慣性耦合的三自由度導(dǎo)線舞動(dòng)穩(wěn)定性和慣性質(zhì)量防舞機(jī)理

溫作鵬，樓文娟，姜 雄，2

（1.浙江大學(xué)結(jié)構(gòu)工程研究所，浙江杭州 310058；2.杭蕭鋼構(gòu)股份有限公司，浙江杭州 310058）

引 言

導(dǎo)線舞動(dòng)是一種對(duì)輸電線路危害較大的失穩(wěn)振動(dòng)，準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識(shí)舞動(dòng)激發(fā)機(jī)理有助于防治舞動(dòng)。舞動(dòng)機(jī)理的研究最早是從單自由度系統(tǒng)開(kāi)始的，隨后的研究逐漸轉(zhuǎn)向二自由度、三自由度系統(tǒng)。早期的Den Hartog 舞動(dòng)機(jī)理［1］解釋了豎向單自由度系統(tǒng)的舞動(dòng)現(xiàn)象。豎向單自由度系統(tǒng)因其簡(jiǎn)單實(shí)用，廣泛用于許多舞動(dòng)研究中［2?3］。三自由度系統(tǒng)的舞動(dòng)問(wèn)題則較為復(fù)雜，涉及水平、豎向、扭轉(zhuǎn)三個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)，并且受到系統(tǒng)各向頻率、氣動(dòng)阻尼、氣動(dòng)剛度、慣性耦合等多重因素綜合影響。

目前的舞動(dòng)穩(wěn)定機(jī)理研究往往忽略了氣動(dòng)剛度或慣性耦合的作用［4?6］，但有研究表明，二者均可能對(duì)舞動(dòng)產(chǎn)生顯著影響。Yan 等［7］對(duì)考慮慣性耦合的三自由度系統(tǒng)進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)慣性耦合顯著改變了系統(tǒng)的舞動(dòng)穩(wěn)定性。伍川等［8］采用有限元方法研究導(dǎo)線舞動(dòng)，結(jié)果表明偏心覆冰作用下的導(dǎo)線舞動(dòng)幅值變大，舞動(dòng)形態(tài)更為復(fù)雜。但現(xiàn)有研究均未能解釋?xiě)T性耦合對(duì)舞動(dòng)的影響機(jī)理。樓文娟等［9?11］的研究則發(fā)現(xiàn)，氣動(dòng)剛度效應(yīng)能夠解釋試驗(yàn)中觀測(cè)到的舞動(dòng)風(fēng)速區(qū)間，表明氣動(dòng)剛度對(duì)舞動(dòng)穩(wěn)定判斷的重要性。

利用李雅普諾夫一次近似理論，可通過(guò)系統(tǒng)特征值實(shí)部正負(fù)判斷舞動(dòng)穩(wěn)定性。對(duì)于三自由度系統(tǒng)，其特征值一般難以給出準(zhǔn)確的解析解。但在舞動(dòng)問(wèn)題中，一般認(rèn)為結(jié)構(gòu)阻尼、氣動(dòng)阻尼、慣性耦合對(duì)特征頻率影響很小，可以視為小量，從而可采用小參數(shù)攝動(dòng)理論求得近似解析解，即矩陣特征值攝動(dòng)法［12］。利用該方法，Luongo 等［13］推導(dǎo)了平動(dòng)二自由度系統(tǒng)特征值的共振解和非共振解，但并未考慮氣動(dòng)剛度和慣性耦合。姜雄等［14?15］應(yīng)用矩陣攝動(dòng)法推導(dǎo)了三自由度系統(tǒng)覆冰輸電導(dǎo)線離散自振頻率下特征值實(shí)部一階攝動(dòng)解，據(jù)此分析了舞動(dòng)機(jī)理，但該攝動(dòng)解并不能反映慣性耦合的影響。

