脈沖路面下電動汽車主動懸架狀態(tài)反饋H∞控制

李杰，賈長旺，成林海，趙旗

（吉林大學(xué)汽車仿真與控制國家重點實驗室，吉林長春 130025）

與集中式電動汽車相比，輪轂電機(jī)電動汽車簡化了傳動結(jié)構(gòu)，驅(qū)動響應(yīng)快、驅(qū)動控制精確和各個車輪獨立可控，是底盤優(yōu)化和控制的理想載體［1-3］.然而，輪轂電機(jī)也帶來平順性負(fù)效應(yīng)問題［4-6］.

針對輪轂電機(jī)平順性負(fù)效應(yīng)問題，已經(jīng)提出了多種改善方法，涉及輪轂電機(jī)輕量化、懸架優(yōu)化、動力吸振器應(yīng)用、懸架控制等方面.輪轂電機(jī)輕量化是從電機(jī)設(shè)計方面考慮電機(jī)減振［7］，可以減輕非簧載質(zhì)量，但是難以改變安裝電機(jī)后汽車發(fā)生的變化.懸架優(yōu)化是通過關(guān)鍵參數(shù)優(yōu)化和結(jié)構(gòu)改進(jìn)減輕輪轂電機(jī)帶來的平順性負(fù)效應(yīng)［6，8］，只能針對特定的路面和車速實現(xiàn)優(yōu)化，無法全面適應(yīng)路面和車速的各種變化.動力吸振器可以減少輪轂電機(jī)的振動［9］，但會產(chǎn)生在車輪內(nèi)布置困難和結(jié)構(gòu)復(fù)雜化的問題.懸架控制主要圍繞懸架控制策略設(shè)計和執(zhí)行器開發(fā)等展開，輪轂電機(jī)電動汽車可以采用PID［10］、模糊［11］、天棚［12］、地棚［13］、天棚地棚混合［13］、最優(yōu)［14］和H∞［15］等控制策略，目前主要針對單輪實現(xiàn)懸架控制，缺乏考慮前后車輪和空間車輪懸架控制的研究，也沒有考慮電機(jī)偏心的影響.懸架控制執(zhí)行器開發(fā)是通過半主動懸架［16］和主動懸架［17］實現(xiàn)的，半主動懸架執(zhí)行器目前主要采用磁流變阻尼器［11］，通過控制阻尼力實現(xiàn)，需要外部能量較少；主動懸架主要包括電磁執(zhí)行器［13］和液壓執(zhí)行器［15］，一般通過輸入電能產(chǎn)生主動力，需要外部能量較大.

作為改善輪轂電機(jī)平順性負(fù)效應(yīng)的一種有力措施，主動懸架具有控制更好的優(yōu)點.然而，主動懸架應(yīng)用需要解決內(nèi)部不確定性和外部干擾影響的魯棒控制問題［18］，輪轂電機(jī)電動汽車主動懸架魯棒控制，即H∞控制的研究還有待深入開展.

當(dāng)汽車在道路上行駛時，會遇到脈沖路面，如道路上的凸起或減速帶等障礙.雖然脈沖路面的作用時間較短，但會使汽車振動突然加大，立刻降低乘員舒適性，還會對車輛零部件和運(yùn)載貨物造成損傷或破壞.以往的研究較少考慮脈沖路面對輪轂電機(jī)電動汽車平順性的影響，針對輪轂電機(jī)電動汽車脈沖路面平順性開展研究，將使輪轂電機(jī)電動汽車平順性的研究更加全面.

本文研究輪轂電機(jī)電動汽車狀態(tài)反饋H∞控制問題，考慮脈沖路面和輪轂電機(jī)實現(xiàn)脈沖路面主動懸架和被動懸架的平順性對比分析.

1 輪轂電機(jī)電動汽車振動模型

1.1 脈沖路面車輪激勵

GB∕T 4970—2009 規(guī)定［19］，脈沖路面車輪激勵由三角形凸塊確定.脈沖路面前輪激勵qf(t)為：

式中：u為車速；h為凸塊高度；l為凸塊長度；t0為汽車以車速u行駛時前輪到達(dá)凸塊的時間.脈沖路面后輪激勵qr(t)為：

式中：L為車輛軸距；td為后輪滯后前輪的時間.

1.2 輪轂電機(jī)激勵

選取典型的四相8∕6 極開關(guān)磁阻電機(jī)作為輪轂電機(jī)，其垂向激勵為單相轉(zhuǎn)子垂向激勵之和［13，20］，即

式中：Fv為電機(jī)垂向激勵；Fvj分別為6 個單相轉(zhuǎn)子a、b、c、a′、b′和c′的垂向激勵.

