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    結(jié)合去趨勢的AR模型變形數(shù)據(jù)預(yù)測

    2022-09-09 05:51:38張京奎王星星陳永昌
    電子技術(shù)與軟件工程 2022年12期
    關(guān)鍵詞:階數(shù)預(yù)測值殘差

    張京奎 王星星 陳永昌

    (衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與裝備技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 河北省石家莊市 050081)

    1 引言

    由于工程設(shè)計(jì)并不能完全準(zhǔn)確的估計(jì)工作條件及參數(shù),而施工質(zhì)量也難以做到完美無缺,因此,變形監(jiān)測作為保證安全的有效措施,貫穿工程施工建設(shè)期,甚至在運(yùn)營期長期進(jìn)行。變形預(yù)測作為變形數(shù)據(jù)分析的主要內(nèi)容,主要是通過對獲取數(shù)據(jù)的規(guī)律預(yù)測未發(fā)生的變形,以對未來是否發(fā)生危險(xiǎn)進(jìn)行初步判斷,并作為制定相應(yīng)措施的參考依據(jù),達(dá)到降低損失和保障安全的目的。隨著科技與全球定位系統(tǒng)的發(fā)展,變形監(jiān)測手段從傳統(tǒng)的方式發(fā)展到利用空間衛(wèi)星技術(shù)的方式進(jìn)行,空間方式主要是采用全球定位系統(tǒng)GNSS(Global Navigation Satellite System)進(jìn)行監(jiān)測,上世紀(jì)八十年代,國外開始使用技術(shù)建立地殼形變監(jiān)測網(wǎng),為地球動力學(xué)、地震與火山噴發(fā)等研究服務(wù)。從九十年代起,我國先后建立多個(gè)全國性的監(jiān)測網(wǎng)和區(qū)域性監(jiān)測網(wǎng),并進(jìn)行了重復(fù)觀測和連續(xù)觀測,利用這些資料建立了中國大陸及周圍地區(qū)的地殼運(yùn)動速度場,給出了中國大陸地殼水平運(yùn)動的基本特征,由于GNSS具有全天候、全球性、高精度,同時(shí)人工干預(yù)少等特點(diǎn),目前在室外建筑物、橋梁等的監(jiān)測方面經(jīng)常被采用,室內(nèi)由于接受不到衛(wèi)星信號,它的使用受限,故監(jiān)測隧道等通常采用地面常規(guī)測量技術(shù)全站儀配合水準(zhǔn)儀的方式(傳統(tǒng)測繪)、特殊和專用的測量手段進(jìn)行。變形預(yù)測方法的研究已經(jīng)取得較為豐碩的成果。其中,許國輝等采用AR模型對大廈沉降變形數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)測,并改進(jìn)了檢驗(yàn)方法,得到了較好結(jié)果;陸付民結(jié)合卡爾曼濾波建立改進(jìn)模型,并對鏈子崖危巖體變形數(shù)據(jù)進(jìn)行建模擬合,證明了改進(jìn)模型擬合效果更好;高寧等將建筑變形波動數(shù)據(jù)分為趨勢項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng),以優(yōu)化參數(shù)的GM(1,1)模型預(yù)測趨勢項(xiàng),而以AR模型預(yù)測隨機(jī)項(xiàng),實(shí)例驗(yàn)證效果較好;李克昭等、孫國凱等對GM(1,1)模型與馬爾科夫模型相結(jié)合進(jìn)行變形預(yù)測進(jìn)行了研究且實(shí)例驗(yàn)證了模型可行性,并基于工程實(shí)例,對不同模型下隧道圍巖位移的預(yù)測預(yù)報(bào)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析,結(jié)果表明,GM-MC預(yù)測模型在對圍巖位移的預(yù)測中優(yōu)于GM(1,1)模型,與實(shí)測值有較高的吻合度,能滿足工程實(shí)際需求;甘祥前等采用GM(1,1)模型預(yù)測趨勢項(xiàng)而以整體最小二乘求參的AR模型預(yù)測隨機(jī)項(xiàng),并以三峽庫區(qū)某高邊坡實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證了模型;容靜等結(jié)合卡爾曼濾波建立GM(1,1)-AR模型并行邊坡變形預(yù)測;楊帆等將自記憶原理與GM(1,1)模型相結(jié)合,建立自記憶灰色模型,并應(yīng)用于高層建筑沉降預(yù)測中。然而,以GM(1,1)模型實(shí)質(zhì)是以指數(shù)函數(shù)進(jìn)行預(yù)測,預(yù)測結(jié)果單調(diào),而AR模型適用于趨向于平穩(wěn)的預(yù)測。為了避免趨勢項(xiàng)未必單調(diào)的影響,本文將原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行變換生成圍繞零附近上下波動的新序列,而新序列滿足AR模型建模條件,以AR模型建模預(yù)測,然后對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行還原,得到累計(jì)變形預(yù)測值。經(jīng)實(shí)例驗(yàn)證,短期預(yù)測結(jié)果較好。

