幾種平面軌跡在空間中的推廣

吳險峰

幾種平面軌跡在空間中的推廣

吳險峰

（齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

利用解析法證明了平面上幾種常用軌跡在空間中推廣后的曲面類型．

二次曲面；橢球面；雙曲面；拋物面

在平面上，由二元二次方程所表示的圖形稱為二次曲線，二次曲線有9種類型，二次曲線除了圓錐曲線外，就是退化曲線[1-2]．在空間，由三元二次方程所表示的圖形稱為二次曲面，二次曲面有17種類型，二次曲面除了橢球面、雙曲面、拋物面外，就是柱面、錐面和退化曲面（即平面）[3-5]．圓錐曲線可以視為平面上的動點(diǎn)運(yùn)動而成的，例如：圓是平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡；橢圓是平面上到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)（此常數(shù)大于兩定點(diǎn)之間的距離）的點(diǎn)的軌跡；雙曲線是平面上到兩定點(diǎn)距離之差的絕對值等于非零常數(shù)（此常數(shù)小于兩定點(diǎn)之間的距離）的點(diǎn)的軌跡；拋物線是平面內(nèi)與一定點(diǎn)和一定直線（定直線不經(jīng)過定點(diǎn)）的距離相等的點(diǎn)的軌跡． 本文利用解析法證明了平面上幾種常用軌跡在空間中推廣后的曲面的類型．

在空間中，到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡稱為球面．除了這個定義外，由定理1可以給出球面的另一個定義：在空間中，到兩定點(diǎn)距離之比是一個常數(shù)（此常數(shù)大于零且不等于1）的點(diǎn)的軌跡稱為球面．

定理2到兩定點(diǎn)距離之和是常數(shù)（此常數(shù)大于兩定點(diǎn)間的距離）的空間點(diǎn)的軌跡是長形旋轉(zhuǎn)橢球面．

定理3到兩定點(diǎn)距離之差的絕對值是常數(shù)（此常數(shù)小于兩定點(diǎn)間的距離）的空間點(diǎn)的軌跡是雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面．

整理得

整理得

整理得

轉(zhuǎn)雙曲面． 證畢．

[1] 丘維聲．解析幾何[M]．3版．北京：北京大學(xué)出版社，2015：232-243．

[2] 胡新平．二次曲線的軌跡統(tǒng)一及性質(zhì)[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報，2007，55（12）：47-51，54．

[3] 呂林根，許子道．解析幾何[M]．4版．北京：高等教育出版社，2006：232，280-281．

[4] 周妍．立體幾何中的軌跡問題[J]．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2010（11）：86．

[5] 張隆輝．平行平面的一個軌跡及其性質(zhì)[J]．川北教育學(xué)院學(xué)報，2001，11（3）：50．

[6] 阿波羅尼奧斯．圓錐曲線論：卷I-IV[M]．朱恩寬，譯．西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2007：136．

The generalization in space of several plane tracks

WU Xianfeng

（School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China）

By analytic method，surface types about the generalization in space of several commonly used plane tracks are proved．

quadric surface；ellipsoid；hyperboloid；paraboloid

1007-9831（2022）08-0018-04

O17

Ａ

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.08.005

2022-04-17

齊齊哈爾大學(xué)教研項目（GJZRYB202019）

吳險峰（1970-），女，黑龍江齊齊哈爾人，教授，碩士，從事幾何學(xué)研究．E-mail：wuxianfenglaoshi@163.com