重載齒輪齒條齒形設(shè)計(jì)與齒根應(yīng)力計(jì)算方法研究

梁競(jìng)夫

（太原重型機(jī)械集團(tuán)有限公司，太原 030024）

0 引言

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，礦山機(jī)械、工程機(jī)械和海洋工程裝備等重型機(jī)械設(shè)備在能源、海洋、交通、冶金等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，由于齒輪齒條傳動(dòng)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、傳動(dòng)直接等特性，在這些設(shè)備中得到了充分應(yīng)用。前幾年這些大型設(shè)備的核心技術(shù)幾乎被國(guó)外壟斷，隨著國(guó)內(nèi)技術(shù)的不斷發(fā)展，這些大型設(shè)備已經(jīng)開始國(guó)產(chǎn)化，傳動(dòng)部件作為大型設(shè)備的核心部件，它的可靠性對(duì)于設(shè)備的性能起著至關(guān)重要的作用。

重載齒輪傳動(dòng)最致命的失效形式是斷齒，斷齒會(huì)給重型設(shè)備帶來(lái)不可估量的損失，因此提高齒輪的彎曲強(qiáng)度是首要考慮的因素，對(duì)于重載齒輪齒條傳動(dòng)，通常都是采用大模數(shù)、小齒輪少齒數(shù)的傳動(dòng)方式，例如：對(duì)于自升式鉆井平臺(tái)的爬升齒輪，行業(yè)內(nèi)基本取齒數(shù)為7，模數(shù)取80、100 mm等，根據(jù)平臺(tái)承載能力大小確定；對(duì)于大型挖掘機(jī)的推壓齒輪齒條傳動(dòng)，齒數(shù)通常取14，模數(shù)取40、50 mm等。

這些大模數(shù)的齒輪齒條傳動(dòng)設(shè)計(jì)目前沒(méi)有設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)可參考，也沒(méi)有成熟的計(jì)算軟件計(jì)算強(qiáng)度。目前設(shè)計(jì)還是通過(guò)有限元計(jì)算齒根應(yīng)力，如果強(qiáng)度計(jì)算不通過(guò)，重新進(jìn)行齒形設(shè)計(jì)，再建模，再進(jìn)行有限元分析計(jì)算，設(shè)計(jì)過(guò)程很繁瑣。本文研究齒形各參數(shù)對(duì)齒根應(yīng)力及耐磨性的影響，導(dǎo)出齒形設(shè)計(jì)的計(jì)算公式，并針對(duì)齒形推導(dǎo)齒根應(yīng)力的快捷計(jì)算方法。下列內(nèi)容中的齒輪齒條指的都是重載大模數(shù)的齒輪齒條。

1 齒輪齒條的齒形設(shè)計(jì)

大模數(shù)齒輪齒條不適于采用通常的滾、插加工方法。對(duì)于小齒輪往往是根據(jù)齒形設(shè)計(jì)銑削加工工藝，對(duì)于齒條則根據(jù)齒形采取數(shù)控切割或鑄造而成。為了便于制造，在礦用大型挖掘設(shè)備上推壓齒輪齒形曾經(jīng)采用過(guò)近似漸開線的3段圓弧組成，基圓以下是齒根圓弧，分度圓與齒根圓弧之間為一段圓弧，分段圓以上為另一段圓弧。在使用過(guò)程中傳動(dòng)誤差大，引起振動(dòng)，磨損嚴(yán)重。有的由于齒根圓弧設(shè)計(jì)不合理，出現(xiàn)過(guò)斷齒現(xiàn)象。如何使齒形設(shè)計(jì)得到優(yōu)化，解決問(wèn)題的關(guān)鍵還是齒輪的各項(xiàng)參數(shù)指標(biāo)。

