基于量子概率理論的出行方式選擇模型研究

王鈺涵，趙傳林，孫淑敏，賀少松

(北京建筑大學(xué) 土木與交通工程學(xué)院，北京 102616)

隨機(jī)效用最大化模型已主導(dǎo)出行選擇建模數(shù)十年，但其不能充分解釋行為復(fù)雜性，這一不足使人們不斷探索新的建模方法?；谛в米畲蠡碚摰姆羌嫸囗?xiàng)Logit模型因其概念明確、計算方便的特點(diǎn)，逐漸成為目前出行方式選擇研究領(lǐng)域中運(yùn)用最為廣泛的方法，但模型要求出行者選擇結(jié)果的影響因素彼此之間應(yīng)無相互影響，這在現(xiàn)實(shí)條件下難以滿足。其他擴(kuò)展研究成果如后悔最小化理論、決策場理論等選擇模型也未撼動隨機(jī)效用最大化模型的主導(dǎo)地位。

綜上分析，量子概率的思想跳出了效用最大化和后悔最小化理論的框架，不是通過在模型中加入效用函數(shù)的隨機(jī)抽樣來產(chǎn)生概率輸出，而是運(yùn)用量子理論解決認(rèn)知、決策過程中的不確定性問題，實(shí)現(xiàn)了對個體決策過程隨機(jī)性的描述。已有研究者通過試驗(yàn)研究證明，人類的決策行為其實(shí)就是量子行為，但目前國內(nèi)并未有將量子概率理論應(yīng)用到出行方式選擇模型問題方面的研究。本文在介紹幾何類量子概率模型基礎(chǔ)上，結(jié)合對模型參數(shù)的敏感性分析，討論出行方式選擇問題。

1 量子概率模型

1999年，物理學(xué)家通過延遲選擇量子擦除試驗(yàn)證明：任何一種基本的量子現(xiàn)象，只有在其被記錄之后才是一種現(xiàn)象，在沒有完成試驗(yàn)之前，光子的位置和狀態(tài)無法確定，依然處于疊加態(tài)中。據(jù)此，在傳統(tǒng)出行方式預(yù)測模型中，依據(jù)人們對交通方式的選擇傾向預(yù)測最終選擇結(jié)果是不準(zhǔn)確的，因?yàn)槌鲂姓咴谖醋龀鰶Q定前，這個傾向便不能被記錄，存在不確定性，人類的推理、決策過程并不能完全刻板遵循古典概率理論。因此，引入量子概率理論可合理描述一種不確定的狀態(tài)，稱為疊加態(tài)，這就在出行者決策的建模過程中引入了不確定性。同時，在量子概率理論中，系統(tǒng)狀態(tài)以波函數(shù)表示，只要沒有觀測者，波函數(shù)將根據(jù)薛定諤方程平滑確定性地演化，一旦發(fā)生觀測事件，波函數(shù)便坍縮成某一觀測結(jié)果，坍縮本身的結(jié)果是隨機(jī)的，波函數(shù)會給每種可能發(fā)生的結(jié)果分配數(shù)值，這種特質(zhì)為實(shí)現(xiàn)個體決策者頭腦中決策過程的隨機(jī)性提供了可能。

1.1 量子概率基本思想

量子概率是在量子力學(xué)中引入概率概念，量子概率與古典概率既有聯(lián)系又有區(qū)別。在古典概率框架中，概率值是通過大量實(shí)踐和總結(jié)或推論之后得出的，而在量子概率理論下，人們的信念-行動狀態(tài)由希爾伯特空間中的向量描述。希爾伯特空間是歐幾里得空間的推廣，可視為“無限維的歐幾里得空間”，其不再局限于有限維的情形，是量子力學(xué)的關(guān)鍵性概念和描述量子物理的基本工具之一。

從數(shù)學(xué)形式來看，量子概率不是直接把古典概率論中的概率改寫成復(fù)數(shù)形式，而是引入了一個新量ψ，稱為概率幅，可被認(rèn)為是古典概率在復(fù)數(shù)域的擴(kuò)展，其在描述粒子的量子行為和位置時又被稱為波函數(shù)，具體形式如式(1)：

ψ=ψ(a,b,c,t)

(1)

式(1)表示，時刻t在點(diǎn)(a,b,c)附近單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率。

在古典概率論中，隨機(jī)事件X的可能取值為x1,x2,x3,…,xi，其中i∈N*，相應(yīng)的概率為p1,p2,p3,…,pi，這些概率可表示X的概率分布。在量子系統(tǒng)中，隨機(jī)事件X的可能取值為|x1〉,|x2〉,|x3〉,…|xj〉，將概率定義為復(fù)數(shù)形式ψ1,ψ2,ψ3,…,ψj，其中j∈N*，由于在量子概率體系中，事件對應(yīng)于希爾伯特空間，因此通常將概率分布寫為向量的形式，表示最終結(jié)果由多個狀態(tài)疊加而成：

