考慮互熱影響的直埋電纜溫度場解析計算

于坤生，龐 丹，齊明澤，魯志偉

(1.東北電力大學電氣工程學院，吉林 吉林 132012；2.國網吉林省電力公司長春供電公司，吉林 長春 130000)

直埋電力電纜廣泛用于電能輸送，電纜纜芯的溫度是限制其輸送能力的關鍵，對交聯(lián)聚乙烯電纜而言，絕緣層耐受溫度為90 ℃.為了使電纜得到充分應用，且不超過電纜纜芯溫度上限，有必要對電纜溫度場進行精確且快速的計算[1-4].計算溫度場常用方法有數值法和解析法，數值法常借助相關仿真軟件求解，可實現溫度場精確計算，但對于不同的電纜型號、不同的敷設方式，需要設置相應參數，耗時較長[5]；解析法則通過構建熱路模型，用IEC標準公式求解模型中的熱阻、熱容參數，最終由外界溫度疊加各層溫升求得纜芯溫度，該過程可借助編程工具實現快速計算[6].電纜的規(guī)格和排列方式確定之后，土壤的熱阻與熱容是影響電纜溫度場的主要因素，集群敷設時還要考慮周圍電纜的互熱影響，因此解析法計算直埋電纜溫度場的關鍵在于土壤部分熱路模型的正確構建.

計算電纜穩(wěn)態(tài)溫度時，IEC標準通過定義絕緣層熱阻T1、外護層熱阻T3建立電纜熱路模型，并用等效熱阻T4來模擬電纜周圍環(huán)境.電纜集群敷設時，求解方法是計算計及電纜間相互熱效應對電纜外部熱阻T4的修正值.對于埋地電力電纜群，通過鏡像法計算其他相鄰電纜對研究電纜造成的表面溫升，根據電纜不同的敷設類型采用相應的計算公式求得T4，并用疊加法求得纜芯溫度[7-9].計算電纜暫態(tài)溫升時，由于電纜內部熱容的存在，導體溫度為隨時間變化的曲線，IEC標準將土壤的影響和電纜的互熱效應包含在擴散方程的解析解中，通過求解指數積分可實現溫度場的精確計算[10-14].

文獻[15-18]將土壤不均勻地離散為多層，電纜及土壤各層均等效為RC梯形熱路模型，并證實了5層土壤模型能正確模擬溫度在土壤中的擴散過程.本文通過在土壤梯形熱路模型的相應位置添加相鄰電纜的損耗來模擬電纜的相互熱影響，并將熱路模型計算結果與有限元仿真對比，結果表明新模型可準確再現電纜集群敷設時的溫度場.與有限元仿真相比，熱路模型計算效率高，可通過列寫節(jié)點熱流方程實現快速精確求解.現有的用于分析RC熱路的技術都可以應用于該模型，新模型也適用于電磁暫態(tài)仿真軟件ATP-EMTP，為工程技術人員提供了極大的靈活性，使他們能夠使用簡單的模型進行快速、準確、高效的分析，無需求解相關的標準方程.

1 考慮互熱影響的土壤熱路模型

1.1 IEC標準中土壤部分溫升的求解

IEC 60853標準規(guī)定，相同載荷的電纜組內最熱電纜外表面的暫態(tài)溫升(持續(xù)時間大于1 h左右)θe(t)計算式為

(1)

公式中：ρT為土壤熱阻系數；WI為電纜組內各電纜單位長度的總功率損耗；De為電纜外徑；t為電纜發(fā)熱時間；δ為土壤散熱系數；dpk為相鄰電纜k到最熱電纜p的距離；dpk′為電纜k的鏡像到電纜p的距離；N為電纜組內電纜的數量；指數Ei求解時需要按級數展開.求解穩(wěn)態(tài)溫升，即當t→∞時，對公式(1)求解，穩(wěn)態(tài)公式可改寫為

(2)

公式中：電纜p表面的總溫升Δθp為電纜p中的損耗Wp和相鄰電纜中的損耗Wk引起的溫升的疊加.

計算電纜自身損耗引起的溫升時，外部熱阻T4可視為單根電纜敷設時求解

(3)

(4)

公式中：T4為電纜外部熱阻；L為電纜軸線至地表距離.

計算相鄰電纜的熱影響時，第k根電纜單位長度的損耗Wk對第p根電纜所引起的表面溫升為

(5)

IEC標準非常精確地模擬了穩(wěn)態(tài)條件下相鄰電纜k對研究電纜p造成的溫升，為了使公式(5)與電纜各層的熱阻表達式一致，可將Δθpk視為等效熱阻T4mk，用于表示相鄰電纜單位損耗對電纜p產生的熱影響，即當Wk=1，互熱影響可用熱阻表示為(下文均簡稱互熱熱阻)

(6)

IEC標準中給出的公式可準確計算穩(wěn)態(tài)時電纜外部溫升，但當計算土壤部分的暫態(tài)溫升時，計算式中包含指數積分，并沒有給出與電纜部分相似的RC熱路模型，從而不能高效快速地計算.