1.3 車輛模型

以往研究輪轂電機(jī)電動汽車平順性，多采用汽車二自由度振動單輪模型，具有可以揭示基本概念、基本性能和分析簡單明確等優(yōu)點.然而，二自由度振動單輪模型反映的是汽車一個角的作用，即單個車輪及其上面部分簧載質(zhì)量的作用，只能用于研究簧載質(zhì)量和車軸非簧載質(zhì)量的垂直振動，無法反映簧載質(zhì)量同時存在的垂直振動和俯仰振動以及兩種運(yùn)動對平順性的影響，與汽車實際存在差距.而汽車四自由度振動平面模型既能反映車身質(zhì)量的垂直振動和俯仰振動，也能反映前軸和后軸的非簧載質(zhì)量的垂直振動，是研究輪轂電機(jī)電動汽車平順性更合適的模型［21］.

基于上述分析，建立包含輪轂電機(jī)的電動汽車四自由度振動平面模型，如圖1所示.

圖1 電動汽車四自由度振動平面模型Fig.1 Four degree-of-freedom vibration plane model of electric vehicle

在圖1 中，ms和IsL分別為簧載質(zhì)量和簧載俯仰轉(zhuǎn)動慣量；muf和mur分別為包含電機(jī)質(zhì)量的前軸和后軸的非簧載質(zhì)量；csf和csr分別為前軸和后軸的懸架阻尼；ksf和ksr分別為前軸和后軸的懸架剛度；ktf和ktr分別為前軸和后軸的輪胎剛度；Lf和Lr分別為簧載質(zhì)量質(zhì)心與前軸和后軸的距離；Fvf和Fvr分別為前軸和后軸的電機(jī)垂向激勵；Faf和Far分別為前軸和后軸的懸架控制力；zs和φs分別為簧載質(zhì)量的垂向位移和俯仰角位移；zsf和zsr分別為前軸和后軸的懸架與簧載質(zhì)量連接點垂向位移；zuf和zur分別為前軸和后軸的非簧載質(zhì)量垂向位移.

1.4 微分方程

針對zsf、zsr、zuf和zur，由Lagrange 方程建立4 個自由度的微分方程如下：

1.5 狀態(tài)方程

由可控性定理［18］，上述狀態(tài)方程可以實現(xiàn)主動懸架控制.此外，當(dāng)u(t)=0 時，上述狀態(tài)方程也適用于考慮被動懸架的輪轂電機(jī)電動汽車.

2 約束狀態(tài)反饋H∞控制方法

2.1 線性矩陣不等式及其求解

線性矩陣不等式F(x) ＜0，表示對于任意n維非零向量u，uTF(x)u＜0.F(x)的具體表示如下：

成立，或者無解.

2.2 約束狀態(tài)反饋H∞控制

考慮如下表示：

式中：zu（t）為e維控制輸出向量；z（t）為f維約束輸出向量，受到max|z(t)|2＜的約束限制；C1、D1、C2和D2為相應(yīng)的矩陣.狀態(tài)反饋控制方程為：

式中：K為狀態(tài)反饋增益矩陣.

約束狀態(tài)反饋H∞控制問題，可以描述為：對于給定常數(shù)γ＞0，求使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制方程.對應(yīng)式（12）第一個方程和第二個方程，有

對應(yīng)式（12）第三個方程的約束max|z（t）|2＜由Schur補(bǔ)定理［18］，可以推導(dǎo)出

式中：Q=P-1；N=KQ；ρ=γ2wmax；wmax=maxw(t).

通過式（14）和式（15），約束狀態(tài)反饋H∞控制問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式求解問題.在已知A、B1、B2、C1、D1、C2、D2和γ的條件下，其求解過程為：首先，求解式（14）和式（15）表示的線性矩陣不等式得到Q和N；其次，由Q和N確定K=NQ-1，將u（t）=Kx（t）代入式（12）第一個方程求解，得到約束狀態(tài)反饋H∞控制的狀態(tài)向量x（t）；最后，由式（12）后兩個方程得到控制輸出向量zu（t）和約束輸出向量z（t）.

應(yīng)當(dāng)說明的是，式（15）是對應(yīng)于一個約束輸出向量z(t)的線性矩陣不等式；當(dāng)存在多個約束輸出向量時，需要依次列出對應(yīng)于多個約束輸出向量的線性矩陣不等式.