ψ(x)=ψ1|x1〉+ψ2|x2〉+ψ3|x3〉+…+ψj|xj〉

(2)

或

|X〉=ψ1|x1〉+ψ2|x2〉+ψ3|x3〉+…+ψj|xj〉

(3)

其中一系列隨機(jī)事件的可能取值|x1〉,|x2〉,|x3〉,…|xj〉可看作是j維空間的基向量，也就是坐標(biāo)軸，ψ1,ψ2,ψ3,…,ψj可認(rèn)為是每個維度上的坐標(biāo)。

2個子空間LA、LB各由1組表示所測量事件可能選項(xiàng)的向量單獨(dú)定義，即子空間LA由{|x1〉,|x2〉}定義，子空間LB由{|y1〉,|y2〉}定義，由于|x1〉和|x2〉是事件A的不兼容的取值，所以兩者可用相互垂直的標(biāo)準(zhǔn)正交向量表示，同理|y1〉和|y2〉也可用相互垂直的標(biāo)準(zhǔn)正交向量表示，φ是2個子空間坐標(biāo)的夾角，這些標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成坐標(biāo)軸，分別兩兩構(gòu)成一個平面，如圖1所示。

圖1 事件在希爾伯特空間的表示Fig.1 Representation of events in Hilbert space

其中對于事件A有2個選項(xiàng)，事件B也有2個選項(xiàng)，信念-狀態(tài)向量在子空間LA、LB的坐標(biāo)軸上產(chǎn)生的投影長度分別為ψA1,ψA2,ψB1,ψB2,在不同子空間中可能選項(xiàng)發(fā)生的概率值由投影長度與其自身的復(fù)共軛的乘積表示，即

(4)

式中：*代表互為共軛。

如果投影結(jié)果為實(shí)數(shù)，則概率表示為平方值：

PA1=|ψA1|2

PA2=|ψA2|2

PB1=|ψB1|2

PB2=|ψB2|2

(5)

在第一個子空間中，信念-狀態(tài)向量表示為：

ψA(x)=ψA1|x1〉+ψA2|x2〉

(6)

在第二個子空間中，信念-狀態(tài)向量表示為：

ψB(y)=ψB1|y1〉+ψB2|y2〉

(7)

其中：

(8)

由式(6)～式(8)可以看出，ψA(x)和ψB(y)就是同一個向量在不同坐標(biāo)中的不同表示方法。由上述過程可知，事件A與事件B具有某種聯(lián)系，因此A的概率分布與B的概率分布會相互影響，最終的選擇結(jié)果是由A和B共同作用的。

1.2 幾何類量子模型

1.2.1 通用模型

在希爾伯特空間中研究量子概率問題時，可根據(jù)情景需要推廣出無限個多維子空間。每個子空間由1組表示每個測量事件選項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)正交向量單獨(dú)定義，這些標(biāo)準(zhǔn)正交向量形成子空間的一組基，可將其理解為代表不同選項(xiàng)的坐標(biāo)軸。信念-狀態(tài)向量在坐標(biāo)軸上的投影代表了選擇每一個選項(xiàng)的潛在動機(jī)，其長度的平方就是該選項(xiàng)對應(yīng)的概率值，因此，概率值可通過幾何形式被直接觀測。在有n個m維子空間的希爾伯特空間的幾何類量子通用模型如式(9)：

(9)

式中：i=1,2,3…,m；Pi代表一個子空間中每個可能選項(xiàng)發(fā)生的概率值。

(10)

式中：P(ζ)為某個決策選項(xiàng)發(fā)生的最終概率值。

值得注意的是，因?yàn)樽涌臻g的維度代表了所研究的每個問題可能存在的選項(xiàng)，故每個子空間的維度可以是不相同的。為了便于研究，假設(shè)每個問題可能存在的選項(xiàng)數(shù)量相同，即子空間維度都為m；對于問題可選選項(xiàng)數(shù)量不等的情況，即子空間維度數(shù)不相同，今后會進(jìn)一步展開討論。

1.2.2 汽車-火車選擇模型

基于量子概率，幾何類量子模型連續(xù)二值選擇如圖2所示。由于包含汽車和火車2個選項(xiàng)，故模型可以由子空間為二維的希爾伯特空間描述。

圖2 連續(xù)二值選擇的示意Fig.2 Schematic representation of two consecutive binary choices

如圖2所示，決策者選擇汽車還是火車具有初始信念狀態(tài)。在這個測量事件中，所有可能的狀態(tài)都是由基向量|xcar〉，|xtrain〉表示，即初始信念狀態(tài)可表示為：

|Z〉=ψC1|xcar〉+ψT1|xtrain〉

(11)