1.1 齒頂厚

對(duì)于開式齒輪，齒頂太薄更容易磨損，建議齒輪頂厚S≥0.4m。上述適用于受疲勞載荷的齒輪齒條傳動(dòng)，對(duì)于鉆井平臺(tái)類承受靜載荷的齒輪齒條傳動(dòng)，S≥0.15m即可。國(guó)外大型挖掘機(jī)推壓機(jī)構(gòu)XP2300、XP2800的推壓小齒輪齒頂后分別為0.41m、0.42m，國(guó)外知名的NOV升降裝置300 ft、400 ft自升式鉆井平臺(tái)的爬升小齒輪的齒頂厚分別為0.14m和0.15m。

式中：da為齒頂圓直徑；αa為齒頂壓力角；m為模數(shù)。

1.2 重疊系數(shù)

對(duì)于受疲勞載荷的齒輪齒條傳動(dòng)，推薦重疊系數(shù)ε≥1.2，若重合度小，則嚙合沖擊大，對(duì)齒輪強(qiáng)度不利。對(duì)于鉆井平臺(tái)類主要承受靜載荷的齒輪齒條傳動(dòng)，ε≥1.05即可。因?yàn)橹饕惺莒o載荷的齒輪齒條壓力角通常都大于25°，重合度大，齒頂幾乎變尖，容易產(chǎn)生塑變。

式中，ha2′為嚙合點(diǎn)以上齒條有效齒頂高（如圖1）。

圖1 重合度計(jì)算圖形

根據(jù)使用工況，利用式（1）和式（2）可以求出齒頂圓直徑da和齒頂壓力角，同時(shí)滿足式（3），有了齒頂圓直徑，要看變位系數(shù)和齒輪的齒頂高系數(shù)的選取，若采用短齒大變位，齒輪齒厚加大，意味著嚙合點(diǎn)齒條齒厚減小，齒輪強(qiáng)度加大，根據(jù)齒輪齒條等強(qiáng)度原則選擇變位系數(shù)，齒輪正變位。

1.3 側(cè)隙

考慮到開式齒輪齒條齒形制造誤差、安裝距的誤差、周節(jié)累積誤差、傳動(dòng)時(shí)齒面摩擦發(fā)熱膨脹，齒側(cè)間隙一般取0.12～0.15倍模數(shù)。齒側(cè)間隙的留取通過(guò)減薄齒輪齒條的齒厚實(shí)現(xiàn)。齒條齒根厚度厚。

1.4 齒輪齒根圓角

在確定上述參數(shù)后，最終設(shè)計(jì)齒根圓角半徑。

學(xué)生自主申報(bào)的科研項(xiàng)目，往往是由同一屆學(xué)生甚至同班同學(xué)組成，重申請(qǐng)、輕完成的情況較為普遍[5]，項(xiàng)目申報(bào)時(shí)學(xué)生正處于積極性高、精力充沛的大二、大三階段，學(xué)生在項(xiàng)目申報(bào)時(shí)表現(xiàn)積極，而在實(shí)施過(guò)程中因缺乏動(dòng)力和持之以恒的精神，或者由于學(xué)生已臨近畢業(yè)，導(dǎo)致項(xiàng)目尚未完成而中途放棄的現(xiàn)象。這種情況一方面影響下次的申報(bào)，另一方面也影響了帶教教師的積極性。

齒輪齒根圓角采用單圓弧，相對(duì)齒輪而言，齒條危險(xiǎn)截面的寬度比齒輪大，受載循環(huán)次數(shù)少，可以根據(jù)強(qiáng)度計(jì)算，齒根取雙圓弧，齒條采用雙圓弧可以減小齒根高，齒條基體增厚，齒條不易變形。根據(jù)需要選取齒條齒根圓弧半徑，這里主要是針對(duì)齒輪齒根圓角研究。對(duì)于齒輪齒條的傳動(dòng)，在保證重疊系數(shù)和齒頂弧齒厚的情況下，齒輪最低嚙合點(diǎn)基本在基圓上，通常比基圓大2～3 mm。齒根單圓弧與漸開線的切點(diǎn)設(shè)為該最低嚙合點(diǎn)。齒根圓角半徑rρ計(jì)算如下：

