光學(xué)元件拋光的PSD分析及控制策略

汪志斌，田 瑤，孫鵬程，張 征，張 峰，張云龍，焦明印

（西安應(yīng)用光學(xué)研究所，陜西 西安 710065）

引言

傳統(tǒng)描述光學(xué)面形的參數(shù)如峰谷值（PV）、均方根值（RMS）、澤尼克多項式（Zernike polynomial）等均缺乏定量化的頻譜描述功能，不能提供誤差頻譜方面信息。誤差頻譜與光學(xué)成像效果存在關(guān)聯(lián)性，在光學(xué)國際標(biāo)準(zhǔn)里將PSD 作為光學(xué)面形誤差的評價手段[1]，在強(qiáng)光以及大口徑光學(xué)元件中得到了大量的應(yīng)用[2-5]。

國內(nèi)和國外大多數(shù)研究以PSD 作為面形評價參數(shù)，如李智鋼等對大口徑立軸拋物面鏡采用PSD 進(jìn)行評價，并用于指導(dǎo)實際加工[2]。Murakami介紹了尼康（Nikon）公司在極紫外光刻光學(xué)元件加工中應(yīng)用PSD 評價光學(xué)元件[6]，Aikens 等采用PSD 評價光學(xué)表面輪廓[7]。國內(nèi)學(xué)者甚至將PSD 用于粗糙度的評價[8]。在用PSD 評價面形誤差以外，有學(xué)者基于PSD 以及特征曲線對不合格頻段誤差進(jìn)行反饋補(bǔ)償，主要方式有：采用多種拋光方式組合的方式[9-12]以及對不合格頻率進(jìn)行小波分析定位后進(jìn)行去除[3-4]。國內(nèi)、外大多數(shù)研究是基于PSD 評價，采用去除函數(shù)優(yōu)化、工藝參數(shù)優(yōu)化等實現(xiàn)面形符合PSD 評價需求，對PSD 影響因素進(jìn)行綜合分析較少。本文主要通過數(shù)值方法生成隨機(jī)表面輪廓，模擬光學(xué)表面，分析相應(yīng)參數(shù)對PSD 的影響，同時對典型路徑下的PSD 曲線進(jìn)行分析，為PSD 評價控制提供技術(shù)支撐。

1 PSD 分析及光學(xué)要求

PSD 作為一種光學(xué)零件評價方式，并非是一個新的物理量，而是將面形輪廓檢測的數(shù)據(jù)在去除基礎(chǔ)面形后進(jìn)行傅里葉變換，采用統(tǒng)計學(xué)原理，分析各頻率誤差幅值在相應(yīng)頻率上的總和。PSD 為一種統(tǒng)計學(xué)上的分布評價，與檢測口徑?jīng)]有關(guān)聯(lián)。其定義為

式中：fx為空間頻率；下標(biāo)x指的是一維方向；Z(x)為檢測的輪廓；L為采樣長度。

針對二維數(shù)據(jù)，相應(yīng)地擴(kuò)展到二維PSD 定義為

式中：fx,fy分別對應(yīng)x，y方向上的空間頻率；A為采樣長度對應(yīng)的面積。

通常采用PSD 作為指導(dǎo)零件加工主要參考特征曲線，對所檢測的曲線進(jìn)行評判。一般要求檢測曲線的PSD 曲線低于特征曲線，即要求：

式中：A為比例系數(shù)；B為冪指數(shù)；C為最小空間頻率；D為最大空間頻率。相應(yīng)的系數(shù)以及空間頻率可以根據(jù)光學(xué)標(biāo)準(zhǔn)[1]進(jìn)行確定，滿足公式（3）的光學(xué)元件面形，PSD 曲線則符合要求。

2 面形輪廓光學(xué)PSD 分析

根據(jù)國際半導(dǎo)體協(xié)會標(biāo)準(zhǔn)《從表面輪廓數(shù)據(jù)評估功率譜密度和相關(guān)加工參數(shù)的指南》[13]中對表面輪廓的定義，一條輪廓曲線可以采用下式進(jìn)行表示：

式中：Z(x)為輪廓表面；A為表面輪廓的振幅函數(shù)；fx為空間頻率函數(shù)；φ為相位函數(shù)。根據(jù)不同的計算方式可以計算隨機(jī)表面的RMS，RMS Slope，PV 以及PSD 等[13]。本文采用常量代替輪廓曲線中相應(yīng)振幅函數(shù)、頻率函數(shù)、相位函數(shù)，分析光學(xué)表面輪廓幅值、頻率、相位等對PSD 曲線的相應(yīng)變化。

隨機(jī)輪廓曲線表面振幅對PSD 曲線的影響如圖1 所示。從圖1 可以看出，在頻率相同前提下，隨著振幅函數(shù)A的變化，PSD 曲線整體出現(xiàn)了幅值方向的偏移，同時偏移的量與幅值成比例關(guān)系。說明輪廓曲線的幅值變化直接影響PSD 曲線的幅值，相應(yīng)幅值變化與輪廓曲線均方根RMS 存在關(guān)聯(lián)性。因此，為了較好地控制面形PSD 曲線，光學(xué)表面的RMS 盡可能低。

