基于三參數(shù)威布爾分布模型的超高強度抽油桿概率疲勞壽命曲線

蔡文斌，李 文，胥元剛

(1.西安石油大學(xué)石油工程學(xué)院，陜西西安 710065；2.中國石油新疆油田分公司，新疆克拉瑪依 834000)

抽油桿分為C、K、D、KD、HL、HY等6級別，其中HL、HY級統(tǒng)稱為超高強度抽油桿。超高強度抽油桿疲勞強度比D級抽油桿高一個等級，提高了其使用壽命，延長了油井免修期，在許多油田得到了廣泛使用[1-4]。國內(nèi)外多位學(xué)者對抽油桿概率疲勞壽命(P-S-N)曲線擬合進行了研究[5-8]；樊松等[9]以冪函數(shù)形式的Basquin公式擬合得出了疲勞壽命預(yù)測模型；宋開利[10]用對數(shù)正態(tài)分布對抽油桿疲勞數(shù)據(jù)處理得到直線形式的抽油桿P-S-N曲線；房軍等[11]研究了D級空心抽油桿的P-S-N曲線和疲勞極限圖。以上抽油桿P-S-N曲線擬合都是采用假定疲勞壽命服從正態(tài)分布的Basquin模型。然而研究表明，受應(yīng)力、試驗樣品差別等影響，疲勞壽命試驗數(shù)據(jù)的分布并不完全滿足正態(tài)分布，這就可能降低Basquin模型的疲勞壽命預(yù)測精度[12-13]。除了基于正態(tài)分布的Basquin模型，威布爾分布模型在P-S-N曲線疲勞壽命預(yù)測中也得到了廣泛應(yīng)用，多位學(xué)者進一步開展了基于正態(tài)分布的Basquin模型和威布爾分布模型在P-S-N曲線擬合方面的對比研究[14-15]。徐家進[16]研究了威布爾分布在疲勞統(tǒng)計學(xué)智能化方面疲勞壽命置信區(qū)間的問題，給出了在高鎮(zhèn)同法基礎(chǔ)上的一個智能化解決方法；韓慶華等[17]基于威布爾分布建立了鑄鋼及對接焊縫腐蝕疲勞壽命評估方法；Strzelecki[18]用三參數(shù)威布爾分布確定了不同應(yīng)力水平下的低失效概率疲勞壽命；Paul等[19]基于威布爾分布進行了S355J2+N鋼的P-S-N曲線擬合；陳建橋[20]通過比較正態(tài)分布和威布爾分布模型發(fā)現(xiàn)當(dāng)加載應(yīng)力高出50%疲勞極限應(yīng)力時，壽命分布較好地遵從威布爾分布；聞德兵[21]通過對2024-T3Alclad 鋁合金疲勞壽命概率分布類型對比研究發(fā)現(xiàn)，三參數(shù)的威布爾分布的靈活性和精度都要優(yōu)于兩參數(shù)的對數(shù)正態(tài)分布；鄔華芝等[22]研究了結(jié)構(gòu)疲勞破壞壽命特性概率統(tǒng)計方法中威布爾分布和正態(tài)分布的應(yīng)用。筆者基于三參數(shù)威布爾分布建立超高強度抽油桿疲勞壽命預(yù)測模型，擬合HL和HY兩種類型超高強度抽油桿的P-S-N曲線，采用柯式(K-S)檢驗法對疲勞試驗數(shù)據(jù)進行威布爾分布及正態(tài)分布擬合優(yōu)度檢驗，并與Basquin模型和威布爾模型疲勞壽命預(yù)測精度進行對比。

1 疲勞試驗

1.1 試驗樣品制備

試驗樣品的尺寸嚴(yán)格按照石油與天然氣行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)制備，如圖1所示。抽油桿試件長度為(500±50)mm，其制造工藝和批量生產(chǎn)工藝一致。

圖1 疲勞試驗抽油桿試件示意圖Fig.1 Schematic diagram of sucker rod specimen for fatigue test

1.2 試驗過程及結(jié)果

按照《SY/T 5029-2013抽油桿》鋼制抽油桿疲勞性能測試要求，采用PLG-300C電磁諧振高頻疲勞試驗機(圖2)分別進行超高強度抽油桿(HL型和HY型)疲勞壽命試驗。每一類型抽油桿分3組應(yīng)力水平進行試驗，每組試驗5根試件，加載頻率小于150 Hz，應(yīng)力比R為0.1的拉-拉載荷，記錄各個試驗樣本在500、540以及600 MPa應(yīng)力下發(fā)生疲勞破壞前所經(jīng)受的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)，即疲勞壽命，試驗結(jié)果如表1所示。試件斷裂后的部分樣品如圖3所示。

