基于改進(jìn)滑模算法的加筋板時(shí)滯振動(dòng)控制

馬天兵，呂英輝，杜 菲，丁威海，高 璐

(1. 安徽理工大學(xué)深部煤礦采動(dòng)響應(yīng)與災(zāi)害防控國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 淮南 232001；2. 安徽理工大學(xué)礦山智能裝備與技術(shù)安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 淮南 232001；3. 安徽理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽 淮南 232001)

時(shí)滯現(xiàn)象是工業(yè)生產(chǎn)等過程中普遍存在的現(xiàn)象[1-2]。在振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)中，也存在著時(shí)間滯后現(xiàn)象。這種現(xiàn)象最基本的特征就是當(dāng)被控系統(tǒng)的輸入量發(fā)生改變的時(shí)候，其振動(dòng)控制系統(tǒng)的輸出能量延遲一段時(shí)間才能發(fā)生變化。時(shí)滯一般主要產(chǎn)生于信號的傳遞過程、控制器運(yùn)算的運(yùn)算過程、作動(dòng)器進(jìn)行能量輸出等多個(gè)振動(dòng)主動(dòng)控制的環(huán)節(jié)[3]。時(shí)滯現(xiàn)象的存在，導(dǎo)致被控量不能實(shí)時(shí)反映被控系統(tǒng)所受到的外界干擾，需要經(jīng)過一定的時(shí)滯量才能涉及到被控量完成振動(dòng)主動(dòng)控制的輸出量。因此，這種振動(dòng)主動(dòng)控制必導(dǎo)致控制系統(tǒng)過渡時(shí)間變長，甚至造成控制系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象，對被控系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生嚴(yán)重影響，破壞振動(dòng)主動(dòng)控制的動(dòng)態(tài)品質(zhì)[4-6]。如何在保證控制效果的前提下解決振動(dòng)主動(dòng)控制中的時(shí)滯問題，顯得尤為的重要。

滑模變結(jié)構(gòu)算法是變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的一種控制策略[7]。因其結(jié)構(gòu)簡單、物理意義明確、控制效果好，在電力控制、機(jī)器人控制以及飛機(jī)控制等工業(yè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[8]為提高電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)轉(zhuǎn)速響應(yīng)的快速性以及增強(qiáng)其魯棒性，設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)變指數(shù)趨近律，提高了控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度、抗干擾性能，并減弱了抖振。文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了基于離散滑模變結(jié)構(gòu)控制的內(nèi)回路補(bǔ)償控制器，該方法實(shí)現(xiàn)了被控系統(tǒng)的完全跟蹤，并有效補(bǔ)償了外部干擾、模型不確定性等因素對系統(tǒng)性能的影響，從而保證了被控系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[10]針對傳感片與作動(dòng)片對位粘貼而產(chǎn)生的局部應(yīng)變效應(yīng)對振動(dòng)主動(dòng)的控制效果產(chǎn)生影響，設(shè)計(jì)了基于局部應(yīng)變補(bǔ)償?shù)母倪M(jìn)冪次趨近律滑模控制算法，該方法可以有效地解決局部應(yīng)變效應(yīng)產(chǎn)生的影響。文獻(xiàn)[11]提出了一種二階滑?？刂瓶刂破?，該控制器基于超扭曲算法。該控制器與經(jīng)典控制器相比較，其控制結(jié)果證明這種新型控制器具有響應(yīng)速度快和強(qiáng)魯棒性。上述文獻(xiàn)對于振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)存在的超調(diào)時(shí)間長、振動(dòng)過程存在抖振問題給出了解決方案，但就如何解決振動(dòng)主動(dòng)控制中時(shí)滯補(bǔ)償問題的研究卻比較少。

