計(jì)及可再生能源與負(fù)荷高維時(shí)序相關(guān)性的主動(dòng)配電網(wǎng)擴(kuò)展規(guī)劃

吳 涵，孫力文，項(xiàng) 晟，袁 越

（1. 南京工程學(xué)院智能電網(wǎng)產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院,江蘇省南京市 211167；2. 河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院,江蘇省南京市 211100）

0 引言

配電網(wǎng)是承載分布式發(fā)電（distribution generation,DG）和分布式能源的重要平臺(tái),是推動(dòng)智能電網(wǎng)建設(shè)、解決能源危機(jī)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。隨著配電網(wǎng)中可再生能源滲透率的提升,可再生能源導(dǎo)致的過(guò)電壓和反向潮流對(duì)配電網(wǎng)運(yùn)行的影響逐步顯現(xiàn),配電網(wǎng)規(guī)劃也從實(shí)現(xiàn)分布式電源“應(yīng)接盡接”轉(zhuǎn)向“源網(wǎng)荷”的互補(bǔ)協(xié)調(diào)發(fā)展。由于分布式可再生能源發(fā)電和負(fù)荷只能在小范圍內(nèi)調(diào)節(jié),制約了配電網(wǎng)的主動(dòng)調(diào)節(jié)能力,二者本身間的互補(bǔ)關(guān)系在配電網(wǎng)規(guī)劃中就顯得格外重要。因此,充分發(fā)掘分布式電源與負(fù)荷相關(guān)性,實(shí)現(xiàn)分布式可再生資源的有效利用對(duì)配電網(wǎng)科學(xué)規(guī)劃、提升配電網(wǎng)消納能力具有重要意義。

按是否考慮可再生能源和負(fù)荷的時(shí)序特性可將目前考慮分布式電源和負(fù)荷相關(guān)性的配電網(wǎng)規(guī)劃研究分為兩類(lèi)。一類(lèi)研究不考慮時(shí)序性,基于負(fù)荷與可再生能源的聯(lián)合出力分布重點(diǎn)研究負(fù)荷與可再生能源資源整體的相關(guān)性對(duì)配電網(wǎng)規(guī)劃的影響,例如:文獻(xiàn)［1-2］利用拉丁超立方采樣等方法生成具有不同相關(guān)性的可再生能源和負(fù)荷樣本矩陣；文獻(xiàn)［3-6］利用二維高斯混合模型、Copula 函數(shù)等方法建立可再生能源與負(fù)荷的聯(lián)合概率分布。另一類(lèi)研究考慮了分布式電源和負(fù)荷的時(shí)序性關(guān)系,主要基于典型日分析,例如:文獻(xiàn)［7］在典型日下通過(guò)Cholesky 分解將具有相關(guān)性的分布式電源出力和負(fù)荷轉(zhuǎn)換為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量以便于建模；文獻(xiàn)［8-9］對(duì)可再生能源和負(fù)荷的日出力曲線聚類(lèi),采取多個(gè)聚類(lèi)中心作為典型場(chǎng)景以實(shí)現(xiàn)配電網(wǎng)規(guī)劃。

然而,上述兩類(lèi)研究均有一定的缺陷。第1 類(lèi)方法將分布式電源出力和負(fù)荷視為兩個(gè)相關(guān)的隨機(jī)變量,側(cè)重于描述分布式電源和負(fù)荷的所有樣本在空間上的相關(guān)性。這類(lèi)方法受限于概率分布的維數(shù),難以計(jì)及分布式電源出力和負(fù)荷在時(shí)序上的波動(dòng),無(wú)法在規(guī)劃中體現(xiàn)儲(chǔ)能等時(shí)序耦合元件及主動(dòng)管理的作用,且由于考慮了大量場(chǎng)景,其計(jì)算十分耗時(shí)。第2 類(lèi)方法側(cè)重于分布式電源和負(fù)荷出力的時(shí)序關(guān)系,能夠計(jì)及時(shí)序耦合元件和主動(dòng)管理對(duì)規(guī)劃結(jié)果的影響。但該方法十分依賴(lài)典型日的選取,不同典型日得到的規(guī)劃結(jié)果大相徑庭。由文獻(xiàn)［10-13］可知,分布式電源和負(fù)荷的時(shí)間和空間相關(guān)性均對(duì)電網(wǎng)潮流有密切影響,而配電網(wǎng)主動(dòng)管理措施同樣能夠有效降低配電網(wǎng)運(yùn)維成本,對(duì)減少配電網(wǎng)投資有顯著效果［14-16］。為了能夠在配電網(wǎng)規(guī)劃模型中同時(shí)計(jì)及分布式電源出力、負(fù)荷的時(shí)空相關(guān)性以及配電網(wǎng)的主動(dòng)管理措施,需要建立考慮分布式電源發(fā)電時(shí)序性和負(fù)荷高維相關(guān)性的配電網(wǎng)規(guī)劃模型。