導(dǎo)線防舞裝置都是依據(jù)已有的舞動(dòng)機(jī)理設(shè)計(jì)出來(lái)的，但由于舞動(dòng)問(wèn)題的復(fù)雜性，目前對(duì)舞動(dòng)機(jī)理的認(rèn)識(shí)并不清晰，防舞裝置的應(yīng)用效果不盡如人意。若能獲得更加完備、準(zhǔn)確的系統(tǒng)特征值實(shí)部解析解，則可對(duì)舞動(dòng)機(jī)理有更準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，有助于改進(jìn)現(xiàn)有防舞器的控制策略，并發(fā)展出更加有效的防舞裝置。

慣性型防舞器是導(dǎo)線上廣泛應(yīng)用的一類(lèi)防舞裝置，包括雙擺防舞器、偏心重錘、失諧擺、壓重等［16?17］。這類(lèi)防舞器通過(guò)對(duì)導(dǎo)線附加慣性質(zhì)量，改變導(dǎo)線結(jié)構(gòu)特性以抑制舞動(dòng)。雙擺防舞器通過(guò)運(yùn)動(dòng)方程的Hurwith 穩(wěn)定性判據(jù)來(lái)判斷舞動(dòng)穩(wěn)定狀態(tài)，但這種數(shù)值判據(jù)方法缺乏對(duì)防舞機(jī)理的分析，而實(shí)際運(yùn)行中雙擺防舞器在某些氣象條件下的控制效果并不好。因此，研究附加慣性質(zhì)量對(duì)于結(jié)構(gòu)舞動(dòng)穩(wěn)定性的影響機(jī)理具有重要意義。

本文針對(duì)具有離散自振頻率的三自由度系統(tǒng)，采用修正的矩陣一階攝動(dòng)解方法推導(dǎo)了同時(shí)考慮慣性耦合及氣動(dòng)剛度的特征值實(shí)部修正解。以某D 形覆冰六分裂導(dǎo)線為例，驗(yàn)證該修正解的準(zhǔn)確性?；谠撔拚?，分析附加質(zhì)量對(duì)舞動(dòng)穩(wěn)定性影響的機(jī)理，并對(duì)輸電線路常用的雙擺防舞器的控制效果及適用性進(jìn)行檢驗(yàn)。

1 含附加質(zhì)量的導(dǎo)線三自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

取一段含附加質(zhì)量的導(dǎo)線微元，長(zhǎng)度為ds，簡(jiǎn)化的三自由度模型如圖1所示。設(shè)導(dǎo)線自身的彈性中心與質(zhì)量中心重合，記為O點(diǎn)，m，J分別為單位長(zhǎng)度導(dǎo)線質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；設(shè)共有np個(gè)附加質(zhì)量，mpi，Jpi分別為第i個(gè)附加質(zhì)量的單位長(zhǎng)度質(zhì)量及其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Rpi，αpi分別為附加質(zhì)量中心與中心O的連線距離、連線的偏心角；R為截面等效半徑，水平來(lái)流風(fēng)速大小為U；ky，kz，kθ分別為單位長(zhǎng)度豎向、水平向和扭轉(zhuǎn)向剛度；記位移向量為U=[v，w，θ]T，v，w，θ分別為豎向、水平向、扭轉(zhuǎn)向位移。

圖1 含附加質(zhì)量的導(dǎo)線三自由度模型Fig.1 3-DOF conductor model with additional mass

對(duì)非線性風(fēng)荷載Fw關(guān)于結(jié)構(gòu)速度、位移項(xiàng)進(jìn)行泰勒展開(kāi)并保留一階項(xiàng)，去除平均風(fēng)荷載后，運(yùn)用拉格朗日第二運(yùn)動(dòng)方程，并作無(wú)量綱和歸一化處理［9］，可求得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程：