文獻(xiàn)[12]通過建立Smith預(yù)估器和自適應(yīng)控制方法的結(jié)合明顯改善了對時(shí)滯系統(tǒng)的控制性能，防止了系統(tǒng)的不穩(wěn)定性，因而在一定程度上解決了Smith預(yù)估器存在的預(yù)估器模型和被控對象參數(shù)不匹配時(shí)系統(tǒng)控制特性劣化甚至發(fā)生振蕩發(fā)散的問題，取得了較好的效果。但是該方法不具有良好的跟蹤性能，當(dāng)受到外界的干擾時(shí)，被控系統(tǒng)的模型就會(huì)發(fā)生變化，此時(shí)將會(huì)導(dǎo)致振動(dòng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性無法得到保證，其抗干擾能力較弱，存在較大的超調(diào)量、較長的調(diào)節(jié)時(shí)間等問題。文獻(xiàn)[13]提出了一種基于時(shí)滯補(bǔ)償線性自抗擾控制器(LADRC)的新型振動(dòng)控制方法(TDC-LADRC)。壓電片的數(shù)學(xué)模型首先基于系統(tǒng)辨識(shí)，采用輔助變量法建立。然后用帶有新型微分器的史密斯預(yù)估器對無延遲部分設(shè)計(jì)ADRC。繪制擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器(ESO)來估計(jì)內(nèi)外擾動(dòng)，如模式誤差、高次諧波和外界環(huán)境激勵(lì)等。然后，通過前饋機(jī)制引入實(shí)時(shí)補(bǔ)償，以減弱其不利影響，從而使所設(shè)計(jì)的控制器達(dá)到最優(yōu)的減振性能。但是其本質(zhì)上仍然存在調(diào)整時(shí)間長、實(shí)時(shí)性差、調(diào)節(jié)使得輸出有過沖或者震蕩，參數(shù)調(diào)整過于復(fù)雜。文獻(xiàn)[14]提出了一種適用于四容MIMO系統(tǒng)的時(shí)延補(bǔ)償方案。利用Pade近似方法將一個(gè)由過程時(shí)滯組成的無補(bǔ)償系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為無時(shí)滯系統(tǒng)。設(shè)計(jì)了一種魯棒的非切換型滑模控制器，即使在存在系統(tǒng)不確定性的情況下，也能補(bǔ)償控制器和執(zhí)行器側(cè)計(jì)算的狀態(tài)變量、滑動(dòng)變量和控制信號中過程延遲的影響。但是該方法容易受到信號噪聲的干擾影響，尤其是對于高頻噪聲的控制有效性不佳。文獻(xiàn)[15]所設(shè)計(jì)的趨近律具有自適應(yīng)調(diào)節(jié)能力，且都用了新的函數(shù)代替了傳統(tǒng)指數(shù)趨近律中的開關(guān)函數(shù)，提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，但是這種方法對抖振的削弱程度不足，而且由于未時(shí)滯補(bǔ)償環(huán)節(jié)，易導(dǎo)致該控制系統(tǒng)在實(shí)際控制過程中效果不佳。上述文獻(xiàn)對于振動(dòng)主動(dòng)控制中時(shí)滯補(bǔ)償給出了解決方案，但對如何解決振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)存在的超調(diào)時(shí)間長、振動(dòng)過程存在抖振問題的研究卻比較少。

基于以上原因，本文建立了壓電加筋板機(jī)電耦合模型，采用Smith預(yù)估補(bǔ)償策略，提出基于改進(jìn)指數(shù)趨近律Smith預(yù)估補(bǔ)償控制算法，并驗(yàn)算該控制補(bǔ)償算法的穩(wěn)定性，保證該控制系統(tǒng)控制效果不發(fā)散，跟蹤誤差不斷減少，通過cSPACE控制平臺(tái)對加筋板進(jìn)行振動(dòng)主動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)。分別采用基于傳統(tǒng)與改進(jìn)指數(shù)趨近律的控制、指數(shù)趨近律滑模變算法和基于改進(jìn)指數(shù)趨近律Smith預(yù)估補(bǔ)償算法進(jìn)行振動(dòng)主動(dòng)控制，并對比振動(dòng)控制結(jié)果，驗(yàn)證改進(jìn)指數(shù)趨近律Smith預(yù)估補(bǔ)償控制算法的優(yōu)越性。

1 Smith預(yù)估器與時(shí)滯補(bǔ)償控制算法

1.1 Smith預(yù)估器

Smith預(yù)估控制是一種廣泛應(yīng)用的對純滯后對象進(jìn)行補(bǔ)償?shù)目刂品椒?，?shí)際應(yīng)用中表現(xiàn)為給PID控制器并接一個(gè)補(bǔ)償環(huán)節(jié)，該補(bǔ)償環(huán)節(jié)稱為Smith預(yù)估器[16]。

Smith預(yù)估器是解決時(shí)滯的有效方法。在時(shí)滯控制系統(tǒng)中，因其閉環(huán)傳遞函數(shù)存在時(shí)滯項(xiàng)，在這種情況中導(dǎo)致被控系統(tǒng)在進(jìn)行振動(dòng)控制過程中極易產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象，從而使得控制過程變得十分不易。而Smith預(yù)估器就是預(yù)先估計(jì)被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型并且對其輸出的控制進(jìn)行相應(yīng)的預(yù)測，使得控制器輸出的振動(dòng)控制信號可以根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行提前輸出，這樣就可以達(dá)到被控系統(tǒng)穩(wěn)定控制的目標(biāo)，其原理如圖1所示。