因此,本文首先以截?cái)嗟腞-Vine Copula 模型為基礎(chǔ),建立多種負(fù)荷與分布式風(fēng)、光發(fā)電的高維時(shí)序相依模型。該方法能夠建立多種分布式電源和多類(lèi)型負(fù)荷逐時(shí)刻高維聯(lián)合概率分布,解決了典型日方法中難以考慮空間相關(guān)性以及空間相關(guān)性方法未考慮分布式電源出力和負(fù)荷時(shí)序特征的問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上,基于隨機(jī)規(guī)劃建立了配電網(wǎng)兩階段擴(kuò)展規(guī)劃模型,并在配電網(wǎng)規(guī)劃模型中考慮了可再生能源限電的情況,更為準(zhǔn)確地描述了實(shí)際配電網(wǎng)運(yùn)行場(chǎng)景。最后,為了提高模型的求解效率,提出了一種基于雙線性Benders 分解的求解算法,使該模型更具實(shí)用性。

1 基于截?cái)郣-Vine Copula 模型的高維源-荷聯(lián)合概率分布建模

若要將隨機(jī)優(yōu)化和機(jī)會(huì)約束規(guī)劃應(yīng)用到時(shí)序場(chǎng)景中,首先需要解決的問(wèn)題是如何對(duì)含有時(shí)序變量的高維聯(lián)合概率分布建模。目前,高維概率分布模型 的 常 規(guī) 建 模 方 法 是Vine Copula 模 型［17-18］。在Vine Copula 模型中,R-Vine 模型擬合性能最為優(yōu)秀,但由于模型中變量數(shù)隨維數(shù)增長(zhǎng)較快,R-Vine模型難以表示,且計(jì)算開(kāi)銷(xiāo)十分巨大,因此,并沒(méi)有在實(shí)際工程中得到廣泛應(yīng)用。為了解決這個(gè)問(wèn)題,本文分別從兩個(gè)方面改進(jìn)了傳統(tǒng)的R-Vine 模型。

首先,為了能夠更好地描述R-Vine 模型,文獻(xiàn)［19-20］中提出了一種用下三角矩陣描述R-Vine Tree 的方法。令d階下三角矩陣M為:

其次,考慮到選擇合適的R-Vine 模型所需的計(jì)算量隨維數(shù)的增加而急劇增長(zhǎng),獲得全局最優(yōu)解的代價(jià)往往過(guò)于高昂。因此,本文采用一種啟發(fā)式方法,以期在有限時(shí)間內(nèi)找到最佳的Vine 結(jié)構(gòu)。該方法的核心思想是在構(gòu)建R-Vine 模型時(shí)盡量簡(jiǎn)化高層的樹(shù)結(jié)構(gòu),依靠底層的Copula 函數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)（pair-Copula-construction,PCC）描述變量之間的相依關(guān)系［21］。

具體而言,若用二元Gaussian Copula 函數(shù)替換所有層數(shù)大于等于K的條件Copula 函數(shù),即可將RVine 模型變?yōu)橐粋€(gè)K層簡(jiǎn)化R-Vine 模型。若用二元獨(dú)立Copula 函數(shù)替換層數(shù)大于等于K的所有條件Copula 函數(shù),即可得到K層截?cái)郣-Vine 模型。如果K=1,截?cái)嗟腞-Vine 模型退化馬爾可夫樹(shù)分布,其中所有的條件分布均獨(dú)立。當(dāng)然,在使用相關(guān)參數(shù)為零的Gaussian Copula 函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化時(shí),得到的結(jié)果就等于截?cái)嗟腞-Vine 模型。