3 主動懸架狀態(tài)反饋H∞控制設(shè)計

3.1 控制輸出向量

3.2 約束輸出向量

前懸架和后懸架的動行程超過其最大值z1max和z2max時，懸架就會撞擊限位塊而產(chǎn)生振動和噪聲.為了避免這種現(xiàn)象，需要

汽車行駛時，只有當(dāng)車輪動載荷小于車輪靜載荷時，才能始終保持車輪接地性和車輛穩(wěn)定性，即

設(shè)z2(t)=[zsf-zuf，zsr-zur，zuf-qf，zur-qr]T，聯(lián)立式（17）和式（18），得到對應(yīng)于懸架動行程和車輪載荷的約束輸出向量：

為了減少控制過程的能量消耗，應(yīng)當(dāng)限制懸架控制力在一定范圍內(nèi)［22］

式中：Fafmax和Farmax分別為前懸架和后懸架的最大控制力.

由式（20）得到控制力約束輸出向量：

3.3 狀態(tài)反饋H∞控制策略

聯(lián)立式（9）、式（16）、式（19）和式（21），輪轂電機(jī)電動汽車主動懸架控制問題表示為：

式（22）表示的狀態(tài)反饋H∞控制問題，可以理解為：在外界擾動向量w(t)存在最大值wmax的情況下，如果Q、N和ρ=wmaxγ2滿足如下線性矩陣不等式

則主動懸架的狀態(tài)反饋H∞控制策略為：

4 應(yīng)用分析

4.1 狀態(tài)反饋H∞控制仿真模型

基于上述理論研究結(jié)果開發(fā)了電動汽車脈沖路面狀態(tài)反饋H∞控制MATALB∕Simulink 仿真模型，如圖2 所示.圖2 中，bump 模塊用于生成前輪和后輪的脈沖激勵；Motor Excitation 模塊用于生成前輪和后輪的輪轂電機(jī)激勵；State Function 模塊用于生成狀態(tài)方程、控制輸出向量、約束輸出向量的矩陣，以及獲得狀態(tài)反饋增益矩陣；Output Function 用于獲得每個車速下各個振動響應(yīng)量的時間歷程和各個振動響應(yīng)量的絕對值最大值，all_data_bump 模塊用于以數(shù)據(jù)和圖形兩種形式輸出所有結(jié)果.仿真時，采用某電動汽車的基本參數(shù)，如表1 所示.約束條件設(shè)定為：z1max=z2max=0.1m，F(xiàn)afmax=Farmax=1 500 N.

圖2 電動汽車脈沖路面狀態(tài)反饋H∞控制MATALB∕Simulink仿真模型Fig.2 MATALB∕Simulink simulation model of electric vehicle for state feedback H∞control of pulse road

表1 電動汽車基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of a electric vehicle

4.2 輪轂電機(jī)激勵分析

設(shè)偏心距e=(R-r)er，er是以百分率表示的偏心率，分別取er=0%、er=10%和er=20%，前者對應(yīng)于電機(jī)無偏心情況，后者對應(yīng)于2 種電機(jī)偏心情況.取某開關(guān)磁阻電機(jī)參數(shù)見文獻(xiàn)［13］，3 種情況的電機(jī)偏心激勵如圖3所示.

由圖3（a）可知，在電機(jī)無偏心的情況下，由于電機(jī)各處氣隙相同，因此電機(jī)不存在垂向激勵.

由圖3（b）和圖3（c）可知，當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)子和定子存在偏心時，由于各處氣隙不同，電機(jī)產(chǎn)生垂向激勵.進(jìn)一步分析表明，er取10%以上的偏心率，偏心率越大，產(chǎn)生的電機(jī)垂向激勵越大.

圖3 3種情況的輪轂電機(jī)激勵Fig.3 Three cases of hub motor excitation

由于小偏心率產(chǎn)生的電機(jī)垂向激勵也小，因此，后續(xù)將以偏心率er=10%來研究電機(jī)垂向激勵與脈沖路面激勵共同作用，考察電機(jī)偏心在脈沖路面下對電動汽車平順性的影響.以此能更好地說明電機(jī)偏心對汽車平順性的影響，如果小偏心能產(chǎn)生明顯的影響，則大偏心會產(chǎn)生更大的影響.

4.3 振動響應(yīng)時間歷程

在脈沖路面、車速40 km∕h 和前后電機(jī)偏心率10%的情況下，求取得到兩種懸架的簧載質(zhì)量垂向加速度、簧載質(zhì)量俯仰角加速度、前懸架動行程、后懸架動行程、前輪相對動載和后輪相對動載的時間歷程，如圖4所示.

