設(shè)計(jì)思維可視化作業(yè) 提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

江蘇省無錫市堰橋高級(jí)中學(xué) 胡謝芳

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱“《課標(biāo)》”）指出，數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)；是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，用數(shù)學(xué)思想、方法和知識(shí)來解決實(shí)際問題的過程，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式。數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題。

數(shù)學(xué)建模和一般數(shù)學(xué)題的解法是不一樣的，我們講數(shù)學(xué)建模實(shí)際上是情境化命題的方式。學(xué)生對(duì)情境化命題的解答易有畏懼心理，隨著高考新方案的實(shí)施，情境化命題的題型也更多樣化，這無形中給學(xué)生帶來更多的挑戰(zhàn)。因此，筆者認(rèn)為，在日常教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，設(shè)置可視化作業(yè)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)。

一、可視化定向錘煉解題思路

（一）基于簡單建模階段的可視化作業(yè)

隨著新方案的實(shí)施，高考題型已經(jīng)有四大類：單項(xiàng)選擇，多項(xiàng)選擇，填空和解答題。筆者認(rèn)為，平時(shí)作業(yè)的設(shè)置應(yīng)注意小題解題思維的可視化。

在日常教學(xué)中，對(duì)于這類實(shí)際問題，學(xué)生很容易分辨屬于數(shù)學(xué)概率問題。若在平時(shí)作業(yè)中，筆者會(huì)要求學(xué)生將分析過程用思維導(dǎo)圖標(biāo)注出來。

這屬于簡單建模階段的情境問題，學(xué)生可以直接套用基本數(shù)學(xué)模型，利用思維導(dǎo)圖可以幫助學(xué)生分析問題，厘清思路，從而直接借助或引用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。

（二）基于基本典型建模階段的可視化作業(yè)

這一階段對(duì)學(xué)生的要求相對(duì)提高，需要學(xué)生在熟悉的情境中發(fā)現(xiàn)問題并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；能夠選擇合適的數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題，而這一類數(shù)學(xué)模型通常是我們熟悉的基本函數(shù)模型。這就要求我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一些基本數(shù)學(xué)模型進(jìn)行一一歸納。例如，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和數(shù)列模型可以解決增長率、利率等問題；函數(shù)、不等式模型可以解決最值問題；二次曲線、圓錐曲線等模型可以解決衛(wèi)星軌跡、拱橋等與軌跡相關(guān)的問題。因此，該階段的作業(yè)設(shè)置，需要學(xué)生明確解決何種問題，大概需要哪種基本的數(shù)學(xué)模型。

如：某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)之和最小，則x的值是____。

此題學(xué)生可以明確與不等式、函數(shù)有關(guān)，因此需要建立數(shù)量關(guān)系。作業(yè)中學(xué)生若將思維過程體現(xiàn)出來，也可提升正確率。

作業(yè)的思維導(dǎo)圖可以更好地幫助學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)，運(yùn)用合適的數(shù)學(xué)模型、明確的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。

因此，當(dāng)分配因子λ1、λ2、λ3滿足上述條件時(shí)，相比分散決策下各決策主體的利潤，集體決策下經(jīng)過協(xié)調(diào)后的制造商、零售商、物流服務(wù)集成商以及物流服務(wù)提供商的利潤均實(shí)現(xiàn)了帕累托改進(jìn)，同時(shí)產(chǎn)品供應(yīng)鏈的利潤與物流服務(wù)供應(yīng)鏈的利潤也實(shí)現(xiàn)了帕累托改進(jìn)。

以上兩個(gè)階段的要求，相當(dāng)于《課標(biāo)》中的數(shù)學(xué)建模水平一，在高考命題中，更有可能出現(xiàn)在小題中，小題重結(jié)果。因此，在平時(shí)的作業(yè)中強(qiáng)化解題思路，對(duì)于處理綜合型數(shù)學(xué)建模問題，可以起到夯實(shí)基礎(chǔ)的作用。

