分?jǐn)?shù)階中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程的波形松弛方法

李佳敏， 丁小麗， 王苗苗

( 西安工程大學(xué) 理學(xué)院， 西安 710600 )

0 引言

分?jǐn)?shù)階中立型泛函微分方程由于可以模擬較為復(fù)雜的動(dòng)力系統(tǒng)，因此受到學(xué)者們的重視．2014年， 張艷敏[1]討論了時(shí)間分?jǐn)?shù)階中立型時(shí)滯微分方程，并給出了該方程的數(shù)值解．2016年， 楊水平[2]討論了一類分?jǐn)?shù)階線性中立型延遲微分方程的初值問題，并給出了其解漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件．2017年， 張玉峰等[3]研究了分?jǐn)?shù)階中立型時(shí)滯微分方程在Caputo導(dǎo)數(shù)意義下其解的存在唯一問題以及其通解表達(dá)式.2019年， Ding等[4]利用波形松弛方法給出了一類具有幾乎扇形算子的分?jǐn)?shù)階隨機(jī)演化方程的數(shù)值解．2021年， 王子豐等[5]利用截?cái)郋uler - Maruyama法研究了中立型隨機(jī)泛函微分方程的數(shù)值解.基于上述研究，本文研究一類分?jǐn)?shù)階中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程的波形松弛方法，并給出了分?jǐn)?shù)階中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程的波形松弛格式，以及該方法的收斂結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[6]設(shè)0≤α≤1，φ(t)∈C(Ω;Rn)， 則(T1,T2φ)(t)=(T2,T1φ)(t).

引理2[6]設(shè)0≤α≤1，φ(t)∈C(Ω;Rn)， 且當(dāng)i=1,2,3,…時(shí)以下關(guān)系成立:

引理4[7]算子T1、 T2在空間C(Ω;Rn)上是緊算子，且σ(T1)=σ(T2)={0}， 其中σ(·)為算子的譜.

考慮如下分?jǐn)?shù)階中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程的初值問題：

(1)

2 波形松弛方法的迭代格式及其收斂性分析

分?jǐn)?shù)階中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程(1)的波形松弛方法為：

(2)

其中分裂函數(shù)F:Rn×Rn×Rn×Rn×[0,T]→Rn，G:Rn×Rn×Rn×Rn×[0,T]→Rn ×m，H:Rn×Rn×Rn×Rn×[0,T]→Rn滿足：

F(x(t),x(t),x(t-τ),x(t-τ),t)=f(x(t),x(t-τ),t)，

G(x(t),x(t),x(t-τ),x(t-τ),t)=g(x(t),x(t-τ),t)，

H(x(t),x(t),x(t-τ),x(t-τ),t)=σ(x(t),x(t-τ),t)．

波形松弛方法的初始迭代函數(shù)滿足x(0)(t)=ζ(t)，t∈[-τ,0]；x(0)(t)=ζ(0)，t∈[0,T]．

假設(shè)1假設(shè)M∈(0，1)， 則對(duì)所有的φ，φ∈C([-τ,0];Rn)有 |D(φ)-D(φ)|≤M|φ-φ|.

假設(shè)2對(duì)任意的t∈[0,T]，x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4∈Rn， 存在非負(fù)常數(shù)L1、L2和L3， 并使得：

|F(x1,x2,x3,x4,t)-F(y1,y2,y3,y4,t)|≤

|G(x1,x2,x3,x4,t)-G(y1,y2,y3,y4,t)|≤

|H(x1,x2,x3,x4,t)-H(y1,y2,y3,y4,t)|≤

定理1設(shè)0≤α≤1， 如果分裂函數(shù)F、G和H滿足假設(shè)2， 則在均方意義下由波形松弛方法(2)產(chǎn)生的序列({xk(t)}-τ ≤t ≤T，k=0,1,…)一致收斂于方程(1)的解{x(t)}-τ ≤t ≤T．

證明為了證明方便，定義：

F(t)=F(x(t),x(t),x(t-τ),x(t-τ),t),

G(t)=G(x(t),x(t),x(t-τ),x(t-τ),t)，

H(t)=H(x(t),x(t),x(t-τ),x(t-τ),t),

Fk(t)=F(xk +1(t),xk(t),xk +1(t-τ),xk(t-τ),t)，

Gk(t)=G(xk +1(t),xk(t),xk +1(t-τ),xk(t-τ),t),

Hk(t)=H(xk +1(t),xk(t),xk +1(t-τ),xk(t-τ),t).

根據(jù)以上定義，方程(1)和(2)可被寫為：

(3)

(4)

當(dāng)t∈[0,τ]時(shí)，將式(4)減去式(3)，且令ek(t)=xk(t)-x(t)， 則可得：

(5)

再根據(jù)算子T1、 T2的定義和可交換性以及引理3得：

(6)

由于

因此

(7)

根據(jù)算子T1、 T2的可交換性,將式(7)帶入式(6)可得：

由文獻(xiàn)[7]中的性質(zhì)2.2知,算子T1、 T2對(duì)φ(t)∈C(Ω;Rn)是非遞減的.對(duì)k進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納可得：

(8)

由引理1知算子T1、 T2可交換.再由引理4可知T1、 T2是定義在C(Ω,Rn)上的緊算子，且σ(T1)=σ(T2)={0}， 因此{(lán)xk +1(t)}在區(qū)間[0,τ]上均方一致收斂，即

(9)

當(dāng)t∈[τ,2τ]時(shí)，由式(4)減去式(3)可得：

xk +1(t)-x(t)=xk +1(τ)-x(τ)+D(xk +1(t-τ))-D(x(t-τ))+D(xk +1(τ))-

按上述歸納法處理算子T1和T2可得：

根據(jù)算子T1、 T2可交換及引理4知， T1、 T2是定義在C(Ω,Rn)上的緊算子，且σ(T1)=σ(T2)={0}.由此可知，{xk +1(t)}在區(qū)間[τ,2τ]上均方一致收斂，即

當(dāng)t∈[nτ,(n+1)τ],n=0,1,…時(shí)，重復(fù)以上過程可得

定理1證畢.

3 數(shù)值模擬

由于難以求出分?jǐn)?shù)階中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程的解析解，因此本文將分?jǐn)?shù)階中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程的隱式Euler - Maruyama數(shù)值解作為真解.設(shè)0<α≤1, 并考慮如下形式的初值問題：

(10)

I1+I2+I3+I4+I5+I6+I7+I8.

由此可得方程(10)的數(shù)值解為：

xm=xm -1+D(xm)-D(xm -1)+f(xm -1)Δt+g(xm -1)(B(tm)-B(tm -1))+

例1考慮如下分?jǐn)?shù)階中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程的初值問題：

(11)

首先用波形松弛方法和Euler - Maruyama方法得出式(11)的解，然后將波形松弛解與真解進(jìn)行比較和分析.用Matlab軟件(取α=0.7,T=1,M=210)模擬出的式(11)的波形松弛解如圖1所示，用Mathab軟件模擬出的式(11)的波形松弛解和真解之間的誤差如圖2所示．由圖1和圖2可以看出，用波形松弛方法求解分?jǐn)?shù)階中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程是有效的，且波形松弛方法在均方意義上是收斂的.

圖1 α=0.7時(shí)式(11)的波形松弛解

圖2 α=0.7時(shí)式(11)在迭代次數(shù)k下的波形松弛解和利用隱式Euler - Maruyama法求得的數(shù)值解的誤差