn)出虛部,導致體系一直PT破缺.此外,在兩次拓撲相變點＜1.986之間,虛勢能驅(qū)動了新的純實零能態(tài)出現(xiàn);當γ＞1.986,有虛勢能驅(qū)動的拓撲相變破缺,純實零能態(tài)消失.在δ=-0.2 的情況 下(圖7(c)和 圖7(d)),當γ ＜0.4 時,整個體系處于嚴格的PT對稱;當γ ＞0.4時,由于體態(tài)能量存在虛部,因此發(fā)生PT對稱破缺.除此之外,隨著γ的增加,可以看到確實從體態(tài)中析出二重簡并孤立態(tài).由于孤立態(tài)產(chǎn)生的零能加入,導致在γ＞1.4 后出現(xiàn)混合六能態(tài)區(qū).直到第二次拓撲相變之后,體系的零能轉(zhuǎn)變?yōu)樗闹丶兲撃軕B(tài).最后,對δ=0.4 的情況,如圖7(e),(f)所示,體系經(jīng)歷PT相 變,即 在γ＞0.8 處發(fā)生PT對稱破缺.此外還能發(fā)現(xiàn),在兩次拓撲相變之間的間隙中出現(xiàn)有二重拓撲零能態(tài).基于以上結果可以看出,對于厄米情況下不同類型的拓撲相,虛勢能會對零能和體態(tài)產(chǎn)生不同的作用效果.

圖7 γ 變化對能量實部和虛部的影響 (a),(b) δ =-0.4 ;(c),(d) δ =-0.2 ;(e),(f) δ =0.4 .左側(cè)顯示能量的實部,右側(cè)對應于能量的虛部.其他參數(shù)為 λ =0.3 .圖中紅線代表零能態(tài)的實部和虛部Fig.7.Real and imaginary parts of energy for different γ : (a),(b) δ =-0.4 ;(c),(d) δ =-0.2 ;(e),(f) δ = 0 .4 .Left panel shows the real part of energy,and the right corresponds to the imaginary part.Other parameters are λ =0.3 .The red lines describe the real and imaginary parts of zero energy states,respectively.

圖8 不同λ導致的能量實部和虛部(a),(b)δ=-0.4;(c),(d) δ=-0.2 ;(e),(f) δ =0.4 .左側(cè)顯示能量的實部,右側(cè)對應于能量的虛部.參數(shù)設置為γ=/5.圖中紅線代表零能態(tài)的實部和虛部Fig.8.Real and imaginary parts of energy for different λ : (a),(b) δ =-0.4 ;(c),(d) δ =-0.2 ;(e),(f) δ = 0 .4 .Left panel shows the real part of energy,and the right corresponds to the imaginary part.Other parameters are γ =/5 .The red lines describe the real and imaginary parts of zero energy states,respectively.

4 結論

本文在一維自旋軌道耦合SSH 模型中,通過施加具有增益和損耗的虛勢能來構造一維PT對稱體系,著重考察了由虛勢能和自旋軌道耦合驅(qū)動的拓撲相變以及零能態(tài)的特性.結果發(fā)現(xiàn),自旋軌道耦合和虛勢能的作用導致體系出現(xiàn)了豐富而有趣的現(xiàn)象.首先,虛勢能的加入讓拓撲非平庸體系發(fā)生自發(fā)PT對稱破缺,而在拓撲平庸區(qū)中可以觀察到PT對稱相變,即從嚴格PT對稱到PT對稱破缺.其次,虛勢能和自旋軌道耦合的共同作用導致非平庸區(qū)中出現(xiàn)不同特性、不同數(shù)量的零能態(tài):I) 四個能量為 0±ib型的能態(tài);II) 由于從體態(tài)析出的二重孤立態(tài)進入零能態(tài)中而產(chǎn)生的具有二重純實零能態(tài)和四個純虛能態(tài)的混合六能態(tài)區(qū)域;III) 具有純實零能的二重簡并零能態(tài).對于拓撲平庸區(qū)而言,虛勢能和自旋軌道耦合共同作用使厄米情況下的拓撲平庸區(qū)發(fā)生拓撲相變,在平庸區(qū)的間隙中出現(xiàn)二重純實數(shù)零能態(tài),拓寬了體系的拓撲非平庸區(qū).相信以上結果有助于探究PT對稱非厄米系統(tǒng)的拓撲相變行為,同時為探究非厄米零能態(tài)的種類和性質(zhì)提供了理論支持.