式中：ψC1和ψT1分別表示初始信念狀態(tài)向量在2個坐標(biāo)軸上的投影長度，是正常數(shù)；|xcar〉和|xtrain〉分別表示選擇汽車和火車2個向量?？上胂?個既不是選汽車也不是選火車的狀態(tài)，在疊加原理作用下作出決策，決策者狀態(tài)的向量越接近某個基向量，信念狀態(tài)向量在坐標(biāo)軸上的投影長度便越長，得到振幅模的平方越大，該方案被選擇的可能性也就越大。

若決策者先被詢問一個預(yù)備問題(如，問是否傾向于選擇環(huán)保型出行方式，或問是否傾向于選擇更自由的出行方式等)，在新問題的視角下，初始信念狀態(tài)雖不會改變，但向量參照系發(fā)生了變化，即在預(yù)備問題Y中選擇備選項(xiàng)的概率與在初始問題X中選擇的概率不同。新的問題Y由一組基向量|y1〉，|y2〉表示，若決策者做出問題Y中的y1選擇，則其信念狀態(tài)穿過希爾伯特空間，投射到向量|y1〉，此時|y1〉成為新的狀態(tài)向量，這會在基向量|xcar〉，|xtrain〉上投射出與初始信念狀態(tài)不同的振幅。由于量子系統(tǒng)的狀態(tài)空間是線性空間，可以讓任意2個狀態(tài)疊加得到新的狀態(tài)，故根據(jù)通用模型可以寫出最終選擇火車的概率：

(12)

選擇小汽車的概率：

(13)

并且：

(14)

相較于初始信念狀態(tài)下2種方式的選擇概率，受到新問題影響干擾后，選擇火車或小汽車的概率也隨之改變。也就是說，量子概率模型可解釋不同問題順序、干擾項(xiàng)和情境效應(yīng)等的試驗(yàn)結(jié)果，展示了隨機(jī)效用理論不具備的優(yōu)點(diǎn)。

2 敏感性分析

本文假設(shè)在合適的中長途出行中，火車與汽車的成本差距不大，故而不考慮出行成本問題。為驗(yàn)證不同初始信念狀態(tài)下預(yù)備問題對火車和小汽車選擇概率的影響，對模型進(jìn)行敏感性分析，不同情景模擬取值情況見表1。

表1 不同情景模擬取值情況Table 1 Values of different scenarios simulation

表1中，預(yù)備問題即在決策者做出“汽車或者火車”選擇之前會被問及的問題；初始信念狀態(tài)為決策者沒有受到預(yù)備問題干擾時的對“汽車”和“火車”的初始選擇偏好；※代表決策者支持此選項(xiàng)；φ表示初始坐標(biāo)系與預(yù)備問題坐標(biāo)系的夾角角度，從理論上講，在“環(huán)保型或者不環(huán)保型”預(yù)備問題中，因決策者支持環(huán)保選項(xiàng)，環(huán)保型坐標(biāo)軸應(yīng)更靠近“Train”選項(xiàng)，故φ可取范圍為0°～45°；在“高自由度或者低自由度”預(yù)備問題中，因決策者支持高自由度選項(xiàng)，高自由度坐標(biāo)軸應(yīng)更靠近“Car”選項(xiàng)，故φ可取范圍為45°～90°，為使模擬數(shù)據(jù)效果明顯，選取φ值分別為20°和60°。α為初始信念狀態(tài)向量與初始坐標(biāo)系橫坐標(biāo)的夾角角度，理論上可以為0°～90°中的任意值，為使模擬數(shù)據(jù)效果明顯，避免預(yù)備問題無效修正，此處設(shè)置α取值為15°、30°、45°、60°、75°。

將上述情景用幾何類量子模型進(jìn)行連續(xù)二值選擇，當(dāng)預(yù)備問題為{環(huán)保型，不環(huán)保型}，以α取15°和75°為例，得到的結(jié)果如圖3所示。

當(dāng)預(yù)備問題為{高自由度，低自由度}，以α取15°和75°為例，得到的結(jié)果如圖4所示。

分析表2～表4，可以發(fā)現(xiàn)：

表2 環(huán)境預(yù)備問題下概率計算結(jié)果Table 2 Probability calculation results under the environment preparation problems

表3 自由度預(yù)備問題下概率計算結(jié)果Table 3 Probability calculation results under the degree of freedom preparation problem

