時變需求下基于隨機(jī)干擾和部分預(yù)支付的易腐品庫存控制

陳金葉，彭揚

（1.浙江經(jīng)濟(jì)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.浙江工商大學(xué)，浙江 杭州 310018）

0 引言

庫存管理是企業(yè)為提高庫存使用效率并降低庫存成本而采取的一系列策略。庫存控制系統(tǒng)的主要目標(biāo)是在不降低顧客滿意度和服務(wù)水平的前提下提高企業(yè)的總利潤。Harris于1913年提出第一個庫存模型，即經(jīng)典的經(jīng)濟(jì)訂貨批量（EOQ）模型。而庫存管理中經(jīng)典的訂貨批量模型都是基于每批次生產(chǎn)或接收的產(chǎn)品都符合所有質(zhì)量要求這一假設(shè)，與實際情況存在差異，是傳統(tǒng)EOQ庫存模型研究中的一個重要限制。近年來，庫存管理實踐過程中出現(xiàn)的“供應(yīng)干擾”問題吸引了眾多研究者的關(guān)注，拓展出更多數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于現(xiàn)實庫存控制問題。此外，由于供應(yīng)商之間競爭加劇、上漲的通貨膨脹率以及取消訂單等因素，供應(yīng)商通常會要求零售商提前預(yù)付。

Parlar和Berkin在經(jīng)典訂貨批量模型中考慮了供應(yīng)中斷問題，假設(shè)僅供應(yīng)商，構(gòu)建了考慮機(jī)器故障的生產(chǎn)與庫存模型。Yano和Lee的研究重點是供應(yīng)過程的中斷及其對產(chǎn)量不確定性的影響。Parlar和Perry提出了隨機(jī)干擾下的雙供應(yīng)商庫存控制模型，他們假設(shè)在不同的參數(shù)下，可以使用指數(shù)概率分布函數(shù)來模擬供應(yīng)商的供應(yīng)中斷。Babich研究了供應(yīng)商的相互依賴和風(fēng)險如何影響供應(yīng)鏈、制造商的采購和生產(chǎn)、供應(yīng)商的定價策略以及供應(yīng)鏈中每個成員的利潤。Chen，等將庫存控制模型擴(kuò)展到兩個可靠和不可靠的供應(yīng)商，第一個供應(yīng)商可能會被中斷，但是第二個供應(yīng)商在中斷期間提供有限的供應(yīng)能力。Hishamuddi，等運用數(shù)學(xué)模型研究了生產(chǎn)過程中斷下供應(yīng)鏈的恢復(fù)問題，提出一種啟發(fā)式算法求解最佳的修復(fù)方案，使供應(yīng)鏈的總成本最小化。Wang，等對存在隨機(jī)中斷的多階段庫存控制問題進(jìn)行了周期性回顧。Snyder將確定性需求和隨機(jī)供應(yīng)中斷引入經(jīng)典的EOQ模型，研究了最優(yōu)訂購策略。供應(yīng)中斷可能由不同的原因（運輸問題、工人罷工、自然問題等）而引發(fā)。近年來，研究人員已經(jīng)開始關(guān)注庫存控制系統(tǒng)中的供應(yīng)中斷問題和延遲交付。Skouri，等研究了帶有延遲訂單的單級庫存模型，其中有一批有缺陷的產(chǎn)品被拒絕，該模型類似于考慮供應(yīng)中斷干擾的經(jīng)濟(jì)訂貨批量問題。Salehi，等提出了一個部分延遲訂貨的EOQ模型，考慮了由于質(zhì)量問題導(dǎo)致的供應(yīng)鏈中斷，他們采用“全部或無”策略，即該批次產(chǎn)品完全被接受或者完全被拒絕。Taleizadehet，等考慮了現(xiàn)實情況中可能發(fā)現(xiàn)的供應(yīng)鏈中斷情況，研究了部分延遲支付和隨機(jī)中斷下的庫存成本結(jié)構(gòu)變化，并給出了最優(yōu)的訂購策略。Konstantaras，等考慮了獨立內(nèi)生供應(yīng)中斷的經(jīng)典訂貨批量問題，采用獨立的伯努利過程研究了由（S,T）庫存策略控制的單級庫存配置問題。

而對于高季節(jié)性的產(chǎn)品或者易于腐敗變質(zhì)的產(chǎn)品來說，賣方通常會要求買方預(yù)付一定的采購費用來降低風(fēng)險，而作為回報，買方得到準(zhǔn)時的交貨保證或價格折扣等。Zhang建立了考慮固定預(yù)付費用的庫存控制模型，推導(dǎo)出最優(yōu)訂購策略。Maiti，等研究了預(yù)付策略下具有價格依賴需求的隨機(jī)庫存控制模型。Teng，等認(rèn)為針對有季節(jié)性需求的變質(zhì)商品，供應(yīng)商通常要求零售商預(yù)付采購成本的一部分作為定金，而變質(zhì)商品的保質(zhì)期是買方作出購買決定的重要因素。在研究中假設(shè)隨著保質(zhì)期的臨近，產(chǎn)品的變質(zhì)率逐漸增加，構(gòu)建了季節(jié)性需求產(chǎn)品庫存控制模型，并給出全局最優(yōu)決策。