    2 預(yù)測模型

    2.1 原始數(shù)據(jù)序列變換

    設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為X=(x(1),x(2), …,x(n)),構(gòu)建二維平面點(diǎn)序列(i,x(i))(i=1,2, …,n),取序列中相鄰三點(diǎn)數(shù)據(jù),計(jì)算中間點(diǎn)至兩端點(diǎn)連線的垂距,設(shè)為h,則可得到垂距序列,序列任一元素h計(jì)算公式為:

    其計(jì)算示意圖如圖1所示。由公式(1)可計(jì)算得到垂距大小,但由于數(shù)據(jù)存在波動,為了呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的波動,對垂距計(jì)算值序列定義正負(fù),以表示原始序列所連折線的凹凸,定義正負(fù)后所得新序列定義為Y=(y(1),y(2), …,y(n-2))。則:

    圖1:數(shù)據(jù)變換及還原示意圖

    2.2 AR模型建模

    自回歸模型(Autoregressive Model,簡稱 AR 模型)是最常見的平穩(wěn)時(shí)間序列模型之一,在變形監(jiān)測數(shù)據(jù)分析過程中經(jīng)常被采用,一般用于描述平穩(wěn)隨機(jī)過程。該模型是用序列過去或滯后值表示當(dāng)前值。若一個(gè)時(shí)間序列可利用其滯后數(shù)值線性回歸,則為自回歸過程,之所以稱為自回歸,也是由于自變量與因變量是相同的,是因變量以前時(shí)期的數(shù)值。其一般表達(dá)式為:

    式中,y(t)為時(shí)間序列,p為模型階數(shù),a為自回歸參數(shù),表明改變過去一個(gè)數(shù)值時(shí)對y(t)所產(chǎn)生的影響,是根據(jù)樣本觀測值估計(jì)的參數(shù),ε(t)為噪聲。

    在應(yīng)用中,自回歸時(shí)間序列的階數(shù)是未知的,需要根據(jù)實(shí)際情況來確定。其確定方法可以采用兩種方法:一種是利用偏自相關(guān)函數(shù)(PACF);另一種是利用信息準(zhǔn)則函數(shù)。

    在假設(shè)ε(t)與y(t-j)不相關(guān)的情況下,等號成立,當(dāng)且僅當(dāng)

    這表明,AR(p)的偏自相關(guān)系數(shù)在p步之后截尾。因此,對于p階自回歸模型的間隔為p的樣本偏自相關(guān)系數(shù)不應(yīng)為零,且對所有j>p, 應(yīng)該接近于零,則可以利用這一性質(zhì)來確定自回歸模型的階數(shù)。

    有時(shí)候選擇偏自相關(guān)函數(shù)確定模型階數(shù)可能并不成功,也相對復(fù)雜。則可以考慮采用信息準(zhǔn)則函數(shù)方法。自回歸模型的階數(shù)應(yīng)該使得信息準(zhǔn)則的數(shù)值達(dá)到最小。而對于信息準(zhǔn)則,多采用赤池信息準(zhǔn)則(AIC)和蘇瓦茲貝葉斯準(zhǔn)則(SBC)。其可分別表示為:

    其中,SSR表示殘差平方和;k=p+q+1表示待估計(jì)參數(shù)的總個(gè)數(shù),若不含常數(shù)項(xiàng),那么,k=p+q;T表示樣本容量??梢酝ㄟ^添加滯后項(xiàng)使得AIC(或SBC)達(dá)到極小值,即AIC(或SBC)越小表示模型越好,則階數(shù)選取越好。