式中s為導(dǎo)線微元沿導(dǎo)線軸向的坐標(biāo)；sp為附加質(zhì)量沿導(dǎo)線軸向的坐標(biāo)；δ為狄拉克函數(shù)分別為原系統(tǒng)、附加質(zhì)量的質(zhì)量矩陣；分別為結(jié)構(gòu)阻尼、氣動(dòng)阻尼的矩陣；分別為結(jié)構(gòu)剛度、氣動(dòng)剛度、附加質(zhì)量重力剛度的矩陣。

以上為針對(duì)導(dǎo)線微元建立的運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)于整檔導(dǎo)線這樣的連續(xù)系統(tǒng)，采用假設(shè)模態(tài)法，令：

式中 假設(shè)第j階振型為?j=sin(jπs/L)，n為振型數(shù)量，L為導(dǎo)線檔距，qvj，qwj，qθj分別為豎向、水平、扭轉(zhuǎn)廣義位移。

對(duì)式（1）乘以?j并沿導(dǎo)線軸向積分可得：

式中各項(xiàng)的表達(dá)式為：

?p為附加質(zhì)量位置的振型位移；；g為重力加速度；ξy，ξz，ξθ分別為豎向、水平、扭轉(zhuǎn)向模態(tài)阻尼比；N為導(dǎo)線分裂數(shù)；ρ為空氣密度；D為導(dǎo)線直徑；CL，CD，CM分別為初始風(fēng)攻角α0時(shí)導(dǎo)線整體的升力、阻力和扭矩系數(shù)；C′L，C′D，C′M為前述系數(shù)關(guān)于風(fēng)攻角導(dǎo)數(shù)。

對(duì)于單導(dǎo)線，Ca矩陣第三列相關(guān)項(xiàng)表達(dá)式為：

對(duì)于分裂數(shù)為N的多分裂導(dǎo)線，記sk=sin(α0+αck)，ck=cos(α0+αck)，αck為第k根子導(dǎo)線在多分裂導(dǎo)線截面的方位角。參考郭應(yīng)龍等［16］給出的表達(dá)式，Ca矩陣第三列相關(guān)項(xiàng)表達(dá)式為：式中CLk，CDk，CMsk分別為第k根子導(dǎo)線的升力、阻力和扭矩系數(shù)；C′Lk，C′Dk，C′Msk為前述系數(shù)關(guān)于風(fēng)攻角的導(dǎo)數(shù)。

2 三自由度系統(tǒng)特征值實(shí)部修正攝動(dòng)解

通過(guò)矩陣一階攝動(dòng)法推得的特征值實(shí)部能夠體現(xiàn)氣動(dòng)阻尼、氣動(dòng)剛度的貢獻(xiàn)［14］，但無(wú)法體現(xiàn)慣性耦合的貢獻(xiàn)。通過(guò)矩陣二階攝動(dòng)法［12］得到的特征值實(shí)部理論上能反映慣性耦合的作用，但二階攝動(dòng)法的計(jì)算較為復(fù)雜，難以獲得實(shí)用的表達(dá)式。在文獻(xiàn)［9］的基礎(chǔ)上，本文提出一種修正的攝動(dòng)解方法，使得一階攝動(dòng)的特征值實(shí)部能反映慣性耦合的作用。

根據(jù)特征值攝動(dòng)理論，當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生微小變化時(shí)，結(jié)構(gòu)參數(shù)可描述為零階項(xiàng)（初始值）與一階項(xiàng)（變化值）之和。按照文獻(xiàn)［9］的取法，式（4）中系統(tǒng)質(zhì)量、剛度、阻尼的矩陣分別表示為：零階項(xiàng)：

一階項(xiàng)：

式中 ε 為小參數(shù)。

式（4）的特征方程滿足：

式中λi為第i個(gè)特征值，可表示為按ε展開(kāi)的冪級(jí)數(shù)：

根據(jù)矩陣攝動(dòng)法，λi的一階攝動(dòng)解為［9］：

式中vi，0，ui，0為左、右特征向量；記結(jié)合豎向零階特征值λ1，0=i 由式（11）可得豎向一階特征值的實(shí)部、虛部分別為：

可見(jiàn)附加質(zhì)量對(duì)豎向一階特征值的影響僅體現(xiàn)在其虛部中，而在實(shí)部未有體現(xiàn)，即，豎向一階特征值無(wú)法反映附加質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