國內(nèi)對于易腐品庫存控制的研究主要是將經(jīng)典的訂貨批量模型拓展到不同的需求函數(shù)或不同的支付策略。賈濤，等研究了在銷售單一品種的易腐品供應(yīng)鏈中，假設(shè)銷售商在獲得供應(yīng)鏈上游供應(yīng)商延時還款的同時，也從供應(yīng)鏈下游顧客處獲得了部分預(yù)付款，分三種情況討論了銷售商的成本構(gòu)成，并由此建立數(shù)學(xué)模型以求解最優(yōu)訂貨周期，使得銷售商單位時間總成本最小化。段永瑞，等主要對需求受展示區(qū)庫存水平影響的易腐品訂購和轉(zhuǎn)運問題進(jìn)行了研究。李嘉音，等基于需求依賴庫存的一般商品的庫存模型，以單一易腐品為研究對象，考慮零售貨架空間有限和商品在零售商倉庫及貨架腐敗速率的差異，建立了單一易腐品模型，并分析了零售商如何尋求最優(yōu)訂貨策略和補貨策略的問題。彭揚，等構(gòu)建了基于部分預(yù)付策略，不允許缺貨、部分短缺以及完全短缺三種情況下的易腐品庫存控制模型，給出了零售商最優(yōu)訂貨周期和最優(yōu)訂購批量的求解算法。崔玲，等考慮到市場需求不僅受零售商庫存量的影響，而且常依賴于零售商的延期支付策略，研究了易腐商品需求同時依賴于庫存量與延期支付期限的兩級延期支付庫存策略問題。周熙登考慮了兩層次延期支付，其供貨商提供給批發(fā)商延期支付期策略，同樣批發(fā)商提供給零售商延期支付策略，建立了在商業(yè)信用條件下具有隨機(jī)缺陷率產(chǎn)品的庫存決策模型，然后得出批發(fā)商在不同情況下的最優(yōu)訂貨周期、訂購數(shù)量的簡單判定方法。林峰，等基于商業(yè)信用額度構(gòu)建了零售商關(guān)于易腐品的訂購決策模型。通過分析零售商資金機(jī)會成本的不同形式，得到零售商關(guān)于易腐品的五種不同的成本函數(shù)表達(dá)式。結(jié)合數(shù)學(xué)證明可以得到零售商五種目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)，以及在商業(yè)信用額度條款下零售商最優(yōu)的訂購決策。曹裕，等研究了具有保質(zhì)期的易變質(zhì)產(chǎn)品批量訂貨決策，考慮了不存在缺貨與缺貨部分積壓問題，引入零售商向供應(yīng)商提前支付購置成本的支付方式，探究了零售商對于易變質(zhì)產(chǎn)品的庫存控制策略。

根據(jù)上述文獻(xiàn)綜述，基于部分預(yù)支付和部分延遲訂購下同時針對買方可能面臨的隨機(jī)中斷情況的易腐品經(jīng)濟(jì)訂貨批量問題研究不多，并且相關(guān)研究中鮮少考慮預(yù)支付所產(chǎn)生的資金成本和部分延遲訂購產(chǎn)生的延期交貨成本。在易腐品市場中，供應(yīng)商如何通過部分預(yù)付策略降低經(jīng)營風(fēng)險，獲取采購保證以及零售商需要面臨供應(yīng)隨機(jī)中斷情況下的訂購風(fēng)險等都是實際訂購中需要考慮的問題，均可成為易腐品庫存控制的研究方向。本文建立了基于隨機(jī)干擾和部分預(yù)支付條件下部分延遲交貨的經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型。總成本函數(shù)包括固定訂貨成本、采購成本、庫存持有成本、資金成本、變質(zhì)成本、延期交貨成本和損失的銷售機(jī)會成本。給出了具體的模型以及零售商最優(yōu)訂貨周期與最大收益的決策算法，并且在推導(dǎo)出理論結(jié)果后進(jìn)行了數(shù)值實驗和靈敏度分析，最后從管理分析角度提出了決策建議。

1 符號表示與條件假設(shè)

1.1 符號表示

模型中所用到的主要符號見表1。

表1 模型參數(shù)與變量

1.2 條件假設(shè)