    對于自回歸模型的參數(shù)估計(jì)主要有三種方法分別是:矩估計(jì)、最小二乘估計(jì)和最大似然估計(jì),本文采用最小二乘法進(jìn)行估計(jì),下面主要介紹最小二乘方法參數(shù)估計(jì)的模型。

    對于樣本序列{x},當(dāng)j>p+1時(shí),記白噪聲ε的估計(jì)為:

    通常ε為殘差。我們的優(yōu)化目標(biāo)是當(dāng)j=p+1,……N時(shí)殘差的平方和達(dá)到最小值,具體公式如下,

    得到線性方程組y=BA+ε,根據(jù)最小二乘原理,可求解

    在假設(shè)ε(t)與y(t-j)不相關(guān)的情況下,等號成立,則可得預(yù)測模型為:

    由公式(3)和公式(4)所得序列Y=(y(1),y(2), …,y(n-2)),對其進(jìn)行AR模型建模,并進(jìn)行預(yù)測。

    2.3 預(yù)測數(shù)據(jù)還原

    設(shè)由公式(11)所得預(yù)測值為y(k),其對應(yīng)點(diǎn)分別為(k-1,x(k-1))、(k,x(k))、(k+1,x(k+1)),則對應(yīng)垂距即為y(k)絕對值。如圖1所示,根據(jù)幾何關(guān)系可得到公式:

    其中,x(k+1)為未知待求量,根據(jù)公式(6),采用數(shù)值計(jì)算的方法,程序求解,可求得兩個(gè)解。根據(jù)y(k)的正負(fù)以及公式(2),可求得最終唯一值,即為原始序列X的預(yù)測值,在對AR 模型識別時(shí),根據(jù)其樣本偏自相關(guān)系數(shù)的截尾步數(shù),可初步得到 AR 模型的階數(shù) p。然而,此時(shí)建立的 AR(p) 未必是最優(yōu)的。一個(gè)好的模型通常要求殘差序列方差較小,同時(shí)模型頁相對簡單,即要求階數(shù)較低。因此我們需要一些準(zhǔn)則來比較不同階數(shù)的模型之間的優(yōu)劣,從而確定最合適的階數(shù),本文采用最優(yōu)預(yù)報(bào)準(zhǔn)測(Final Prediction Error),簡稱FPE準(zhǔn)測進(jìn)行階數(shù)的確定,其判斷依據(jù)為最終預(yù)報(bào)誤差最小,有前文所述AR(p)為擬合模型,γ, γ, …,γ是序列的各階樣本自協(xié)方差函數(shù),其最終預(yù)報(bào)誤差公式如下:

    在具體應(yīng)用時(shí),通常是分別建立從低階到高階的AR模型,并計(jì)算出相應(yīng)的 FPE的值,由此確定使 FPE 達(dá)到最小的p值。

    3 實(shí)例分析

    實(shí)例1 選擇菠蘿山隧道變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。菠蘿山隧道是一座連拱隧道,位于洱海東岸,隧道全長為265米,最大埋深約為45米,屬于剝蝕構(gòu)造低中山地貌,出露地層地表為由黏性土、角礫和碎石組成的第四系坡殘積,厚度為5~27m,下伏奧陶系下統(tǒng)向陽組一段石英砂巖夾泥巖,隧道圍巖為V級,穩(wěn)定性較差,以前17期實(shí)測數(shù)據(jù)為建模數(shù)據(jù),預(yù)測后5期數(shù)據(jù),并與原文獻(xiàn)方法及實(shí)測數(shù)據(jù)比較分析。建模數(shù)據(jù)序列如表1 所示。

    表1:實(shí)測建模數(shù)據(jù)序列

    通過相鄰三點(diǎn)計(jì)算垂距構(gòu)造新數(shù)據(jù)序列,則原始時(shí)間序列經(jīng)過計(jì)算后獲得的新序列有所縮短,新序列是由15期數(shù)據(jù)構(gòu)成,是位于區(qū)間(-0.45,0.45)的圍繞零值變化波動的序列,可以認(rèn)為是平穩(wěn)隨機(jī)序列并采用AR模型建模。原始序列與生成序列折線圖如圖2所示。

    圖2:變換前后數(shù)據(jù)序列曲線

    采用AR模型建模預(yù)測并將預(yù)測數(shù)據(jù)還原,之后將還原后數(shù)據(jù)加入至建模數(shù)據(jù)序列,再次進(jìn)行預(yù)測,從而達(dá)到多期預(yù)測的目的。其后5期的預(yù)測數(shù)據(jù)與實(shí)測值及原文獻(xiàn)方法的預(yù)測值進(jìn)行對比,結(jié)果如表2所示。