記K層截?cái)郣-Vine 模型為tRV（K）,K層簡(jiǎn)化R-Vine 模型為sRV（K）。令θtRVK為K層截?cái)郣-Vine模型中每一個(gè)PCC 的參數(shù),即

R-Vine 模型的擬合和采樣算法可參見(jiàn)文獻(xiàn)［21］。

2 考慮源-荷相關(guān)性的主動(dòng)配電網(wǎng)擴(kuò)展規(guī)劃模型

2.1 基于隨機(jī)優(yōu)化的兩階段配電網(wǎng)擴(kuò)展規(guī)劃模型

考慮一個(gè)兩階段配電網(wǎng)擴(kuò)展規(guī)劃問(wèn)題,其第1階段決定設(shè)備是否需要擴(kuò)容并選擇合適的設(shè)備,第2 階段模擬配電系統(tǒng)運(yùn)行?？紤]到配電網(wǎng)運(yùn)行受隨機(jī)負(fù)荷和分布式電源出力影響,本文采用一系列離散場(chǎng)景（以及對(duì)應(yīng)的實(shí)現(xiàn)概率）表示不確定性,并計(jì)算每個(gè)場(chǎng)景中配電網(wǎng)的運(yùn)行狀態(tài)。同樣由于負(fù)荷和分布式電源的隨機(jī)性,本文假設(shè)負(fù)荷和分布式電源出力可以適量削減,并以此獲取部分補(bǔ)償。調(diào)度負(fù)荷和分布式電源時(shí)的補(bǔ)償成本計(jì)入配電網(wǎng)升級(jí)成本中。綜上,本文提出的兩階段配電網(wǎng)擴(kuò)展規(guī)劃模型如下。

1）目標(biāo)函數(shù)

可見(jiàn),由式（8）—式（47）構(gòu)成的配電網(wǎng)擴(kuò)展規(guī)劃模型是一個(gè)典型的混合整數(shù)二階錐規(guī)劃（mixed integer second-order cone programming,MISOCP）模型?，F(xiàn)有的商業(yè)求解器可以在一定范圍內(nèi)求解,但該模型的復(fù)雜度會(huì)隨著場(chǎng)景數(shù)、場(chǎng)景內(nèi)的電網(wǎng)運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)和配電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)數(shù)以指數(shù)形式增長(zhǎng),很容易超過(guò)現(xiàn)有求解器的求解能力,需要開(kāi)發(fā)新的求解算法。

2.2 基于機(jī)會(huì)約束規(guī)劃的配電網(wǎng)擴(kuò)展規(guī)劃模型

式中:c為決策變量；θs、λs、σs、μs為場(chǎng)景s運(yùn)行問(wèn)題的對(duì) 偶 變 量；gs、hs、ls、ds為 相 應(yīng) 場(chǎng) 景s運(yùn) 行 的 參 數(shù) 向量；F和f分別為投資決策的參數(shù)集合和向量；A為第1 階段投資的參數(shù)集合；Es和Bs分別為場(chǎng)景s中功率平衡和運(yùn)行的參數(shù)集合；Hs為場(chǎng)景s中二階錐約束參數(shù)集合。

式（49）表示與投資決策變量有關(guān)的約束集,式（50）中包含功率平衡方程等與運(yùn)行有關(guān)的等式約束,式（51）連接投資變量與運(yùn)行變量,式（52）表示二階錐約束。需要注意的是,目標(biāo)函數(shù)式（48）中的第2 項(xiàng)表示期望運(yùn)行成本。根據(jù)上述緊湊的向量模型,下面給出由傳統(tǒng)Big-M 法得到的機(jī)會(huì)約束規(guī)劃模型CC-BigM:

式中:M為一個(gè)足夠大的常向量；|S|為場(chǎng)景總數(shù)；ws為表征場(chǎng)景是否剔除的指示變量。在求解過(guò)程中,若ws=1,則場(chǎng)景s被認(rèn)定為不可行場(chǎng)景,從可用場(chǎng)景集中剔除,相反,若ws=0,則不剔除；ε為松弛變量。