圖 1 隨機(jī)輪廓曲線表面振幅對PSD 曲線影響Fig.1 Effect of random profile amplitude on PSD curves

輪廓曲線中頻率fx變化對PSD 的影響如圖2所示。從圖2 可以看出，在幅值不變的情況下，隨著頻率函數(shù)的變化，PSD 曲線峰值的位置發(fā)生偏移，偏移的量與輪廓曲線空間頻率位置對應(yīng)。隨著頻率的升高，尖峰的寬度也隨之收窄。因此，在傳統(tǒng)PSD 曲線中常常看見在高頻段峰值變化，發(fā)生聚攏效應(yīng)，這與PSD 坐標(biāo)軸對數(shù)有關(guān)。

圖 2 隨機(jī)輪廓曲線頻率對PSD 曲線影響Fig.2 Effect of random profile frequency on PSD curves

輪廓曲線相位系數(shù) φ對PSD 曲線的影響如圖3 所示。從圖3 可以看出，相位系數(shù) φ發(fā)生變化，PSD 曲線上峰值對應(yīng)的頻率和峰值大小基本一致，尖峰的半帶寬也一致。因此，輪廓曲線的相位變化對PSD 曲線幅值及頻率基本沒有影響。

圖 3 隨機(jī)輪廓曲線相位對PSD 曲線影響Fig.3 Effect of random profile phase on PSD curves

綜上所述，隨機(jī)輪廓曲線幅值變化影響PSD曲線幅值大小，隨機(jī)輪廓頻率變化可使PSD 曲線峰值相應(yīng)地移動。因此，光學(xué)加工表面需要控制面形輪廓的幅值，同時避免出現(xiàn)規(guī)則性空間頻率分布。

采用 e-x函數(shù)及rand(1)分別取代隨機(jī)輪廓曲線Z(x)=Acos(2πfxx+φ)中的振幅函數(shù)及頻率函數(shù)，并對其進(jìn)行PSD 曲線分析，相應(yīng)的模擬結(jié)果如圖4 所示。從圖4 可以看出，采用rand(1)生成的輪廓曲線，PSD 曲線沒有出現(xiàn)明顯的尖峰，但是在高頻段存在震蕩；采用隨機(jī)頻率和幅值逐漸變小的輪廓曲線，PSD 曲線呈現(xiàn)幅值減小，同時在高頻段也得到了抑制。隨機(jī)表面幅值降低可以理解為輪廓曲線RMS 值降低，這表明RMS 與PSD 之間存在關(guān)聯(lián)[14-16]。

圖 4 隨機(jī)頻率以及幅值下降對PSD 曲線影響Fig.4 Effect of random frequency and amplitude decrease on PSD curves

為深入研究隨機(jī)表面RMS，RMS slope 與隨機(jī)輪廓曲線之間的關(guān)系，采用高斯型隨機(jī)[17]方式生成了6 條RMS 接近的隨機(jī)輪廓曲線（采樣長度50 mm，數(shù)據(jù)量10 000），如圖5 所示。評估相應(yīng)輪廓曲線的RMS、RMS slope、自相關(guān)長度，如表1 所示。

圖 5 生成的6 條隨機(jī)輪廓曲線Fig.5 Generated six curves of random profile

表 1 6 條RMS 接近的隨機(jī)輪廓評價參數(shù)Table 1 Evaluation parameters of six curves of random profile with RMS approximation

從表1 中可以看出，RMS 基本接近條件下，RMS slope 與自相關(guān)長度總體上呈現(xiàn)出負(fù)相關(guān)特性，如圖6 所示。從圖6（a）中可以看出，在RMS接近的隨機(jī)輪廓曲線上，PSD 隨著RMS slope 減小而下降，對PSD 曲線進(jìn)行線性擬合，相應(yīng)結(jié)果如圖6（b）所示。從圖6（b）中可看出，斜率變化趨勢與RMS Slope 隨隨機(jī)輪廓曲線的自相關(guān)長度變化趨勢一致。

圖 6 PSD 曲線與RMS，RMS Slope 之間關(guān)系Fig.6 Relationship between PSD curves with RMS and RMS Slope

3 典型數(shù)控路徑的PSD 分析

隨著數(shù)控加工拋光設(shè)備的應(yīng)用，長線軌跡諸如在數(shù)控拋光過程中常見的螺旋線、柵格線、同心圓軌跡等，該類軌跡共同的特點(diǎn)是表達(dá)式簡單，數(shù)控設(shè)備易于實現(xiàn)。隨著數(shù)控技術(shù)的發(fā)展，短線軌跡得到進(jìn)一步研發(fā)，諸如希爾伯特軌跡Peano 路徑，偽隨機(jī)路徑等。這些路徑的開發(fā)，拓展了數(shù)控加工的使用范圍，提供了新的工藝方案，采用該類軌跡在高精度局部面形修正時發(fā)揮出極大的作用。相關(guān)文獻(xiàn)表明，可通過加工軌跡優(yōu)化相應(yīng)面形參數(shù)[15-15]。針對不同加工路徑對PSD 影響分析的缺失，分析數(shù)控軌跡對PSD 的影響，可采用拋光后的平面鏡（φ50 mm，ZF62）進(jìn)行典型路徑拋光實驗。本文分析的幾種典型路徑如圖7 所示。