下面采用修正的矩陣一階攝動(dòng)解方法求特征值實(shí)部。將εM1視為零階質(zhì)量矩陣的一部分，得修正的零階質(zhì)量矩陣為：

在此基礎(chǔ)上，通過(guò)小參數(shù)展開(kāi)法求解零階矩陣的特征方程，并忽略高階小量，得修正的零階特征值為：

通過(guò)可求得修正的零階左、右特征向量為：

根據(jù)特征向量的正交關(guān)系，有［15］：

式中 項(xiàng)①對(duì)應(yīng)的-c11/2 項(xiàng)即單自由度系統(tǒng)的特征值實(shí)部［9］，項(xiàng)①+②對(duì)應(yīng)原攝動(dòng)解的表達(dá)式（12）［9］；修正攝動(dòng)解Re()是在原攝動(dòng)解Re(λ1)的基礎(chǔ)上，新增了慣性耦合相關(guān)的附加項(xiàng)③和④，并且項(xiàng)③和④同時(shí)還包含氣動(dòng)阻尼、氣功剛度，可見(jiàn)慣性耦合作用是與氣動(dòng)力系數(shù)密切相關(guān)的；附加平動(dòng)質(zhì)量m11p與項(xiàng)①+②相乘，其作用在于縮放了原攝動(dòng)解的數(shù)值。此外，假如視附加質(zhì)量為一階小量，則項(xiàng)③和④均為二階小量，這也解釋了式（12）的特征值實(shí)部解為何只包含氣動(dòng)阻尼項(xiàng)，而不含附加質(zhì)量項(xiàng)，因?yàn)楦郊淤|(zhì)量項(xiàng)僅出現(xiàn)在被舍去的二階小量中。

同上，可得水平向特征值實(shí)部為：

pz的表達(dá)式可由py中各角標(biāo)1 全部置換為2 得到，便不在此給出。

扭轉(zhuǎn)向特征值實(shí)部也可通過(guò)上述方法得到，但由于扭轉(zhuǎn)向與兩個(gè)平動(dòng)方向均存在耦合，推導(dǎo)過(guò)程較為復(fù)雜，這里采用一種簡(jiǎn)便方法。記矩陣A為：

式中 I 為單位矩陣。給出以下3 個(gè)條件：1）本文所求特征值等價(jià)為矩陣A的特征值［15］；2）矩陣A所有特征值之和等于矩陣的跡tr（A）；3）特征方程的復(fù)數(shù)根成對(duì)出現(xiàn)且互為共軛復(fù)數(shù)。根據(jù)這些條件，扭轉(zhuǎn)向特征值實(shí)部可表示為：

由式（17），（18）和（20）可知，特征值實(shí)部中涉及多個(gè)慣性耦合相關(guān)項(xiàng)，表達(dá)式較為復(fù)雜，這表明慣性耦合大大增加了舞動(dòng)穩(wěn)定問(wèn)題的復(fù)雜性。但是可以注意到，與包含有正弦、余弦項(xiàng)，意味著當(dāng)附加質(zhì)量位于原系統(tǒng)水平中心線或豎向中心線上，豎向或水平向的特征值可以得到簡(jiǎn)化，這能為舞動(dòng)穩(wěn)定性判斷提供相對(duì)簡(jiǎn)單的依據(jù)。

3 修正攝動(dòng)解的驗(yàn)證

3.1 算例參數(shù)