式中：rρ為齒根圓角半徑，mm；Db為基圓直徑，mm；αce為齒根圓弧與漸開線切點(diǎn)的壓力角；Smin為分度圓實(shí)際齒厚，mm；α為分度圓壓力角；Dce為齒根圓弧與漸開線切點(diǎn)的直徑，Dce=Db＋（2～3 mm）。

1.5 齒條齒形

根據(jù)齒輪齒條的嚙合特點(diǎn)，不管安裝距是不是標(biāo)準(zhǔn)安裝距，節(jié)點(diǎn)始終是在齒輪分度圓上。根據(jù)圖2，齒條有效齒頂高h(yuǎn)a2e計(jì)算如下：

圖2 齒條有效齒頂高計(jì)算圖形

2 齒輪齒條齒根彎曲強(qiáng)度計(jì)算

對(duì)于重載大模數(shù)齒輪齒條傳動(dòng)的計(jì)算，有很多文獻(xiàn)研究計(jì)算方法，有的用積分法，有的用映射函數(shù)法，在齒輪齒根彎曲應(yīng)力的計(jì)算方法中，折截面比平截面計(jì)算的齒根應(yīng)力更加精準(zhǔn)，但折截面計(jì)算方法太復(fù)雜，用ISO的30°切線來(lái)確定危險(xiǎn)截面的平截面法簡(jiǎn)單，而且試驗(yàn)表明兩種方法計(jì)算的齒根應(yīng)力相差不超過(guò)5%～6%。對(duì)于低速重載的大模數(shù)齒輪齒條，加工時(shí)都是采用特殊的刀具和加工方法，目前沒(méi)有專門的計(jì)算軟件。大部分是通過(guò)有限元分析法進(jìn)行計(jì)算。有限元計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，必須建模分析，不利于初始參數(shù)設(shè)計(jì)。研究一種針對(duì)大模數(shù)齒輪齒條強(qiáng)度的快捷解析計(jì)算方法便于設(shè)計(jì)計(jì)算。

這里特別注意的是，是按單齒嚙合受力點(diǎn)還是按齒頂嚙合受力點(diǎn)計(jì)算齒根應(yīng)力。齒輪精度較高時(shí)，齒根應(yīng)力按單齒嚙合點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算；齒輪精度較低時(shí)，齒根應(yīng)力具體是按哪一個(gè)方法計(jì)算，根據(jù)載荷分配系數(shù)Ka決定。

式中：Cr為同時(shí)嚙合的兩對(duì)輪齒迭加剛度系數(shù)的平均值；Δ為兩齒輪的基節(jié)差；ε為重合度；Fteff為輪齒分度圓上的圓周力，F(xiàn)teff=Ft·KA·Kv·KB；B為齒寬。

當(dāng)Ka≤1時(shí)，說(shuō)明齒輪單齒受力點(diǎn)受力最大；當(dāng)Ka≥1時(shí)，說(shuō)明齒輪傳遞的全部載荷作用于齒頂，齒根應(yīng)力按齒頂受力進(jìn)行計(jì)算。

低速重載的大模數(shù)齒輪齒條制造精度都難以保證，即使齒輪齒條嚙合的重疊系數(shù)大于1.2，在齒傳遞載荷的過(guò)程中都是單齒受力，所以齒根應(yīng)力應(yīng)該按照齒頂受載進(jìn)行計(jì)算，而不能按照單齒嚙合點(diǎn)的受載計(jì)算齒根應(yīng)力。參考文獻(xiàn)[6]中，當(dāng)齒輪精度低于11級(jí)時(shí)，齒根應(yīng)力按照齒頂應(yīng)力計(jì)算。