采用Optotech MCP250 氣囊拋光設(shè)備，采用間隔一致1.5 mm，去除量一致的加工方法，采用干涉儀記錄拋光前后的面形并作差。采用螺旋線軌跡加工的面形及相應(yīng)的PSD 曲線如圖8 所示。從圖8可以看出，在X方向、Y方向上PSD 曲線均存在一個峰值，且與峰值對應(yīng)的空間頻率一致。分析發(fā)現(xiàn)，該峰值與螺旋線軌跡間距相對應(yīng)，同時在中、高頻區(qū)域均表現(xiàn)出一定的震蕩，說明采用螺旋線軌跡容易引入規(guī)則性頻率誤差。

圖 7 幾種典型數(shù)控加工路徑示意圖Fig.7 Diagram of several typical NC machining paths

采用柵格軌跡加工的面形及相應(yīng)的PSD 曲線如圖9 所示。從圖9 可看出，在X方向上存在一個PSD 峰值，而Y方向則沒有出現(xiàn)明顯峰值。分析發(fā)現(xiàn)，X方向上峰值對應(yīng)的空間頻率與柵格加工的步距接近，說明采用柵格線路徑在相應(yīng)的軌跡運(yùn)動方向上會引入方向性頻率誤差。

采用偽隨機(jī)路徑加工的零件面形及相應(yīng)的PSD 曲線如圖10 所示。從圖10 可以看出，在相同步距下，與柵格線軌跡相比，偽隨機(jī)路徑下的PSD曲線在X、Y方向均沒有出現(xiàn)特異性峰值，PSD 上高頻區(qū)域存在明顯的震蕩，說明采用偽隨機(jī)路徑加工能夠抑制PSD 特征尖峰。但是，偽隨機(jī)路徑加工為非連貫加工，屬于短線加工，破壞了加工速度場分布，導(dǎo)致PSD 曲線存在一定的震蕩。因此，在采用偽隨機(jī)路徑加工時需要對駐留時間等進(jìn)行精確控制。

圖 9 柵格線軌跡下的PSD 曲線分析Fig.9 PSD curve analysis with grid line path

圖 10 偽隨機(jī)軌跡下的PSD 曲線Fig.10 PSD curve with pseudorandom path

采用Peano 路徑加工的零件面形及相應(yīng)的PSD曲線如圖11 所示。從圖11 可以看出，Peano 路徑同為短線加工路徑，在相同的去除量下，PSD 曲線與偽隨機(jī)路徑加工的面形接近，PSD 曲線上沒有表現(xiàn)出相應(yīng)的峰值特征。說明采用Peano 路徑亦能抑制特定頻率的誤差，可得到較好的PSD 曲線。

圖 11 Peano 軌跡下的PSD 曲線Fig.11 PSD curve with Peano path

綜上所述，根據(jù)典型數(shù)控加工路徑加工的面形PSD 曲線可以看出：長線路徑在控制低中頻誤差時具有一定優(yōu)勢，但長線路徑本身容易引入與步距空間頻率對應(yīng)的PSD 峰值，且易造成光學(xué)元件在特定頻率下不合格；短線路徑因為空間頻率分散，能夠有效抑制加工路徑引起的PSD 峰值出現(xiàn)，但因短線路徑加工的非連續(xù)性，導(dǎo)致在高頻段誤差容易震蕩。因此，結(jié)合這兩類加工軌跡對PSD的影響特征，可以針對性地進(jìn)行相互補(bǔ)充，通過采用不同的軌跡加工方法，可實現(xiàn)面形誤差收斂至合格范圍[5]。

4 結(jié)論

本文采用模擬方式分析了隨機(jī)輪廓曲線振幅、相位、頻率等對PSD 曲線的影響，采用高斯型生成RMS 接近的隨機(jī)輪廓，分析其對PSD 曲線、RMS Slope 等的影響，同時分析了4 種典型數(shù)控拋光軌跡對PSD 的影響。根據(jù)分析結(jié)果，可以得出以下結(jié)論：

1）PSD 曲線整體上隨著隨機(jī)輪廓幅值升高而升高。隨機(jī)輪廓頻率變化可導(dǎo)致PSD 曲線峰值位置變化，不改變峰值大小，隨機(jī)輪廓的相位對PSD曲線基本無影響。因此，在PSD 上需要控制零件表面誤差幅值，同時避免規(guī)律性誤差出現(xiàn)。

2）針對高斯型和RMS 接近的隨機(jī)輪廓曲線，輪廓曲線自相關(guān)長度越長，PSD 曲線高頻段幅值越小，RMS Slope、PSD 隨著自相關(guān)長度增加而減小。

3）典型數(shù)控加工軌跡表明，長程軌跡因空間頻率的規(guī)律性，容易造成PSD 在相應(yīng)的空間頻率上出現(xiàn)不合格區(qū)域，短程軌跡則能避免該問題，是避免規(guī)律性誤差的有效措施。