如圖2所示，以D 形覆冰六分裂導(dǎo)線為例進(jìn)行算例分析。導(dǎo)線氣動(dòng)力參數(shù)參見(jiàn)文獻(xiàn)［18］，結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表1。需要說(shuō)明的是，對(duì)于多分裂導(dǎo)線，覆冰一般在截面圓周的各子導(dǎo)線上都有分布，且子導(dǎo)線分裂半徑遠(yuǎn)大于覆冰厚度，故在非重覆冰情況下慣性耦合效應(yīng)較為微弱。而慣性型防舞器的質(zhì)量一般集中在導(dǎo)線圓截面上某一側(cè)，慣性耦合效應(yīng)較強(qiáng)。因此可以認(rèn)為覆冰的慣性耦合效應(yīng)相比于防舞器可以忽略。另外，假設(shè)導(dǎo)線為單一模態(tài)振動(dòng)，附加質(zhì)量設(shè)在導(dǎo)線跨中，則?p=1。定義附加質(zhì)量的質(zhì)量比為：

表1 D 形覆冰六分裂導(dǎo)線參數(shù)Tab.1 Parameters of the 6-bundled conductor with D-shaped icing

圖2 D 形覆冰六分裂導(dǎo)線Fig.2 6-bundled conductor with D-shaped icing

在單自由度系統(tǒng)的假設(shè)下，式（6）的對(duì)應(yīng)扭轉(zhuǎn)向氣動(dòng)阻尼。易知若各子導(dǎo)線的氣動(dòng)力?風(fēng)攻角曲線相同，中正余弦相關(guān)項(xiàng)為零，此時(shí)滿足3CD+C′L的形式。與Den Hartog 系數(shù)CD+C′L比較易知，3CD+C′L<0的風(fēng)攻角范圍顯著小于CD+C′L<0的風(fēng)攻角范圍。一般情況下各子導(dǎo)線氣動(dòng)力曲線之間差異不會(huì)很大，因此可認(rèn)為多分裂導(dǎo)線的豎向激發(fā)舞動(dòng)占主導(dǎo)情況，扭轉(zhuǎn)向激發(fā)舞動(dòng)較少發(fā)生。由圖3可知，對(duì)于該D 形覆冰六分裂導(dǎo)線，CD+C′L<0 的范圍主要為67°～79°，138°～180°，而在全風(fēng)攻角范圍內(nèi)大于0。因此對(duì)于該多分裂導(dǎo)線，只需重點(diǎn)關(guān)注其豎向激發(fā)的舞動(dòng)。

圖3 氣動(dòng)力相關(guān)參數(shù)曲線Fig.3 Aerodynamic coefficients

3.2 驗(yàn) 證

下面以單個(gè)附加質(zhì)量為例，默認(rèn)取質(zhì)量比為0.1，偏心角為30o，特征值實(shí)部修正攝動(dòng)解與數(shù)值解的比較如圖4（a）所示。由圖可知，三個(gè)方向的修正攝動(dòng)解總體上與數(shù)值解吻合良好，在高風(fēng)速下開(kāi)始逐漸偏離。圖4（b）對(duì)豎向特征值實(shí)部的數(shù)值解、單自由度解、原攝動(dòng)解Re(λ1)、修正攝動(dòng)解Re()進(jìn)行比較。其中單自由度解指的單自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的特征值實(shí)部［9］，與傳統(tǒng)的Den Hartog 舞動(dòng)機(jī)理是一致的。如圖4（b）所示，單自由度解在8 m/s 風(fēng)速左右開(kāi)始顯著偏離數(shù)值解，攝動(dòng)解在13 m/s 左右顯著偏離數(shù)值解，而修正攝動(dòng)解在20 m/s 以?xún)?nèi)都吻合良好。需要說(shuō)明的是，在不同氣動(dòng)力條件下，各近似解與數(shù)值解的誤差情況均不相同。由式（17）可知，誤差取決于表達(dá)式中附加項(xiàng)的大小。這些附加項(xiàng)在推導(dǎo)過(guò)程中被視為小量，但若高風(fēng)速下氣動(dòng)負(fù)剛度過(guò)于顯著而使分母接近零，則誤差會(huì)明顯增大。