CC-BigM 中,機(jī)會(huì)約束施加于每個(gè)場(chǎng)景。若ws=1,則由于M的存在,場(chǎng)景s中的所有約束均可以忽略。因此,二進(jìn)制變量ws可以用于指示最優(yōu)解中所含的場(chǎng)景。由式（53）可見(jiàn),CC-BigM 只對(duì)（1?ε）×100%的場(chǎng)景計(jì)算運(yùn)行成本?？紤]到第2階段面對(duì)的不是完整的場(chǎng)景集而是有所取舍,本節(jié)引入了一個(gè)關(guān)于ys和ws的函數(shù)G用于計(jì)算第2 階段的成本,并將其納入目標(biāo)函數(shù)式（53）中。

Big-M 法是一種較為傳統(tǒng)的整數(shù)變量處理方法,雖然較為便捷,但其缺點(diǎn)也十分明顯:參數(shù)M的選取會(huì)直接影響計(jì)算效率。從文獻(xiàn)［24］可知,Big-M 法在求解該類(lèi)機(jī)會(huì)約束規(guī)劃時(shí)會(huì)帶來(lái)非常重的計(jì)算負(fù)擔(dān)?？紤]到在該模型中規(guī)劃人員只關(guān)心被選中場(chǎng)景中的運(yùn)行成本,本節(jié)提出一個(gè)雙線性的機(jī)會(huì)約束轉(zhuǎn)化方法CC-BL 模型,其擁有比Big-M 法更佳的計(jì)算性能。此外,這種雙線性轉(zhuǎn)化方法可以結(jié)合Benders 分解進(jìn)一步提升求解性能。

3 基于雙線性Benders 分解的求解算法

Benders 分解是一種特殊的割平面方法,具有典型的主-子問(wèn)題結(jié)構(gòu),尤其適用于隨機(jī)規(guī)劃這類(lèi)具有較多約束的混合整數(shù)問(wèn)題的求解。Benders 分解將原問(wèn)題分解為主問(wèn)題和子問(wèn)題兩個(gè)部分,其中主問(wèn)題包含所有的整數(shù)變量和部分不等式約束,子問(wèn)題一般是線性規(guī)劃問(wèn)題,用于在迭代過(guò)程中尋找對(duì)主問(wèn)題的結(jié)果產(chǎn)生影響的不等式約束,并以Benders割的形式將找到的不等式反饋給主問(wèn)題。Benders割一般有兩種,可行性割（feasibility cut）和最優(yōu)割（optimal cut）,前者為子問(wèn)題的極線（extreme ray）,此時(shí)子問(wèn)題無(wú)解,后者為子問(wèn)題的極點(diǎn),此時(shí)子問(wèn)題有最優(yōu)解。主問(wèn)題經(jīng)過(guò)修正后再次迭代求解主-子問(wèn)題,直至子問(wèn)題找不到新的可影響主問(wèn)題結(jié)果的不等式約束時(shí),或者上、下界之間的差值小于閾值時(shí)迭代終止。

3.1 主問(wèn)題與子問(wèn)題

由于在第2 階段運(yùn)行問(wèn)題中,負(fù)荷和分布式電源的發(fā)電量可以通過(guò)調(diào)度調(diào)整,因此運(yùn)行問(wèn)題的可行性已有了保證,這同時(shí)也保證了第2 階段運(yùn)行問(wèn)題二階錐規(guī)劃模型的強(qiáng)對(duì)偶性。此時(shí),利用各個(gè)場(chǎng)景中運(yùn)行問(wèn)題的對(duì)偶變量θs、λs、σs、μs,可以構(gòu)造給定第1 階段決策變量x?(g)后第g次迭代時(shí)使用的子問(wèn)題SPs:

對(duì) 比MP-BL 和CC-BL 可 見(jiàn),主 問(wèn) 題MP-BL 等價(jià)于定義在SPs極點(diǎn)上的CC-BL。因此,MP-BL 可以給出CC-BL 的一個(gè)下界。另外,式（57）中的雙線性項(xiàng)可以由McCormick 線性化方法轉(zhuǎn)化為線性表達(dá)式?？紤]到McCormick 方法構(gòu)造的是變量乘積的凸包絡(luò),理論上McCormick 方法具有極高的精度。McCormick 線性化的原理如下:若任意兩個(gè)連續(xù) 變 量x和y的 上 下 界 分 別 為xU、xL和yU、yL,那 么乘積項(xiàng)w=xy的凸包絡(luò)可寫(xiě)為:

McCormick 線性化法形成的凸包絡(luò)可見(jiàn)附錄A圖A1。

3.2 求解算法

顯然,CC-BL 的任何一個(gè)可行解都提供了一個(gè)新的上界。因此,以迭代的方式逐漸往模型中添加最優(yōu)割可以逐步生成更佳的上下界。令BL和BU為當(dāng)前的下界和上界,e為迭代閾值,可以得到下述雙線性Benders 分解算法。

初始化:設(shè)迭代計(jì)數(shù)變量g=0,下界BL=0,上界BU=+∞。設(shè)迭代閾值e=0.01。

迭代開(kāi)始:

停止判定:如果|(BU-BL)/BL|≤e,得到最優(yōu)解BU,否則,令g=g+1 并返回至步驟1。

當(dāng)ε=0 時(shí),機(jī)會(huì)約束規(guī)劃模型退化為隨機(jī)規(guī)劃模型。因?yàn)殡S機(jī)規(guī)劃模型需要考慮所有場(chǎng)景,所以在計(jì)算隨機(jī)規(guī)劃模型時(shí)可以直接消去雙線性Benders 分解算法中的ws。

4 算例分析

4.1 算例介紹

本文以中國(guó)南通市某38 節(jié)點(diǎn)配電網(wǎng)為例,展示分布式電源和負(fù)荷的時(shí)序相關(guān)性對(duì)配電網(wǎng)擴(kuò)展規(guī)劃的影響。圖1 為改進(jìn)的南通市38 節(jié)點(diǎn)配電系統(tǒng)?，F(xiàn)階段該配電網(wǎng)主要為居民供電,在線路末端接有部分商業(yè)和工業(yè)負(fù)荷。為降低工業(yè)負(fù)荷和商業(yè)負(fù)荷對(duì)電壓的影響并提高工業(yè)、商業(yè)負(fù)荷的電能質(zhì)量和可靠性,業(yè)主在線路末端主動(dòng)接入了大量分布式電源。但分布式電源與負(fù)荷特性不匹配,在實(shí)際運(yùn)行中出現(xiàn)了可再生能源電力富余,且末端電壓偏高的問(wèn)題。為此,算例中設(shè)計(jì)了3 條待升級(jí)線路8-16、16-18、35-36 和2 條待建線路9-15、27-34；2 個(gè)待建分組投切電容器（CB）分別位于節(jié)點(diǎn)12 和29。已有線路、待升級(jí)線路和待建線路數(shù)據(jù)見(jiàn)附錄A 表A1,待建CB 容量為0.5 Mvar。

圖1 改進(jìn)的南通市38 節(jié)點(diǎn)配電系統(tǒng)Fig.1 Improved 38-bus distribution system in Nantong of China

算例中分布式電源出力和負(fù)荷由附錄A 圖A2所示的2016 年全年15 min 分辨率的工業(yè)、商業(yè)、居民負(fù)荷及風(fēng)速、輻照度時(shí)序數(shù)據(jù)采樣得到,其中L1、L2、L3、Sol、Wind 分別代表工業(yè)負(fù)荷、商業(yè)負(fù)荷、居民負(fù)荷、輻照度和風(fēng)速。變電站的固定和可變投資成本設(shè)為200 000 美元和50 000 美元/MW；饋線投資和維護(hù)成本設(shè)為150 000 美元/km 和450 美元；電容器的投資和維護(hù)成本分別為3 000 美元和450 美元/kvar；單位切負(fù)荷及棄風(fēng)、棄光懲罰成本設(shè)定為1 000 美元/kW。分布式風(fēng)電的切入和切出風(fēng)速分別為2 m/s 和25 m/s,額定風(fēng)速為15 m/s,分布式風(fēng)電和光伏的容量均為6 MW。節(jié)點(diǎn)7 配置了容量為0.5 MW·h 的ESS,最大充放電功率為0.5 MW,充放電效率分別為88%和90%。最大計(jì)算運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)設(shè)為3 600 s。