二、可視化定向錘煉拓展解題技能

在《課標(biāo)》說明下，筆者以為綜合建模是高考命題的重點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，能夠在綜合情境下，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行分析，把模糊的問題提煉成比較明確的數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的一般方法和相關(guān)知識(shí)解決問題，在解題過程中，將復(fù)雜問題逐一破解，最終建立數(shù)學(xué)模型，解決問題。因此，在日常的教學(xué)中，除了課堂上要充分體現(xiàn)分析過程、解題思路外，作業(yè)中也要充分要求學(xué)生表現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維，能用流暢的數(shù)學(xué)方式展示分析過程。

這一題體現(xiàn)了情境問題最大的特征，就是題目很長，很煩瑣。學(xué)生讀完題目，還是一頭霧水。那么，做作業(yè)時(shí)筆者會(huì)要求學(xué)生進(jìn)行對(duì)題目的剝離，把情境問題逐漸數(shù)學(xué)化。對(duì)剝離后的問題再次進(jìn)行分析，逐漸厘清數(shù)量關(guān)系，第（1）小題思維過程體現(xiàn)如下：

有了這樣的一個(gè)簡單分析，學(xué)生也會(huì)正確的建立不等關(guān)系，解決預(yù)設(shè)的情境問題。

對(duì)于第（2）小題的解答，學(xué)生同樣可以進(jìn)行簡單的思維展示：

①明確三個(gè)量的表示：

“銷售收入≥原收入+總投入”成立的前提下，確定銷售價(jià)格和銷售額。

通過對(duì)該題的剖析，學(xué)生將經(jīng)歷以上三個(gè)階段的思維過程，將過程展示出來，思路清晰，每一步都能明確自己要做什么，從而成功地轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題的求解。倘若學(xué)生在每一次練習(xí)時(shí)都能養(yǎng)成剝題分析的習(xí)慣，也會(huì)降低對(duì)情境問題的畏懼，對(duì)解題能有很大的幫助，解題能力也會(huì)有提高。

三、作業(yè)可視化講解，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維

在對(duì)學(xué)生可視化作業(yè)有了一定的要求后，教師就能更好地掌握學(xué)生的解題思路和流程，對(duì)于多數(shù)學(xué)生只能意會(huì)不能言傳，更不能保證做對(duì)的情況，必須在課堂上對(duì)作業(yè)進(jìn)行講解，凸顯正確解題思路和流程，然后予以強(qiáng)化訓(xùn)練。筆者認(rèn)為，可視化作業(yè)的講解通常可按以下程序完成：對(duì)情境進(jìn)行剝離、明確相關(guān)關(guān)系、凸顯正確思路、總結(jié)精簡流程；有需要的時(shí)候，也可進(jìn)行正誤解題的對(duì)比。

例如，上題在進(jìn)行情境剝離時(shí)，可將情境化簡為：

（1）已知：每件售價(jià)25元，年銷售8萬元

預(yù)設(shè)條件：每提高1元，銷售量相應(yīng)減少2000件

求：銷售總收入≥原收入，每件定價(jià)最多多少元？

（2）已知：每件售價(jià)25元，年銷售8萬元

這樣從已知條件出發(fā)，去掉一些繁雜的內(nèi)容，將題目的主要意思搞清楚，有助于學(xué)生找到相關(guān)量，確定相關(guān)量之間的關(guān)系。從已知條件、舊知識(shí)基礎(chǔ)等方面分析，啟發(fā)學(xué)生為什么必須確定這樣的思路方向才有助于問題的解決。再用流程圖的形式將思維過程凸顯出來，可視化、可感化地突出正確的思維方式和解題程序，使學(xué)生對(duì)正確解題思路和流程得到強(qiáng)化。

通過教師對(duì)作業(yè)的可視化講解，學(xué)生糾正了錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，明確了正確解題技能和解題思路的形成后，還需要專門的針對(duì)性鞏固練習(xí)，通過練習(xí)解題過程和思路的可視化展示，可以促使學(xué)生不斷地內(nèi)化知識(shí)難點(diǎn)，細(xì)致地處理知識(shí)易錯(cuò)點(diǎn)。

總之，教師通過作業(yè)講解的可視化，使學(xué)生在潛移默化中了解數(shù)學(xué)建模的解題思路、基本步驟和過程；學(xué)生通過作業(yè)思路可視化的強(qiáng)化訓(xùn)練，使自身對(duì)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的技能得到鍛煉，從而提升了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和解決實(shí)際問題的能力。