圖4 特征值近似解與數(shù)值解的比較（風(fēng)攻角76o）Fig.4 Approximate solutions and numerical solution of eigen value real parts（76°attack angle）

圖5給出了0°～180°風(fēng)攻角下豎向特征值實(shí)部數(shù)值解、原攝動(dòng)解Re(λ1)、修正攝動(dòng)解Re()的比較。如圖5所示，在大部分風(fēng)攻角區(qū)域，修正攝動(dòng)解的精度均顯著高于攝動(dòng)解。而在某些風(fēng)攻角下，兩種攝動(dòng)解與數(shù)值解均較為接近，這表明慣性耦合的影響在該風(fēng)速下并不顯著。由于慣性耦合項(xiàng)與氣動(dòng)剛度、氣動(dòng)阻尼參數(shù)是密切相關(guān)的，因此慣性耦合能發(fā)揮多大的作用與具體的氣動(dòng)力參數(shù)相關(guān)。

圖5 豎向特征值實(shí)部隨風(fēng)攻角的變化（風(fēng)速20 m/s）Fig.5 Variation of vertical eigenvalue real part with attack angle（U=20 m/s）

4 附加質(zhì)量的防舞機(jī)理分析

4.1 附加質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

如式（17）所示，考慮慣性耦合的攝動(dòng)解表達(dá)式很復(fù)雜，涉及多個(gè)氣動(dòng)剛度項(xiàng)、氣動(dòng)阻尼項(xiàng)，因此難以直接利用式（17）對(duì)導(dǎo)線舞動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析。但自然界中有一些覆冰是形成于導(dǎo)線的正下方，而一些常用的導(dǎo)線防舞裝置的質(zhì)心也是位于導(dǎo)線的正下方，如失諧擺、雙擺防舞器等。在這種情況下，式（17）中m31p=0，豎向?扭轉(zhuǎn)的慣性耦合作用消失，則特征值實(shí)部表達(dá)式得以大大簡(jiǎn)化，為舞動(dòng)穩(wěn)定分析提供方便。

取m31p=0，附加質(zhì)量后與原系統(tǒng)的的特征值實(shí)部之差為：

式中i=1，2，…，np。注意上式中m11p相關(guān)項(xiàng)已經(jīng)被忽略，因?yàn)樵谖鑴?dòng)臨界風(fēng)速附近，與m11p相乘的阻尼項(xiàng)接近0，對(duì)臨界風(fēng)速影響很小。由式（22）可知，附加質(zhì)量前后，特征值實(shí)部改變量主要由兩項(xiàng)組成：含m32p的慣性耦合項(xiàng)、含kg的重力剛度項(xiàng)。將m32p，kg表達(dá)式代入式（22），則式（22）可等價(jià)表達(dá)為：

由式（23）可知，慣性耦合、重力剛度這兩項(xiàng)均存在與氣動(dòng)力參數(shù)的耦合，包括C′L，C′M，CL-C′D等。因此可以推斷附加質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)舞動(dòng)穩(wěn)定性的影響強(qiáng)烈依賴(lài)于具體的氣動(dòng)力條件。此外，慣性耦合、重力剛度項(xiàng)均與k13a這個(gè)氣動(dòng)剛度項(xiàng)相乘，可以推斷這兩項(xiàng)在高風(fēng)速下可能會(huì)發(fā)揮顯著作用。

式（22）和（23）表明，在附加質(zhì)量引起的慣性耦合與重力剛度作用下，系統(tǒng)的特征值實(shí)部可能發(fā)生顯著改變，從而引起系統(tǒng)舞動(dòng)穩(wěn)定狀態(tài)的變化。利用這一特性，可以使用附加質(zhì)量對(duì)導(dǎo)線結(jié)構(gòu)的舞動(dòng)進(jìn)行抑制。