該算例分析在CPU 主頻為2.20 GHz、內(nèi)存為16 GB 的HP Z840 工作站中運(yùn)行。截?cái)郣-Vine 模型使用R 語(yǔ)言編寫(xiě)；雙線性Benders 分解算法使用GAMS 軟件編寫(xiě),并調(diào)用商用求解器CPLEX 12.10求解。

4.2 截?cái)郣-Vine 模型算例

為提高配電網(wǎng)規(guī)劃模型的計(jì)算效率,首先將附錄A 圖A2 中15 min 分辨率的工業(yè)負(fù)荷、商業(yè)負(fù)荷、居民負(fù)荷及風(fēng)速、輻照度時(shí)序數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成1 h 分辨率的時(shí)序數(shù)據(jù),并按附錄A 圖A3 中的順序排列成120 維的高維隨機(jī)向量。該隨機(jī)向量的Kendall 相關(guān)系數(shù)矩陣如圖2 所示,其中NaN 為非數(shù)值型的數(shù)據(jù),表示一個(gè)本應(yīng)返回的操作數(shù)未返回?cái)?shù)值的情況。

圖2 時(shí)序工業(yè)負(fù)荷、商業(yè)負(fù)荷、居民負(fù)荷與光伏、風(fēng)電的Kendall 相關(guān)系數(shù)矩陣Fig.2 Kendall correlation coefficient matrix of industrial load, commercial load, residential load,photovoltaic and wind power in time series

圖2 給出了時(shí)序負(fù)荷和光伏、風(fēng)電的Kendall 相關(guān)系數(shù)矩陣,顏色越深表示Kendall 相關(guān)系數(shù)值越大,相關(guān)性越強(qiáng)。由于光伏在夜間出力均為0,夜間光伏的出力與其他時(shí)刻其他變量不存在相關(guān)性,顯示為白色。從圖2 中可以看出,同一種負(fù)荷或電源自身各時(shí)段間的相關(guān)性較強(qiáng),且隨著時(shí)間間隔的增加,相關(guān)性逐漸降低。不同負(fù)荷在不同時(shí)刻之間也存在相關(guān)性,例如商業(yè)和居民負(fù)荷之間就有著較強(qiáng)的相關(guān)性。當(dāng)?shù)仫L(fēng)電出力與負(fù)荷之間的相關(guān)性較弱,而光伏與居民負(fù)荷、工業(yè)負(fù)荷之間的相關(guān)性大于商業(yè)負(fù)荷。

利用1 階截?cái)郣-Vine 模型對(duì)上述高維多變量時(shí)序相關(guān)模型進(jìn)行建模,得到的R-Vine 樹(shù)如圖3 所示。圖3 中右下角堆積了大量夜間的光伏出力時(shí)刻,由于光伏在夜間實(shí)際出力為0,這些數(shù)據(jù)可忽略不計(jì)。從圖3 中可知,各負(fù)荷和分布式電源內(nèi)部的相關(guān)性明顯大于負(fù)荷和分布式電源之間的相關(guān)性,這表現(xiàn)為R-Vine 樹(shù)圖中隸屬于同一類(lèi)變量的不同時(shí)刻數(shù)據(jù)聚集在一起。但時(shí)序之間的耦合關(guān)系不盡相同,除了風(fēng)電和光伏幾乎以時(shí)間順序相連,各類(lèi)型負(fù)荷不同時(shí)刻之間的時(shí)序相依關(guān)系十分復(fù)雜,總體而言,相近的時(shí)刻相關(guān)性越強(qiáng),在R-Vine 樹(shù)圖中越有可能直接相連。

圖3 時(shí)序負(fù)荷可視化與分布式電源高維時(shí)空相依結(jié)構(gòu)Fig.3 Time-series load visualization and highdimensional spatio-temporal dependence structure of distributed generators