圖2 PLG-300C電磁諧振高頻疲勞試驗機Fig.2 PLG-300C electromagnetic resonance high frequency fatigue testing machine

表1 HL型和HY型抽油桿疲勞試驗結(jié)果Table 1 Fatigue test results of type HL and type HY sucker rods

圖3 斷裂后的部分試樣Fig.3 Part of sample after fracture

2 基于三參數(shù)威布爾分布疲勞壽命模型建立

2.1 疲勞壽命模型

威布爾分布的累積失效分布函數(shù)[23-24]為

(1)

式中，x為疲勞壽命或疲勞壽命函數(shù)式；α∈R，為位置參數(shù)；β>0，為尺度參數(shù);γ>0，為形狀參數(shù)。

假定抽油桿疲勞壽命數(shù)據(jù)服從三參數(shù)威布爾分布，疲勞壽命函數(shù)為

x=(lgN-A)(lgS-B).

(2)

式中,B為應(yīng)力修正參數(shù)；A為疲勞壽命修正參數(shù)。

基于三參數(shù)威布爾分布的抽油桿疲勞壽命模型方程為

(3)

其中(lgN-A)(lgS-B)≥α，根據(jù)式(1)對抽油桿疲勞試驗結(jié)果進行擬合，主要是進行參數(shù)A、B、α、β、γ估值。

2.2 參數(shù)A和B的估值

用疲勞壽命N的平均值μ代替疲勞壽命x，則式(2)可變形為

(4)

構(gòu)建函數(shù)為

(5)

式中，n為樣本容量；μ為疲勞壽命N的平均值；Ni為應(yīng)力Si對應(yīng)的疲勞壽命。由疲勞數(shù)據(jù)根據(jù)式(4)和(5)運用線性回歸方法擬合，當(dāng)Q取最小值時得到A、B的值。

2.3 參數(shù)α、β、γ的估值

可以利用概率加權(quán)矩法估計三參數(shù)威布爾分布α、β、γ的值[17-18,25]，三參數(shù)威布爾分布的概率加權(quán)矩函數(shù)可以寫為

(6)

令s=0、1、2,代入式(6)中可得

(7)

由式(7)得威布爾分布的3個參數(shù)表達式分別為

(8)

(9)

(10)

根據(jù)試驗數(shù)據(jù)求出概率加權(quán)矩M1,0,s,再結(jié)合式(8)～(10)可以求出α、β和γ,M1,0,0、M1,0,1和M1,0,2的計算公式分別為:

(11)

(12)

i)(n-i-1)xi.

(13)

式中,xi為抽油桿疲勞壽命數(shù)據(jù),可以通過式(2)計算得到。

3 基于三參數(shù)威布爾分布P-S-N曲線擬合

通過計算得到HY和HL型抽油桿疲勞P-S-N曲線幾何參數(shù)，如表2所示。

表2 抽油桿疲勞P-S-N曲線幾何參數(shù)及威布爾分布參數(shù)Table 2 Estimated geometric parameters of HY and HL sucker rod fatigue P-S-N curves

根據(jù)式(3)得HY型和HL型抽油桿疲勞壽命模型分別為

P1(N|S)=1-exp

(14)

P2(N|S)=1-

(15)

根據(jù)三參數(shù)威布爾分布模型計算結(jié)果分別做出HY和HL型超高強度抽油桿對數(shù)坐標(biāo)和普通坐標(biāo)下的P-S-N曲線，如圖4所示。

圖4 三參數(shù)威布爾模型P-S-N曲線Fig.4 P-S-N curve of three-parameter Weibull model

4 基于正態(tài)分布的Basquin模型P-S-N曲線擬合

基于對數(shù)式Basquin模型S-N方程[4]為

lgS=lgC+mlgN.

(16)

式中，C和m為與試驗材料加載方式相關(guān)的參數(shù)，可以通過線性回歸的方法得到。

假設(shè)對數(shù)疲勞壽命lgN服從正態(tài)分布，為了擬合P-S-N曲線，則需要得到服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的疲勞壽命表達式，由正態(tài)分布理論得到指定概率下服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的疲勞壽命為

lgNp=μ+μpσ.