圖1 Smith預(yù)估器原理圖

在圖1中，G0(s)e-τs表示為被控系統(tǒng)的包含時(shí)滯τ的數(shù)學(xué)模型；G0(s)表示為不含時(shí)滯τ的數(shù)學(xué)模型；Gc(s)則表示為振動(dòng)主動(dòng)控制的控制器模型，在本文中其為改進(jìn)指數(shù)趨近律控制器模型；Gs(s)則為Smith預(yù)估補(bǔ)償器，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

Gs(s)=Gm(s)(1-e-τs)

(1)

式中：Gm(s)為被控對象的預(yù)估模型；τs則為被控對象的預(yù)估時(shí)滯量[17]。

預(yù)估模型Gm(s)的估計(jì)值可以看作是不含時(shí)滯的數(shù)學(xué)模型G0(s)，預(yù)估時(shí)滯量τs的估計(jì)值近似于被控系統(tǒng)的延遲時(shí)滯量τ，則Gs(s)表示為

Gs(s)=G0(s)(1-e-τs)

(2)

閉環(huán)傳遞函數(shù)表示為

(3)

閉環(huán)傳遞函數(shù)對應(yīng)的等效原理如圖2所示。

圖2 Smith預(yù)估器等效原理圖

在圖2中，被控系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)并與時(shí)滯結(jié)構(gòu)串聯(lián)，閉環(huán)結(jié)構(gòu)不再含滯后環(huán)節(jié)。

1.2 時(shí)滯補(bǔ)償算法

在振動(dòng)主動(dòng)控制過程中存在的時(shí)滯現(xiàn)象，導(dǎo)致輸出控制會(huì)延遲作用于被控系統(tǒng)，導(dǎo)致主動(dòng)控制的效率下降，嚴(yán)重時(shí)甚至造成被控系統(tǒng)失穩(wěn)。

為了避免改進(jìn)指數(shù)趨近律滑模變控制系統(tǒng)時(shí)滯現(xiàn)象，在改進(jìn)滑模變控制算法中加入Smith預(yù)估補(bǔ)償，添加時(shí)滯補(bǔ)償因子，來解決振動(dòng)主動(dòng)控制中的時(shí)滯問題。

首先，構(gòu)造時(shí)滯預(yù)估補(bǔ)償模型Gm(s)(1-e-τs)；其次，壓電加筋板的輸出控制信號u(t)輸入到時(shí)滯預(yù)估補(bǔ)償模型之中后得到壓電加筋板的信號延時(shí)誤差de，然后將信號延時(shí)誤差de進(jìn)行反饋到被控系統(tǒng)的狀態(tài)誤差e(t)上，重新計(jì)算并且得到涵蓋時(shí)滯現(xiàn)象的新狀態(tài)誤差e(t)=xm(t)-x(t)-de；再次，將新狀態(tài)誤差反饋到改進(jìn)的指數(shù)趨近律控制算法，在改進(jìn)后的指數(shù)趨近律控制算法中，其本質(zhì)是對補(bǔ)償函數(shù)sgn(s)進(jìn)行改進(jìn)，因而在Matlab-Simulink中編寫加筋板主動(dòng)控制程序，只需對上文的指數(shù)趨近律里的補(bǔ)償函數(shù)sgn(s)修改為本文選用的softsign(s)函數(shù)即可。

最后，再經(jīng)控制器的運(yùn)算得到控制輸出u(t)，將控制輸出u(t)作用到被控系統(tǒng)上去。添加時(shí)滯補(bǔ)償?shù)母倪M(jìn)指數(shù)趨近律滑模變算法原理圖如圖3所示。

圖3 Smith預(yù)估補(bǔ)償控制算法原理

在未進(jìn)行Smith預(yù)估時(shí)滯補(bǔ)償時(shí)，加筋板的系統(tǒng)狀態(tài)變量表示為

(4)

式中：A為m×m維狀態(tài)矩陣；B為n×n維控制矩陣；d(t)為外界干擾。

由式(4)可知，加筋板的系統(tǒng)狀態(tài)變量中含有時(shí)滯項(xiàng)，然而加筋板的參考模型之中卻無時(shí)滯項(xiàng)，因此加筋板的信號跟蹤誤差表示為

e(t)=xm(t)-x(t)e-τs

(5)

進(jìn)行Smith預(yù)估時(shí)滯補(bǔ)償壓電加筋板的信號跟蹤誤差表示為

e(t)=xm(t)-x(t)e-τs-de

(6)