根據(jù)圖3 所示的1 階截?cái)郣-Vine 結(jié)構(gòu),可以構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的R-Vine 模型,并從中采樣得到本文計(jì)算所用的樣本場(chǎng)景。為對(duì)比Vine Copula 模型與常用的Gaussian Copula 模型在擬合高維相關(guān)性時(shí)的區(qū)別,本文在圖4 中將上述兩個(gè)相關(guān)性模型抽樣結(jié)果得到的Kendall 相關(guān)系數(shù)矩陣和原始數(shù)據(jù)計(jì)算得到的Kendall 相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行了對(duì)比。

如圖4 所示,Gaussian Copula 模型計(jì)算得到的Kendall 相關(guān)性矩陣值明顯低于實(shí)際Kendall 相關(guān)性矩陣,而Vine Copula 計(jì)算得到的相關(guān)矩陣則較好地保持了原始相關(guān)性矩陣的特性,體現(xiàn)出Vine Copula模型具有優(yōu)良的擬合性能,能夠準(zhǔn)確地刻畫(huà)多元隨機(jī)變量之間復(fù)雜的相關(guān)性。

圖4 不同相關(guān)性模型得到的Kendall 相關(guān)系數(shù)矩陣Fig.4 Kendall correlation coefficient matrix obtained by different correlation models

4.3 配電網(wǎng)規(guī)劃算例

4.3.1 隨機(jī)規(guī)劃算例

首先,在上述中國(guó)南通某38 節(jié)點(diǎn)配電網(wǎng)中對(duì)本文提出的配電網(wǎng)規(guī)劃模型進(jìn)行測(cè)試,揭示不同相關(guān)性模型對(duì)配電網(wǎng)擴(kuò)展規(guī)劃的影響。本文采用的3 種相關(guān)性模型如下:

1）IND:假設(shè)分布式電源和負(fù)荷之間的相關(guān)系數(shù)為0,保留負(fù)荷和分布式電源內(nèi)部的時(shí)序相關(guān)性,并利用Gaussian Copula 模型生成500 個(gè)樣本（每個(gè)樣本代表一個(gè)工作日的負(fù)荷和分布式電源出力值）作為輸入；

2）GAUS:利用線性相關(guān)系數(shù)描述該模型分布式電源和負(fù)荷之間的相關(guān)性,并采用Gaussian Copula 模型建立聯(lián)合分布模型,同樣采樣500 個(gè)樣本；

3）RVINE:該模型利用截?cái)郣-Vine 模型生成500 個(gè)樣本作為輸入。

對(duì)于上述3 種相關(guān)性模型,本文將生成的每個(gè)樣本視為一個(gè)等概率的場(chǎng)景,并將其代入配電網(wǎng)規(guī)劃模型中求解。計(jì)算得到的配電網(wǎng)擴(kuò)展規(guī)劃結(jié)果見(jiàn)表1 和圖5。

表1 不同模型下配電網(wǎng)規(guī)劃計(jì)算結(jié)果Table 1 Calculation results of distribution network planning with different models

從表1 可以看出,基于IND 模型計(jì)算得到的配電網(wǎng)規(guī)劃結(jié)果與考慮相關(guān)性的GAUS 和RVINE 模型得到的結(jié)果有顯著區(qū)別。在分布式電源和負(fù)荷沒(méi)有互補(bǔ)關(guān)系時(shí)（即IND 場(chǎng)景）,由于分布式電源和負(fù)荷相互獨(dú)立,時(shí)序分布式電源出力和負(fù)荷只在變量?jī)?nèi)部存在相關(guān)性,IND 場(chǎng)景得到的配電網(wǎng)規(guī)劃結(jié)果十分激進(jìn),升級(jí)線路較少。而在考慮相關(guān)性的模型中,配電網(wǎng)規(guī)劃的結(jié)果則較為保守,傾向于升級(jí)新的線路,并將負(fù)荷向分布式電源的發(fā)電中心轉(zhuǎn)移。這是因?yàn)閷?shí)際負(fù)荷與分布式電源之間存在的正相關(guān)性使得電源與負(fù)荷之間出現(xiàn)互補(bǔ)作用,負(fù)荷靠近互補(bǔ)電源能夠減小反向潮流。考慮到IND 模型與實(shí)際配電網(wǎng)運(yùn)行場(chǎng)景存在差異,由IND 模型計(jì)算得到的配電網(wǎng)規(guī)劃結(jié)果會(huì)給配電網(wǎng)的運(yùn)行安全帶來(lái)較大威脅。因此,在評(píng)估配電網(wǎng)擴(kuò)展規(guī)劃時(shí),需要考慮分布式電源與負(fù)荷之間的相關(guān)性。