1.2 土壤模型的構建

土壤指數離散模型可正確模擬溫度在土壤中的擴散過程，該模型精確地再現了單根單芯電纜的溫度場[15]，證明了模型的可用性.本文將其與IEC標準中的電纜模型結合，提出如圖1所示新模型，電纜部分參數參照IEC標準求得，土壤部分各層的熱阻熱容計算公式為

(7)

(8)

公式中：m為土壤層數，m=1，2，3，4，5；th為土壤各層厚度；rext、rint分別為各層的外徑與內徑；Cp為土壤的體積比熱容.

新模型中的熱容Csi可直接由公式(8)求得，熱阻Rsi計算式為

(9)

(10)

(11)

公式中：i=2，3，4，5.

圖1 單根電纜熱路模型

現實中電纜多以集群方式敷設在土壤中，電纜間的互熱效應對溫度場的影響不可忽略，如果使用熱路模型來考慮相鄰電纜的熱影響，則可以用解析法快速求解所有直埋電纜的溫度場，具有重要的工程實用價值.通過在土壤梯形熱路特定位置注入相鄰電纜的損耗來模擬電纜間的相互熱影響[17]，注入位置由公式(3)和公式(6)求得，將所有相鄰電纜的互熱影響包含在研究電纜p的RC梯形熱路模型中，用于求解電纜的瞬態(tài)溫度，具體的土壤模型如圖2所示.

電纜外部熱阻T4與電纜埋深有關，互熱熱阻T4mk受電纜間距和電纜埋深的影響，兩者均與電纜的敷設位置有關，相鄰電纜造成的損耗Wk應準確地添加到互熱熱阻所處位置.如果T4-T4m1落在土壤熱阻Rs4內，該熱阻將被分為兩個子熱阻Rs4a和Rs4b，它們的值由T4-T4m1計算得出，需在兩個子熱阻的連接點處添加損耗W1，保證該模型計算穩(wěn)態(tài)溫度場的精度；如果相鄰電纜的損耗W2注入到累積熱阻為T4-T4m2的節(jié)點處，可通過在圖2中添加熱源W2的方式模擬.土壤熱路模型基于疊加原理，它可以很容易地外推到相鄰的N根電纜，將每根電纜的損耗添加到表示該電纜互熱影響的互熱熱阻所在位置處即可.

圖2 考慮互熱效應的熱路模型

相鄰電纜損耗由Wk表示，Wk在土壤模型中的注入點僅取決于穩(wěn)態(tài)熱阻值T4和T4mk，其由電纜的幾何位置決定，土壤特性由熱路模型模擬，電纜的外部溫升可用解析法正確求解.新模型能夠計算電纜集群敷設時穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)條件下的溫度場，避免求解相關的指數積分方程，并保留IEC標準中給出的分層模型.根據新模型列寫狀態(tài)空間方程，用經典的4階Runge-Kutta法編程求得節(jié)點熱流方程的數值解，可獲得各節(jié)點任意時刻的溫度.

2 模型驗證

2.1 穩(wěn)態(tài)溫升驗證

新模型應能準確計算電纜穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)溫度場，為便于分析，使用兩根單芯電纜來驗證電纜間的互熱影響，并將解析算法與有限元仿真獲得的結果進行比較.本文所用單芯電纜型號為YJLW03-64/110kV-1×630，電纜的結構參數如表1所示，電纜各層材料參數可在IEC標準中查到.為簡化分析，模型驗證中電纜部分熱源只考慮纜芯損耗.兩根電纜水平敷設在土壤中，土壤熱阻系數ρT=0.6 K·m/W，體積比熱容Cp=2.5×106J/mm3K，土壤溫度Tsoil=13 ℃，電纜埋深為1 m，兩根電纜均通以1 210 A的電流，在此電流下單根電纜敷設時可達到90 ℃.兩根電纜依次相聚20 cm、100 cm時，COMSOL仿真求得的穩(wěn)態(tài)溫度如圖3所示，圖3中包括電纜溫度分布和等值溫度曲線兩部分，由圖可知兩種敷設情況下纜芯溫度分別為108.0 ℃、99.7 ℃，解析法求得的纜芯穩(wěn)態(tài)溫度分別為107.8 ℃、99.6 ℃，穩(wěn)態(tài)溫度較單根敷設時有了明顯提升，這是互熱效應所引起的.由解析計算結果與有限元仿真計算結果對比得知，新模型可用于求解電纜穩(wěn)態(tài)溫度場.

表1 電纜各層結構參數

圖3 兩根電纜不同敷設間距時穩(wěn)態(tài)溫度分布圖

2.2 暫態(tài)溫升驗證

采用與穩(wěn)態(tài)驗證時相同的電纜敷設方式，研究電纜在瞬態(tài)條件下的溫度變化.左側電纜(電纜1)在168 h內承受負荷1 200 A，右側電纜(電纜2)在前60 h內承載600 A，在剩余的108 h內承載1 500 A，根據圖2所示模型列寫節(jié)點熱流方程，借助MATLAB編寫四階Runge-Kutta算法求其數值解，并與有限元仿真結果對比.有限元模擬的結果與解析解比較如圖4所示，由圖4可知，解析解與有限元仿真求得的溫度隨時間變化曲線基本吻合，準確地模擬了溫度在土壤中的熱擴散過程.