    表2:實(shí)測值及預(yù)測值比較

    分析表2可知,第18期、第19期以及第20期預(yù)測數(shù)據(jù)的預(yù)測精度與原文獻(xiàn)方法預(yù)測精度相近,預(yù)測殘差較小,而第21期與第22期預(yù)測數(shù)據(jù)較原文獻(xiàn)方法預(yù)測精度差,預(yù)測殘差均大于1mm,較前3期預(yù)測值精度明顯降低。其原因在于AR模型在進(jìn)行自回歸時(shí),后期數(shù)據(jù)出現(xiàn)不按前期規(guī)律變化的突變情況,預(yù)測誤差較大,而其預(yù)測誤差通過公式計(jì)算傳遞至累計(jì)變形量,可能出現(xiàn)放大效果,從AR模型預(yù)測結(jié)果還原為累計(jì)變形值的計(jì)算公式可以看出,第21期預(yù)測值的精度影響了第22期預(yù)測結(jié)果。

    實(shí)例2 選取鄭州某時(shí)代廣場工程樓實(shí)測累計(jì)沉降數(shù)據(jù),其是依據(jù)監(jiān)測要求,布設(shè)水準(zhǔn)網(wǎng)和監(jiān)測點(diǎn),采用徠卡DNA03電子水準(zhǔn)儀按照二等水準(zhǔn)測量方法進(jìn)行觀測獲取的數(shù)據(jù)。選取其39期觀測數(shù)據(jù),以前34期數(shù)據(jù)建立模型,預(yù)測后5期。其建模數(shù)據(jù)如表3所示。

    表3:實(shí)測建模數(shù)據(jù)序列

    通過相鄰三點(diǎn)計(jì)算垂距構(gòu)造新數(shù)據(jù)序列,則原始時(shí)間序列變化后有所縮短,所得新序列是由32期數(shù)據(jù)構(gòu)成,是位于區(qū)間(-0.79,0.58)的圍繞零值變化波動的序列,可以認(rèn)為是平穩(wěn)隨機(jī)序列并采用AR模型建模。原始序列與生成序列折線圖如圖3所示。

    圖3:變換前后數(shù)據(jù)序列曲線

    采用AR模型建模預(yù)測并將預(yù)測數(shù)據(jù)還原,之后將還原后數(shù)據(jù)加入至建模數(shù)據(jù)序列,再次進(jìn)行預(yù)測,從而達(dá)到多期預(yù)測的目的。其后5期的預(yù)測數(shù)據(jù)與實(shí)測值進(jìn)行對比,結(jié)果如表4所示。

    表4:實(shí)測值與預(yù)測值比較

    分析表4可發(fā)現(xiàn),其35期至39期數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果較好,殘差值均在0~1mm之間,相對誤差只有第38期預(yù)測值大于5%,而其余預(yù)測值均小于5%。而原文獻(xiàn)灰色自記憶模型預(yù)測結(jié)果殘差在2mm內(nèi)。因此認(rèn)為本文方法在短期預(yù)測效果,能夠達(dá)到與原文獻(xiàn)模型預(yù)測相同的精度要求。

    4 結(jié)論

    變形監(jiān)測數(shù)據(jù)時(shí)常呈現(xiàn)波動形式,給變形數(shù)據(jù)分析及預(yù)測帶來困難。本文采用相鄰三期數(shù)據(jù)在二維平面坐標(biāo)系中計(jì)算垂距的方法構(gòu)造新數(shù)據(jù)序列,對所生成的新數(shù)據(jù)序列采用AR模型進(jìn)行建模預(yù)測,然后還原為累計(jì)變形預(yù)測值,并采用AR模型對新序列進(jìn)行預(yù)測并還原為累計(jì)變形預(yù)測值。該方法直接提取波動隨機(jī)項(xiàng)進(jìn)行預(yù)測,而對于趨勢項(xiàng)并無要求。經(jīng)過實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證,在短期變形數(shù)據(jù)預(yù)測中,預(yù)測結(jié)果較好。但該方法依然存在自回歸難以應(yīng)對突變及數(shù)據(jù)還原誤差傳遞問題,有待進(jìn)一步研究解決。

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