加筋板的延遲信號誤差則為

de=xd(t)(1-e-τs)

(7)

式中：xd為壓電加筋板的預(yù)估狀態(tài)變量，假設(shè)預(yù)估模型及時(shí)滯量都較理想時(shí)，則：xd(t)=x(t)，τm=τ，加筋板的延遲信號誤差表示為

de=x(t)(1-e-τs)

(8)

將式(8)代入式(6)中可得

e(t)=xm(t)-x(t)

(9)

由式(9)可知，進(jìn)行了Smith預(yù)估時(shí)滯補(bǔ)償之后，加筋板的信號跟蹤誤差之中不含時(shí)滯項(xiàng)，振動(dòng)控制則回歸之前的改進(jìn)指數(shù)趨近律算法，加筋板振動(dòng)主動(dòng)控制過程中的時(shí)滯現(xiàn)象得到了補(bǔ)償。

2 時(shí)滯補(bǔ)償控制算法的穩(wěn)定性分析

算法的穩(wěn)定性分析，表征著本控制算法的可行性。改進(jìn)的算法必須要保證不會(huì)導(dǎo)致控制發(fā)散，其跟蹤誤差不斷減少。在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究之前，首先對算法穩(wěn)定性進(jìn)行必要的驗(yàn)證。

考慮到加筋板的數(shù)學(xué)模型

(10)

加筋板振動(dòng)控制的滑模函數(shù)為

(11)

式中：c>0，且其滿足Hurwitz條件。

加筋板振動(dòng)控制的跟蹤誤差為

(12)

對式(12)進(jìn)行推導(dǎo)，可得

(13)

針對傳統(tǒng)滑?？刂迫菀壮霈F(xiàn)的抖振問題，利用softsign函數(shù)不宜飽和的特點(diǎn)，提出一種改進(jìn)指數(shù)趨近律

(14)

結(jié)合式(11)～式(14)，可得改進(jìn)后的控制律為

(15)

構(gòu)造李亞普洛夫(Lyapunov)函數(shù)

(16)

則

(17)

將式(15)代入式(17)中，可得

(18)

其中ε>0，k>0.

因?yàn)?≤softsign(s)s≤|s|，所以-softsign(s)s≤0，又有-ks2≤0，因此可以得到

(19)

由Lyapunov第二法[18]可以得知，該控制算法具有較好的穩(wěn)定性。

3 時(shí)滯補(bǔ)償振動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置與步驟

時(shí)滯補(bǔ)償振動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)其主要硬件由鼎陽科技SDG1032X信號發(fā)生器、GZ-20激振器、中科深谷cSPACE控制器、PC機(jī)等構(gòu)成。壓電傳感器及作動(dòng)器采用的壓電片型號是P5-Y78?？刂茖?shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖4所示。

圖4 加筋板振動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

利用信號發(fā)生器產(chǎn)生正弦激勵(lì)信號，其頻率設(shè)置為加筋板的一階模態(tài)頻率213Hz，經(jīng)過功率放大器放大后，通過激振器作用于加筋板上，cSPACE的A/D采集模塊采集壓電傳感片的振動(dòng)信號。經(jīng)過cSPACE實(shí)時(shí)分析后通過D/A輸出端輸出振動(dòng)控制信號給壓電作動(dòng)片來抑制加筋板振動(dòng)。

在振動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)需要調(diào)試，根據(jù)改進(jìn)指數(shù)趨近律的控制律可知，可以事先保持控制律中的參數(shù)k值不變，然后先確保參數(shù)c的取值達(dá)到最優(yōu)。確定參數(shù)c最優(yōu)后，再確定控制律中的參數(shù)k達(dá)到最優(yōu)的控制效果。在振動(dòng)控制的過程中，需要等到壓電加筋板振動(dòng)控制狀態(tài)達(dá)到穩(wěn)定后，再去調(diào)節(jié)功率放大器的增益，直至其振動(dòng)控制達(dá)到最佳的狀態(tài)。緩慢調(diào)節(jié)功放的增益后，當(dāng)改進(jìn)指數(shù)趨近律控制律中的參數(shù)c=40，k=90時(shí)，振動(dòng)控制達(dá)到最佳狀態(tài)。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

1)改進(jìn)指數(shù)趨近律的振動(dòng)抑制效果 為了對比加筋板基于傳統(tǒng)與改進(jìn)指數(shù)趨近律的控制效果，進(jìn)行振動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)，保持控制參數(shù)一致，通過cSPACE采集到的傳感壓電片輸出的振動(dòng)控制時(shí)域圖如圖5所示。