4.2 雙擺防舞器控制效果

雙擺防舞器是目前在多分裂導(dǎo)線上應(yīng)用廣泛的防舞裝置，其通過(guò)提高導(dǎo)線的動(dòng)力穩(wěn)定性以實(shí)現(xiàn)防舞的效果。雙擺防舞器的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)如圖6所示，兩個(gè)擺錘質(zhì)量相等，沿豎向中心線對(duì)稱(chēng)布置。該裝置的設(shè)計(jì)優(yōu)化一般針對(duì)少數(shù)特定的風(fēng)攻角進(jìn)行，若選取合適的防舞器參數(shù)，則可以有效控制線路舞動(dòng)。但從工程應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，若實(shí)際冰風(fēng)條件超過(guò)設(shè)計(jì)范圍，則線路仍可能發(fā)生舞動(dòng)，這與雙擺防舞器防舞機(jī)理不夠明確有一定關(guān)系。本文將從特征值實(shí)部正負(fù)的角度對(duì)雙擺防舞器的防舞機(jī)理與控制效果進(jìn)行分析。

圖6 雙擺防舞器簡(jiǎn)化示意圖Fig.6 Schematic of double pendulum anti-galloping device

以文中D 形覆冰六分裂導(dǎo)線為例對(duì)雙擺防舞器的控制效果進(jìn)行計(jì)算。設(shè)定風(fēng)攻角為76o，防舞器的質(zhì)量比為0.1，以舞動(dòng)臨界風(fēng)速為優(yōu)化目標(biāo)對(duì)偏心角αp、擺長(zhǎng)Rp參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后偏心角定為30o，擺長(zhǎng)為700 mm。相關(guān)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖7和8 。

如圖7（a）所示，76o風(fēng)攻角下，附加質(zhì)量后豎向特征值實(shí)部在風(fēng)速大于10 m/s 的區(qū)間顯著下降，臨界風(fēng)速?gòu)?.5 m/s 提升為15.5 m/s。圖7（b）給出式（23）中重力剛度項(xiàng)與慣性耦合項(xiàng)的曲線，可以發(fā)現(xiàn)二者均為負(fù)數(shù)，大小處于同一量級(jí)，并且數(shù)值在10 m/s 風(fēng)速以上變得顯著。因此式（23）的重力剛度項(xiàng)與慣性耦合項(xiàng)可以用來(lái)解釋附加質(zhì)量后系統(tǒng)特征值實(shí)部顯著下降的現(xiàn)象。

采用Newmark?β 法計(jì)算該三自由度導(dǎo)線結(jié)構(gòu)響應(yīng)時(shí)程，如圖7（c）和（d）所示，在13 m/s 風(fēng)速下，未受控結(jié)構(gòu)在約90 s 時(shí)進(jìn)入穩(wěn)定舞動(dòng)狀態(tài)，而受控結(jié)構(gòu)并不舞動(dòng)?？梢?jiàn)附加的質(zhì)量使得系統(tǒng)特征值實(shí)部由正變?yōu)樨?fù)，從而使結(jié)構(gòu)從原先的舞動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)闅鈩?dòng)穩(wěn)定狀態(tài)，有效抑制了舞動(dòng)。

圖7 在76°風(fēng)攻角下結(jié)構(gòu)受控前后變化Fig.7 Comparison of controlled and uncontrolled structure at 76°attack angle

附加質(zhì)量對(duì)于舞動(dòng)的控制效果實(shí)際上取決于具體的氣動(dòng)力參數(shù)。保持原76o風(fēng)攻角下設(shè)計(jì)的雙擺防舞器參數(shù)不變，對(duì)167o風(fēng)攻角下的控制效果進(jìn)行計(jì)算。如圖8（a）所示，原結(jié)構(gòu)的特征值實(shí)部曲線始終小于0，而附加質(zhì)量后，受控結(jié)構(gòu)的特征值實(shí)部在高風(fēng)速區(qū)域顯著抬升并且由負(fù)變正，臨界風(fēng)速為10.1 m/s。圖8（b）表明，重力剛度項(xiàng)、慣性耦合項(xiàng)的曲線數(shù)值均大于0。因此對(duì)于同樣的雙擺防舞器參數(shù)，當(dāng)風(fēng)攻角從67o變?yōu)?67o時(shí)，式（23）的C′L，C′M，CL-C′D等氣動(dòng)力參數(shù)發(fā)生相應(yīng)改變，重力剛度項(xiàng)、慣性耦合項(xiàng)起到了增大特征值實(shí)部的作用，使結(jié)構(gòu)趨向于氣動(dòng)失穩(wěn)。