圖4 兩根電纜不同敷設間距時考慮互熱影響的溫度隨時間變化曲線

由圖4分析可知，當電纜相距20 cm時，施加在電纜2的階躍電流由600 A上升到1 500 A后，電纜1的溫升曲線發(fā)生了明顯的變化，溫度變化率明顯提高；當電纜間距100 cm時，溫度變化并不明顯，如圖5所示.前者較后者在施加階躍電流后的108 h小時內溫度提升了12 ℃，由此可見電纜間距較小時的互熱影響不可忽略.

平均絕對誤差MAE是將解析法和有限元仿真法在各時刻求解結果之間的纜芯溫差取和再求平均，表達式為

(12)

公式中：tj為模擬的不同時間樣本；Tn為樣本總數.

以有限元仿真結果為標準，從峰值誤差和平均絕對值誤差兩方面驗證新模型求解暫態(tài)溫度的準確性.了解析法在每一時刻的絕對值誤差如圖6所示，各敷設情況下的平均絕對誤差統(tǒng)計在表2中.由圖6可見，負荷變化的節(jié)點附近會出現3.2 ℃的峰值誤差，且四種情況下的平均絕對誤差的最大值為0.57 ℃.誤差產生的原因是IEC標準中將電纜絕緣層當作集中參數處理[19].負載快速變化時，絕緣層較低的散熱率、較大的徑向幾何尺寸將會使絕緣層內各點的溫升差異很大，此時絕緣層應視作近似分布參數，要實現精確計算應對其進行分層處理.本文主要對考慮互熱影響時的土壤模型進行分析，且新模型的計算誤差在工程允許范圍之內，絕緣層分層對電纜電纜暫態(tài)溫升的影響將在以后的研究中進一步討論.周圍電纜對研究電纜的影響由電纜間距和周圍電纜的總損耗決定，電纜的的總損耗可通過IEC標準實現精確計算，新模型計算中出現的誤差并不會隨著電纜數目的增多而疊加.由解析計算結果與有限元數值計算結果對比得知，新模型可用于求解電纜暫態(tài)溫度場.

圖5 不同間距下互熱影響對比圖圖6 解析計算的誤差曲線

表2 不同情況下的平均絕對誤差

本部分對新模型在電纜溫度場求解中的適應性進行了討論，證實模型可應用于工程實際計算中，并結合電纜暫態(tài)溫升誤差曲線對模型提出了改進.新模型補充了現有的電纜暫態(tài)溫升計算方法，不必計及指數積分便可用解析法求得電纜的實時溫度.

3 模型應用

新模型可用于求解電纜集群敷設時各時刻的纜芯溫度，以此為依據實現電纜的動態(tài)增容.單回路YJLW03-64/110 kV-1×630電纜水平排列敷設在土壤中，電纜金屬護套采取交叉互聯(lián)的接地方式，金屬套環(huán)流損耗為0，單回路電纜穩(wěn)態(tài)載流量為941 A.三相均通以800 A的電流，持續(xù)168 h，電纜部分損耗包括纜芯損耗、介質損耗、金屬套渦流損耗，分別采用有限元仿真與解析法求得三相電纜纜芯溫度隨時間變化曲線，滯后項(C相)與超前相(A相)溫度變化曲線相同，A相和B相的溫升曲線如圖7所示.

新模型可用于確定過負荷等級，告訴操作員在給定條件下可使電纜過載多長時間，并在分析中添加適當的安全裕度，為電力調度部門指導電纜的運行提供理論依據.圖7中B相電纜運行60 h時發(fā)生過載，時刻電纜溫度分布圖如圖8所示，表3給出了在不同的過負荷下的允許運行時間.過載越嚴重，允許運行時間越短，考慮到操作裕度，應避免電纜在較高過負荷下運行.

圖7 單回路電纜溫度隨時間變化曲線圖8 60h時單回路電纜溫度分布圖

表3 不同過負荷下電纜達到允許溫度所用時間

4 結 論

本文采用電纜熱路模型計算了考慮周圍電纜互熱影響時的電纜溫度場，并采用有限元仿真進行了驗證.得到主要結論如下：

(1)電纜間距較近時，電纜間的互熱影響不可忽略，間距20 cm的兩根水平排列的電纜在108 h內較間距100 cm的電纜纜芯溫度提升了12 ℃.

(2)新模型能正確模擬電纜穩(wěn)態(tài)溫度場和暫態(tài)溫度場，誤差均在工程允許范圍之內，其中通以恒定電流時的誤差比通以變電流時誤差大.

(3)電纜的互熱影響作為熱源添加到土壤模型中，對模型中各節(jié)點列寫熱平衡方程，可用編程實現對集群敷設電纜溫度場的快速準確計算，不必按照IEC標準計算指數積分.

(4)新模型可快速計算電纜在不同過負荷下的應急時間，以數值法計算結果為標準，過負荷越嚴重計算結果越準確，符合實際操作中的要求.