圖5 加筋板振動(dòng)控制時(shí)域?qū)Ρ葓D

由圖5可知，加筋板振動(dòng)控制前的壓電傳感片電壓為4.087V，采用了改進(jìn)指數(shù)趨近律后，其壓電傳感片的電壓下降到1.848V，相較于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的振動(dòng)幅值2.089V，在振動(dòng)幅值方面產(chǎn)生了明顯抑制效果。相較于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制算法的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)間0.094 5s，基于該策略的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)間僅為0.059 4s，系統(tǒng)快速性良好。因此實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了改進(jìn)指數(shù)趨近律算法可以有效地抑制加筋板的振動(dòng)，并且較傳統(tǒng)指數(shù)趨近律具有一定的優(yōu)越性。

2)時(shí)滯補(bǔ)償振動(dòng)抑制效果 本文采用李沙育圖測法[19]觀測時(shí)滯(見圖6)，通過測量改進(jìn)指數(shù)趨近律算法中輸出信號與控制信號之間存在的相位差便可得到時(shí)滯參數(shù)τ。將輸入信號接入示波器X軸，控制信號接入Y軸，調(diào)節(jié)功率放大器兩路信號振動(dòng)幅值一致以便觀察。

圖6 李沙育圖

圖6的李沙育圖像輪廓為橢圓，并且橢圓長軸與直線y=1/x大致平行。由此可知振動(dòng)信號相位約滯后約為5π/6。

由于加筋板振動(dòng)控制的能量主要集中在一階模態(tài)上，由此可根據(jù)加筋板的一階振動(dòng)頻率及控制信號的滯后相位換算得出其滯后補(bǔ)償時(shí)間。因此對改進(jìn)指數(shù)趨近律滑模變算法進(jìn)行時(shí)滯補(bǔ)償，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證補(bǔ)償控制效果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：振動(dòng)控制相位滯后5π/6時(shí)，即時(shí)滯量為3.91ms時(shí)可以得到更好的控制效果。實(shí)驗(yàn)中將Smith補(bǔ)償?shù)刃榭刂菩盘柕臅r(shí)延，使得傳感器信號與輸出的振動(dòng)控制信號相位同步，以此來達(dá)到時(shí)滯補(bǔ)償目的。

為了比較加筋板未進(jìn)行時(shí)滯補(bǔ)償與Smith預(yù)估補(bǔ)償?shù)目刂菩Ч?，保持時(shí)滯補(bǔ)償前后振動(dòng)控制器參數(shù)一致和兩次實(shí)驗(yàn)加載到壓電作動(dòng)器的控制電壓一致(均為80V)。

通過cSPACE采集的不同狀態(tài)下的壓電傳感片信號(見圖7)，可以發(fā)現(xiàn)：改進(jìn)指數(shù)趨近律算法進(jìn)行Smith預(yù)估控制后其振動(dòng)的壓電傳感片的幅值為1.209V，相較于未進(jìn)行Smith預(yù)估補(bǔ)償控制的1.848V，控制幅值下降了0.639V，可見Smith預(yù)估補(bǔ)償控制的振動(dòng)控制效果得到了明顯改善。

圖7 Smith預(yù)估補(bǔ)償時(shí)域圖

4 結(jié)論

本文針對壓電加筋板主動(dòng)控制中存在的時(shí)滯問題，利用李沙育圖對振動(dòng)主動(dòng)控制中的時(shí)滯測量，驗(yàn)證了加筋板振動(dòng)主動(dòng)控制中存在時(shí)滯延遲現(xiàn)象，并提出和構(gòu)建了一種基于改進(jìn)指數(shù)趨近律滑模的Smith預(yù)估補(bǔ)償控制算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，針對加筋板的第一階模態(tài)，未時(shí)滯補(bǔ)償?shù)母倪M(jìn)指數(shù)趨近律滑模算法的控制效果為2.239V，而基于改進(jìn)指數(shù)趨近律的Smith預(yù)估補(bǔ)償控制算法控制效果達(dá)到了2.878V，提升了0.639V，驗(yàn)證了時(shí)滯補(bǔ)償?shù)挠行院涂刂品椒ǖ膬?yōu)越性。Smith預(yù)估器和改進(jìn)指數(shù)趨近律滑模控制方法的有效結(jié)合明顯改善了時(shí)滯系統(tǒng)的控制性能，提升了主動(dòng)控制時(shí)的時(shí)滯補(bǔ)償效果，解決了實(shí)際振動(dòng)控制過程中進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)間過長及抖振等問題，有望在實(shí)際的時(shí)滯系統(tǒng)和設(shè)備的過程控制中得到廣泛的應(yīng)用。