圖4 車速40 km∕h和電機(jī)同時偏心10%時脈沖路面振動響應(yīng)的時間歷程Fig.4 Time history of pulse road vibration response of suspension with 10%motor eccentricity and 40 km∕h

由圖4 可知，主動懸架與被動懸架對比，簧載質(zhì)量垂向加速度和簧載質(zhì)量俯仰角加速度最大值得到改善；懸架動行程和車輪相對動載最大值有所增加.

4.4 平順性評價指標(biāo)的車速特性

振動響應(yīng)時間歷程用于分析振動響應(yīng)隨著時間變化的過程，而平順性需要一個反映振動響應(yīng)的整體指標(biāo).GB∕T 4970—2009 規(guī)定，采用振動響應(yīng)時間歷程的絕對值最大值作為脈沖路面平順性評價指標(biāo)，并且通過其與車速的關(guān)系評價汽車平順性.

取最低車速10 km∕h、車速增量2 km∕h 和最高60 km∕h，在脈沖路面上仿真1 s，設(shè)定4 種懸架情況：1）無偏心被動，對應(yīng)于前后電機(jī)無偏心的被動懸架；2）無偏心主動，對應(yīng)于前后電機(jī)無偏心的主動懸架；3）偏心被動，對應(yīng)于前后電機(jī)偏心10%的被動懸架；4）偏心主動，對應(yīng)于前后電機(jī)偏心10%的主動懸架.

針對1 種情況，首先，求解得到1 個車速對應(yīng)的振動響應(yīng)時間歷程；其次，求解得到該車速對應(yīng)的振動響應(yīng)絕對值最大值；再次，求解得到各個車速對應(yīng)的振動響應(yīng)的絕對值最大值；最后，求解得到4 種情況的全部結(jié)果，如圖5所示.

圖5 4種情況的脈沖路面平順性評價指標(biāo)Fig.5 Evaluation indexes of pulse road ride comfort under four conditions

由圖5 可知，當(dāng)電機(jī)無偏心時，主動懸架與被動懸架對比結(jié)果如下：1）簧載質(zhì)量垂向加速度對比改善44.11%，平均改善1.132 9 m∕s2；2）簧載質(zhì)量俯仰角加速度對比改善28.50%，平均改善0.622 rad∕s2；3）前懸架動行程對比增加0.09%，平均增加3.06 mm，后懸架動行程對比增加0.07%，平均增加1.99 mm；4）前輪相對動載對比增加7.77%，平均增加0.133 3，后懸架相對動載對比增加5.09%，平均增加0.081 0.當(dāng)電機(jī)偏心10%時，主動懸架與被動懸架對比結(jié)果如下：1）簧載質(zhì)量垂向加速度對比改善42.82%，平均改善0.969 6 m∕s2；2）簧載質(zhì)量俯仰角加速度對比改善22.41%，平均改善0.449 9 rad∕s2；3）前懸架動行程對比增加14.72%，平均增加4.596 5 mm；后懸架動行程對比增加17.22%，平均增加4.402 5 mm；4）前輪相對動載對比增加14.72%，平均增加0.119 9；后輪相對動載對比增加14.72%，平均增加0.118 4.

5 結(jié)論

1）考慮脈沖路面激勵和輪轂電機(jī)激勵，建立了輪轂電機(jī)電動汽車四自由度振動平面模型，既可以用于分析主動懸架的控制效果，也可以分析被動懸架的作用，適用于研究各種控制方法.

2）總結(jié)和說明了可以應(yīng)用MATLAB 工具箱LMI求解的狀態(tài)反饋H∞控制問題，實現(xiàn)了輪轂電機(jī)電動汽車懸架狀態(tài)反饋H∞控制設(shè)計，開發(fā)了相應(yīng)的MATLAB∕Simulink 仿真模型，通過參數(shù)設(shè)置可以研究單獨脈沖路面車輪激勵作用、單獨電機(jī)激勵作用、脈沖路面車輪和電機(jī)兩種激勵共同作用的效果.

3）在脈沖路面上，輪轂電機(jī)電動汽車主動懸架H∞控制改善了簧載質(zhì)量垂向加速度和簧載質(zhì)量俯仰角加速度，增加了前懸架動行程、后懸架動行程、前輪相對動載和后輪相對動載，增加程度都在約束范圍內(nèi)；電機(jī)無偏心和偏心的主動懸架對比說明，偏心影響了主動懸架的改善能力，主動懸架設(shè)計需要考慮電機(jī)偏心情況.