表4 預(yù)備問題干擾下選擇結(jié)果對比Table 4 Comparison of selection results under the interference of preparatory questions

(a) φ=20°，α=15°

(a) φ=60°，α=15°

2) 對火車的初始選擇概率隨著α的增大而增大，對小汽車的初始選擇概率隨著α的增大而減小，即信念向量越靠近某個選擇，其在基向量上的投影越長，該方案被選中的可能性就越大，如隨著α增大，向量逐漸遠(yuǎn)離“Car”選項(xiàng)，小汽車的選擇概率減小，火車的選擇概率上升。

3) 由表2可以看出，如果決策者傾向環(huán)保出行，α取15°、30°、45°、60°時，對小汽車的選擇意念皆有所減弱，對火車的選擇意念有所增強(qiáng)，即P(C)<|ψC1|2、P(T)>|ψT1|2，而α取75°時則有所不同，即P(C)>|ψC1|2、P(T)<|ψT1|2；同理，由表3可以看出，如果決策者傾向高自由度出行方式，α取45°、60°、75°時，對小汽車的選擇意念皆有所增強(qiáng)，對火車的選擇意念有所減弱，即P(C)>|ψC1|2、P(T)<|ψT1|2，而α取15°時則不同，即P(C)<|ψC1|2、P(T)>|ψT1|2，進(jìn)一步驗(yàn)證了決策者最終決策結(jié)果受2個子空間綜合影響。

4) 由表3可以看出，當(dāng)α+ψ=90°時(表中α取30°)，初始信念狀態(tài)與預(yù)備問題存在相同的概率傾向，此時預(yù)備問題不具有更新和修正效果。

5) 雖傾向環(huán)保出行的決策者對于小汽車的選擇概率均減小，但當(dāng)初始信念對小汽車具有嚴(yán)重偏好時(如α取15°，決策者對小汽車的選擇意愿強(qiáng)烈)，會導(dǎo)致P(C)>P(T)；同理，雖傾向高自由度出行的決策者對于小汽車的選擇概率均增加，但當(dāng)初始信念對火車具有嚴(yán)重偏好時(如α取75°，決策者對火車的選擇意愿強(qiáng)烈)，會導(dǎo)致P(C)

6) 由表4選擇結(jié)果對比可知，環(huán)境預(yù)備問題下α取30°和45°時，初始選擇狀態(tài)被改變，由(汽車，相等)轉(zhuǎn)為(火車，火車)；自由度預(yù)備問題下α取30°和45°時，初始選擇狀態(tài)被改變，由(相等，火車)轉(zhuǎn)為(汽車，相等)，但由于α取45°時選擇汽車和火車的概率相等，故認(rèn)為決策者仍有可能堅持初始選擇狀態(tài)，這種差異是由不同預(yù)備問題對選項(xiàng)的干擾效果不同造成的，由此可見，決策者對預(yù)備問題某一選項(xiàng)的傾向越強(qiáng)烈，即預(yù)備問題基向量越靠近某一坐標(biāo)軸，概率修正效果越明顯。

基于幾何類量子模型，環(huán)保傾向的預(yù)備問題會提高火車選擇概率，高自由度預(yù)備問題會提高小汽車選擇概率，交通管理者可以通過信息干擾、情感引導(dǎo)等強(qiáng)化人們對出行方式選擇傾向，對初始信念狀態(tài)進(jìn)行修正，這為實(shí)現(xiàn)出行者在不同交通出行方式的合理分配提供了新的思路。

3 結(jié)論

1) 不同于隨機(jī)效用理論框架，量子概率作為物理學(xué)的前沿理論，為行為決策建模提供了新的研究方向。

2) 本文介紹了一種出行方式選擇的幾何類量子概率模型，對火車和汽車2種出行方式選擇情形進(jìn)行敏感性分析，考慮不同初始信念狀態(tài)，并結(jié)合不同預(yù)備問題實(shí)現(xiàn)了將初始信念狀態(tài)到最終信念狀態(tài)的轉(zhuǎn)化。研究結(jié)果表明，量子概率理論彌補(bǔ)了效用理論在解釋問題干擾、順序影響、情境效應(yīng)等的不足，進(jìn)一步驗(yàn)證了量子概率理論在交通決策建模領(lǐng)域的應(yīng)用可行性。

3) 下一步將設(shè)計并開展量子概率的試驗(yàn)研究，結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步分析量子決策行為。此外，基于薛定諤方程考慮量子模型的動態(tài)屬性、結(jié)合交通出行的擁擠效應(yīng)建立量子均衡模型、對比量子理論和效用理論的效果，也是未來的研究方向。