模型的假設(shè)條件為：（1）供應(yīng)鏈內(nèi)有一個供應(yīng)商銷售單一產(chǎn)品給零售商，計劃期無限長，瞬時補貨，不考慮訂貨提前期和運輸能力限制；（2）供應(yīng)商要求零售商在訂單下達(dá)時將采購費用按照一定次數(shù)分批預(yù)支付，零售商可在預(yù)付期內(nèi)分批將的采購費用分成期支付，在零售商收到訂貨后，需要按照合同立即支付貨款比例的(1)給供應(yīng)商；（3）產(chǎn)品為易腐品，市場需求率與時間以及庫存有關(guān)，且產(chǎn)品僅在庫存階段出現(xiàn)變質(zhì)情況，變質(zhì)率為常數(shù)(01)；（4）考慮允許缺貨且缺貨部分延遲情況；（5）供應(yīng)商不完全可靠，供貨批次低于質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的概率是固定的（缺陷交付），缺陷交付事件是相互獨立的；（6）每次供貨到貨后都要進(jìn)行檢驗，如果發(fā)現(xiàn)有缺陷，就予以拒收，整個系統(tǒng)實行“全接收或全退回”策略；（7）無緊急交付，不合格批次的總數(shù)量按常規(guī)添加到下一個交付周期。

2 模型構(gòu)建

圖1 T'=2T時基于隨機(jī)干擾和部分預(yù)支付的易腐品庫存控制模型

本文的需求方程中，假設(shè)在庫存降為零以后，由于拖后率是等待時間的遞減函數(shù)，即存在部分顧客由于等待時間過長而造成銷售機(jī)會損失，則其需求率可由式（1）表示：

則訂購批量(0)()。

在一個訂貨周期[0]內(nèi)，庫存系統(tǒng)的成本包括：固定訂貨成本、庫存持有成本、采購成本、資金成本、延遲交貨成本、變質(zhì)成本、機(jī)會成本，除固定訂貨成本外，其余成本分別為：

由泰勒公式可知：

總成本為以上幾部分的總和，即為：

平均成本為：

則目標(biāo)函數(shù)平均成本可以轉(zhuǎn)換為以下形式：

其中：

情形一：

方程Δ()可寫成：

由于()0無根，則()在定義域上嚴(yán)格大于0或者嚴(yán)格小于0，又因為(0)≤0，則()在定義域[01]上應(yīng)嚴(yán)格小于等于0。

由計算可得：

情形二：

方程Δ()可寫成：

由于()0無根，則()在定義域上嚴(yán)格大于0或者嚴(yán)格小于0。(0)≤0，則()在定義域[01]上嚴(yán)格大于0。將()代入Δ()中，則：

將代入()中，可得：

3 數(shù)值實驗和靈敏度分析

3.1 數(shù)值實驗

本文數(shù)值試驗參數(shù)設(shè)置見表2。

表2 參數(shù)賦值

計算可得最優(yōu)解為：=0.147 7，=0.754 3，=187.055 3，=339 86。

3.2 靈敏度分析

為了研究各參數(shù)值變化對最優(yōu)解的影響，進(jìn)行以下數(shù)值分析。

由于庫存系統(tǒng)成本中有部分成本項目相同，包括固定訂貨成本、采購成本、資金成本、庫存持有成本、延遲交貨成本、變質(zhì)成本、機(jī)會成本，所以本文將對部分相關(guān)參數(shù)的靈敏度進(jìn)行分析，將各參數(shù)分別變化-60%、-30%、30%、60%，令其他參數(shù)不變，逐一進(jìn)行計算，結(jié)果見表3。根據(jù)表3的計算結(jié)果，可得以下結(jié)論：

表3 靈敏度分析

隨著參數(shù)的變化，未出現(xiàn)變化，、和都出現(xiàn)明顯變化；隨著參數(shù)d增加，最優(yōu)訂貨周期降低，而最優(yōu)訂貨批量增加，反之亦然；總成本出現(xiàn)與參數(shù)d相似的改變。

隨著參數(shù)的變化，未出現(xiàn)變化，和出現(xiàn)明顯變化，出現(xiàn)較小變化；隨著參數(shù)A增加，最優(yōu)訂貨周期和最優(yōu)訂貨批量隨之明顯增長，總成本出現(xiàn)微弱增長趨勢，反之亦然。這是因為隨著固定訂貨成本的增加，為了平衡總成本，庫存系統(tǒng)會相應(yīng)減少采購次數(shù)，提高訂購批量和延長訂購周期。

隨著參數(shù)的變化，、和出現(xiàn)較小變化，變化不明顯（靈敏度較小，可忽略不計）；隨著參數(shù)增長，最優(yōu)訂貨周期、和最優(yōu)訂貨批量均隨之小幅度降低，反之亦然。這是因為隨著變質(zhì)率上升，庫存系統(tǒng)需要減少平均庫存量來降低整體庫存損耗，所以最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量都會降低。