下面按照?qǐng)D3和圖4推導(dǎo)專門用于低速重載的大模數(shù)齒輪齒條的齒根應(yīng)力計(jì)算方法。

圖3 齒輪圖形

圖4 齒條圖形

根據(jù)ISO的30°切線來(lái)確定危險(xiǎn)截面的平截面法（如圖3），齒根應(yīng)力計(jì)算公式為：

式中，危險(xiǎn)截面的寬度SF和力臂hF是計(jì)算的關(guān)鍵參數(shù)，下面分別按齒輪和齒條推導(dǎo)這兩個(gè)參數(shù)。

2.1 齒輪危險(xiǎn)截面的寬度SF和力臂hF

按照齒輪圖形（如圖3），P點(diǎn)為齒根圓弧的圓心，SF=2AC，hF=L-OA，在△OPD中，∠POD=π/Z，根據(jù)圖中三角形的幾何關(guān)系，得出：

2.2 齒條危險(xiǎn)截面的寬度SF和力臂hF

根據(jù)齒條圖形（如圖4），e為兩齒根圓弧中心的距離，如果是單圓弧，e=0，齒條任意點(diǎn)的載荷角都等于壓力角，推導(dǎo)的關(guān)系式為：

式中：h為有效齒條高度，mm；Sa為齒條有效高度的齒厚，mm；Fn為有效高度的齒頂法向載荷，N。

2.3 載荷角計(jì)算（如圖5）

圖5 載荷角計(jì)算圖

3 實(shí)例計(jì)算驗(yàn)證

以300 ft自升式鉆井平臺(tái)升降裝置爬升齒輪齒條傳動(dòng)為例，表1為小齒輪幾何參數(shù)，齒輪齒寬為190 mm，齒條寬為177 mm，按照爬升齒輪的推壓力2000 kN進(jìn)行解析計(jì)算和有限元分析計(jì)算。

表1 小齒輪傳動(dòng)幾何參數(shù)

3.1 齒形設(shè)計(jì)計(jì)算

根據(jù)式（4）和式（5），計(jì)算的齒輪參數(shù)如圖6所示，齒根弧半徑為35 mm，齒頂厚為0.15倍模數(shù)。

圖6 爬升齒輪齒條

3.2 有限元分析計(jì)算

為了便于計(jì)算，取一對(duì)齒嚙合進(jìn)行計(jì)算（如圖7），推壓力加到齒條上，通過(guò)嚙入與嚙出兩種狀態(tài)計(jì)算齒條和齒輪的齒根應(yīng)力。

圖7 有限元分析計(jì)算

3.3 上述解析法和有限元分析法結(jié)果比較（如表2）

表2 解析法和有限元分析法的齒根應(yīng)力結(jié)果對(duì)比

本文的齒根應(yīng)力計(jì)算方法與有限元比較，最大誤差約為5.1%，由于自升式鉆井平臺(tái)升降裝置長(zhǎng)期承受靜載荷，齒根應(yīng)力與齒輪、齒條各自材料的屈服強(qiáng)度比較即可。

4 結(jié)語(yǔ)

1）針對(duì)低速重載大模數(shù)齒輪齒條傳動(dòng)的失效形式，研究了特殊的齒形設(shè)計(jì)，以及齒形各個(gè)參數(shù)的匹配計(jì)算；2）通過(guò)載荷分配系數(shù)的計(jì)算，決定齒根應(yīng)力是按全部載荷作用于齒頂還是按單齒嚙合點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算；3）針對(duì)低速重載大模數(shù)齒輪齒條傳動(dòng)由于制造精度難以保證，載荷分配系數(shù)都大于1，根據(jù)ISO的30°切線來(lái)確定危險(xiǎn)截面的平截面法推導(dǎo)出的齒根應(yīng)力快捷計(jì)算公式，經(jīng)過(guò)與有限元分析計(jì)算的值對(duì)比，誤差不超過(guò)10%。