圖8 在167°風(fēng)攻角下結(jié)構(gòu)受控前后變化Fig.8 Comparison of controlled and uncontrolled structure at 167°oattack angle

由圖8（c）和（d）結(jié)構(gòu)位移時(shí)程可知，在15 m/s風(fēng)速下，未受控結(jié)構(gòu)并未發(fā)生舞動(dòng)，而受控結(jié)構(gòu)發(fā)生了大幅度舞動(dòng)?？梢?jiàn)在167o風(fēng)攻角下，所施加的雙擺防舞器能夠使導(dǎo)線結(jié)構(gòu)從原先的穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槲鑴?dòng)激發(fā)狀態(tài)，這與特征值實(shí)部計(jì)算結(jié)果一致。

綜上所述，借助慣性耦合、重力剛度的作用，針對(duì)某風(fēng)攻角優(yōu)化設(shè)計(jì)的雙擺防舞器能夠在該條件下有效地抑制舞動(dòng)。但若風(fēng)攻角及其氣動(dòng)力條件發(fā)生改變，雙擺防舞器可能失去效果，甚至使原本穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)發(fā)生舞動(dòng)。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)具有離散自振頻率的三自由度系統(tǒng)，采用修正的矩陣一階攝動(dòng)解方法推導(dǎo)了考慮慣性耦合及氣動(dòng)剛度的特征值實(shí)部修正解。以某D 形覆冰六分裂導(dǎo)線為例，通過(guò)與數(shù)值解對(duì)比以驗(yàn)證該修正解的準(zhǔn)確性?；谠撔拚猓治隽烁郊淤|(zhì)量對(duì)舞動(dòng)穩(wěn)定性影響的機(jī)理，并對(duì)輸電線路常用的雙擺防舞器的控制效果進(jìn)行計(jì)算。結(jié)論如下：

1）該修正解相較于原攝動(dòng)解，附加了水平?豎向、豎向?扭轉(zhuǎn)這兩種慣性耦合項(xiàng)，且慣性耦合作用與氣動(dòng)力參數(shù)密切相關(guān)。與數(shù)值解的對(duì)比表明，該修正解能夠較準(zhǔn)確地反映附加質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

2）考慮慣性耦合時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷式較為復(fù)雜，但當(dāng)附加質(zhì)量關(guān)于導(dǎo)線豎向中心線對(duì)稱(chēng)時(shí)，僅需考慮水平?扭轉(zhuǎn)慣性耦合作用，豎向特征值實(shí)部的表達(dá)式大為簡(jiǎn)化，可用于舞動(dòng)穩(wěn)定分析。

3）對(duì)修正解的分析表明，附加質(zhì)量主要通過(guò)重力剛度、慣性耦合影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這種影響與具體的氣動(dòng)力參數(shù)相關(guān)。通過(guò)該修正解可以分析導(dǎo)線舞動(dòng)與慣性質(zhì)量防舞的機(jī)理，為防舞器設(shè)計(jì)優(yōu)化提供指導(dǎo)。

4）對(duì)雙擺防舞器的計(jì)算表明，針對(duì)某風(fēng)攻角優(yōu)化設(shè)計(jì)的防舞器能有效抑制舞動(dòng)；但若風(fēng)攻角及氣動(dòng)力條件發(fā)生改變，則防舞器可能喪失控制效果，甚至使原本氣動(dòng)穩(wěn)定的線路發(fā)生舞動(dòng)。