隨著參數(shù)的變化，、、和均出現(xiàn)較小變化，隨著參數(shù)增加，最優(yōu)訂貨周期、最優(yōu)訂貨批量和總利潤出現(xiàn)微弱的增長趨勢，出現(xiàn)微弱的降低趨勢，反之亦然。這是因為隨著單位時間資金成本率的增加，庫存系統(tǒng)中的資金成本增加，所以總成本會有所降低，反之亦然。

隨著參數(shù)的變化，、、和均出現(xiàn)較小變化，隨著增加，最優(yōu)訂貨周期、最優(yōu)訂貨批量和總成本出現(xiàn)微弱的增長趨勢，出現(xiàn)微弱的降低趨勢，反之亦然。這是因為供應(yīng)商要求零售商提前支付的采購成本比例增加會導(dǎo)致整個庫存資金成本的增加。

隨著參數(shù)C的變化，、和均出現(xiàn)較小的變化趨勢，變化不明顯（靈敏度較小，可忽略不計）。隨著C增加，最優(yōu)訂購周期、和最優(yōu)訂購批量均出現(xiàn)下降趨勢，總成本出現(xiàn)微弱的增長趨勢，反之亦然。

隨著參數(shù)r的變化，、、和均出現(xiàn)一定程度的變化。隨著r增長，最優(yōu)訂購周期出現(xiàn)明顯下降趨勢，和最優(yōu)訂購批量出現(xiàn)明顯增長趨勢，總成本出現(xiàn)較小程度的增幅。這是因為庫存周期控制依賴于每批次由于不合格而被拒收的概率，若概率增加，零售商將通過縮短訂購周期和提高訂貨批量以應(yīng)對隨機(jī)干擾風(fēng)險。

隨著參數(shù)的變化，、、和變化不明顯（靈敏度較小，可忽略不計）。

隨著參數(shù)的變化，、、和均出現(xiàn)較小程度的變化。隨著增加，、和出現(xiàn)較小的增幅，出現(xiàn)較小幅度的降低，反之亦然。

4 管理分析

本文定量地分析了隨機(jī)干擾情況下易腐品供應(yīng)鏈中的經(jīng)濟(jì)訂貨批量和庫存控制問題，在部分預(yù)支付條件下對零售商成本構(gòu)成進(jìn)行了詳細(xì)分析。分別從供應(yīng)商和零售商的角度出發(fā)，提出最優(yōu)決策，從而降低各自的經(jīng)營和采購風(fēng)險。綜合以上模型的數(shù)值實驗和算例分析可知，對于零售商而言，更傾向于選擇批次處理不合格概率更低、預(yù)付比例更少、預(yù)付周期更短、預(yù)付款分批次數(shù)更多的供應(yīng)商。對于供應(yīng)商來說，如果產(chǎn)品質(zhì)量和供應(yīng)保障能力較高，可以適當(dāng)要求零售商支付部分采購成本，這樣可以降低供應(yīng)商經(jīng)營風(fēng)險，獲取采購保證。在應(yīng)對供應(yīng)商要求提供更高百分比的預(yù)付款的，零售商可以通過向供應(yīng)商要求延長預(yù)付款支付周期長度來平衡這種利益關(guān)系。

5 結(jié)語

對于易腐品，常用的庫存管理策略僅適用于正常的市場環(huán)境中，在庫存管理決策面臨隨機(jī)干擾時，最終決策往往不受限于最優(yōu)性決策。由于易腐品的特殊性，考慮實踐中的隨機(jī)干擾情況，現(xiàn)有的庫存控制模型并不能滿足庫存管理決策需要，基于此，本文建立了隨機(jī)干擾下的經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型?？紤]在庫存控制系統(tǒng)中，零售商在接受每個批次之前均進(jìn)行抽樣檢查，如果檢驗員在該批次中發(fā)現(xiàn)一件次品，則該批次貨物不合格，零售商將拒絕接受。假設(shè)每批次出現(xiàn)貨物不合格為隨機(jī)事件，服從概率分布，則庫存系統(tǒng)的周期取決于批次不合格的概率。拒收后直接導(dǎo)致所需物品的供應(yīng)中斷。為使模型適用于現(xiàn)實情況，還考慮了供應(yīng)商要求部分預(yù)支付條件下部分延遲交貨的經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型。構(gòu)建了具體的模型以及零售商最優(yōu)訂貨周期與最大收益的決策算法，并且在推導(dǎo)出理論結(jié)果后進(jìn)行了數(shù)值實驗和靈敏度分析，最后從管理分析角度給出決策建議。但是在模型構(gòu)建中未考慮供應(yīng)商中斷對產(chǎn)品價格的影響，也未考慮常見的提前銷售策略。在未來的研究中，可以從總利潤角度出發(fā)，考慮基于延遲支付策略和隨機(jī)干擾影響產(chǎn)品價格的最優(yōu)庫存控制決策。