(17)

式中，lgNp為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對數(shù)疲勞壽命；μp為與概率P對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)偏量(查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)偏量獲得)；σ為對數(shù)疲勞壽命標(biāo)準(zhǔn)差。

采用最小二乘法對P-S-N曲線進行擬合，令B=lgC，A=m,構(gòu)建擬合方程為

lgS=AlgNp+B,

(18)

(19)

通過上面方法計算得到HY型抽油桿可靠度為99.99%和50%時，幾何參數(shù)A、B分別為-0.096、3.265 3和-0.142 2、3.562 7；HL型抽油桿可靠度為99.99%和50%時，幾何參數(shù)A、B分別為-0.066 3、3.105 6和-0.133 2、3.515 6。

根據(jù)式(19)可得到正態(tài)分布下兩種概率下抽油桿的S-N曲線方程，對數(shù)坐標(biāo)和普通坐標(biāo)下的P-S-N曲線如圖5所示。

5 兩種模型對比

5.1 擬合優(yōu)度檢驗

為了驗證疲勞數(shù)據(jù)是否符合假定分布，需要進行擬合優(yōu)度檢驗，常用的檢驗方法有χ2檢驗法、克拉美法以及柯式檢驗法(K-S)等[26]。

采用K-S檢驗法檢驗疲勞試驗數(shù)據(jù)是否符合假定分布。試驗數(shù)據(jù)服從假定分布記為H0，不服從假定分布記為H1，F(xiàn)0(x)為分布函數(shù)，F(xiàn)n(x)為樣本累積頻率函數(shù)，即

(20)

式中，X(1)≤X(2)≤…≤X(n)為X(1)，…，X(n)按照升序排列后的次序統(tǒng)計量。

圖5 正態(tài)分布Basquin模型P-S-N曲線Fig.5 P-S-N curve of Basquin model with normal distribution

設(shè)D為F0(x)與Fn(x)差距的最大值，即D=max|Fn(x)-F0(x)|，當(dāng)實際觀測到D>D(n，α)時，拒絕H0假設(shè)；反之接受H0假設(shè)，其中D(n，α)可以通過K-S檢驗的臨界值表查得。

以HY型抽油桿應(yīng)力為500 MPa為例，5個試驗數(shù)據(jù)，因此取顯著水平α=0.05，查表可以得到臨界值D(5，0.05)=0.563。利用K-S檢驗計算結(jié)果如表3所示。

表3 K-S檢驗計算結(jié)果Table 3 K-S test calculation table

運用同樣的方法，檢驗基于正態(tài)分布模型得到D的最大值為0.325，小于臨界值，因此接受抽油桿疲勞壽命服從正態(tài)分布的假設(shè)，但是由于三參數(shù)威布爾分布的D更小，所以抽油桿疲勞壽命更加符合三參數(shù)威布爾分布。

5.2 擬合精度對比

對比圖4、5，基于三參數(shù)威布爾分布的疲勞壽命模型擬合得到的曲線彎曲度更好，與試驗數(shù)據(jù)更加貼合，基于正態(tài)分布的模型擬合得到的曲線和試驗數(shù)據(jù)貼合度較低。隨著應(yīng)力及失效概率減小，基于三參數(shù)威布爾分布的疲勞壽命模型擬合得到的曲線逐漸變得平緩，趨近于疲勞極限，所計算概率下的曲線離散度較低更加符合實際情況，基于正態(tài)分布的模型擬合得到的曲線離散度更高，在低失效概率下疲勞壽命預(yù)測值更加保守，在高失效概率下的疲勞壽命預(yù)測值更加危險。

計算得到兩種不同模型在可靠度為50%時的疲勞壽命，如表4所示。

由表4可以發(fā)現(xiàn)，基于正態(tài)分布Basquin模型計算得到的HL型、HY型抽油桿疲勞壽命與試驗誤差分別為12.50%和19.84%，基于三參數(shù)威布爾分布模型計算所得的疲勞壽命與試驗誤差平均值分別為1.25%和4.39%，擬合精度更高。

表4 兩種模型的疲勞壽命Table 4 Fatigue life of two models

6 結(jié) 論

(1)抽油桿疲勞試驗數(shù)據(jù)都符合威布爾分布和正態(tài)分布，相比正態(tài)分布，三參數(shù)威布爾分布擬合優(yōu)度更高。

(2)疲勞壽命預(yù)測結(jié)果表明，基于三參數(shù)威布爾分布得到的HL型和HY型抽油桿疲勞壽命誤差平均值分別為1.25%和4.39%，遠(yuǎn)低于基于正態(tài)分布Basquin模型的12.50%和19.84%，基于三參數(shù)威布爾分布的新模型擬合精度更高。

doi：10.7527/S1000-6893.2021.25138.