在表1 中,本文也展示了基于傳統(tǒng)典型日方法和傳統(tǒng)隨機(jī)變量法的計(jì)算結(jié)果。其中典型日選取夏季光伏大發(fā)日為典型日。隨機(jī)變量方法將全年負(fù)荷與可再生能源出力作為隨機(jī)變量輸入,同樣采樣500 個(gè)隨機(jī)場(chǎng)景?？紤]到傳統(tǒng)隨機(jī)變量法沒(méi)有考慮隨機(jī)變量的時(shí)序性,即沒(méi)有時(shí)序負(fù)荷和可再生能源出力曲線,無(wú)法計(jì)及儲(chǔ)能荷電狀態(tài)的時(shí)序變化,在傳統(tǒng)隨機(jī)變量法中沒(méi)有考慮到儲(chǔ)能的作用。

對(duì)比不同的相關(guān)性模型得到的計(jì)算結(jié)果,典型日方法由于只能考慮少量的光伏或負(fù)荷場(chǎng)景,得到的計(jì)算結(jié)果較為片面,而傳統(tǒng)隨機(jī)變量方法由于沒(méi)能考慮儲(chǔ)能的影響,得到的投資成本高,投建的線路更多。在本文方法中,基于GAUS 和RVINE 模型得到的配電網(wǎng)規(guī)劃結(jié)果基本相似,主要區(qū)別在于運(yùn)行成本的不同導(dǎo)致最終計(jì)算得到的總投資成本差異。這是由于不同相關(guān)性模型對(duì)于配電網(wǎng)運(yùn)行場(chǎng)景刻畫(huà)的不同導(dǎo)致的網(wǎng)損和限負(fù)荷、限新能源出力的區(qū)別?？紤]到RVINE 模型對(duì)高維分布式電源和負(fù)荷時(shí)序出力的擬合較好,相比較而言RVINE 模型得到的總投資成本更為準(zhǔn)確。

在3 個(gè)相關(guān)性模型中,變電站均未升級(jí),其主要原因是現(xiàn)有變電站容量大于首端饋線容量,升級(jí)變電站并不能提升分布式電源的消納能力。

4.3.2 機(jī)會(huì)約束規(guī)劃算例

本節(jié)利用機(jī)會(huì)約束模型研究不同限電概率對(duì)配電網(wǎng)規(guī)劃的影響。同樣,本節(jié)也同時(shí)考慮了IND、GAUS 和RVINE 這3 種不同的相關(guān)性模型對(duì)配電網(wǎng)規(guī)劃的影響。不同限電概率下的配電網(wǎng)規(guī)劃結(jié)果如表2 所示。

表2 不同相關(guān)性模型和限電概率下配電網(wǎng)規(guī)劃計(jì)算結(jié)果Table 2 Calculation results of distribution network planning with different correlation models and power limiting probabilities

根據(jù)表2 可知,隨著限電概率的逐步提升,需要升級(jí)和新增的線路逐步減少。這種關(guān)系與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)相符,更高的限電概率會(huì)帶來(lái)更少的極端負(fù)荷和可再生能源出力場(chǎng)景,進(jìn)而節(jié)省線路投資。通過(guò)控制限電概率值,運(yùn)營(yíng)商可以在投資風(fēng)險(xiǎn)和保守性之間權(quán)衡。此外,從表2 可以發(fā)現(xiàn),線路8-16、16-18 由于初始線路容量較小,限制了分布式電源的消納,在所有規(guī)劃方案中都需要升級(jí)。在GAUS 和RVINE 模型下規(guī)劃方案傾向于把負(fù)荷分布在分布式電源接入點(diǎn)周?chē)?從而減少向大電網(wǎng)汲取功率,最大限度地提高可再生能源利用率。在限電概率提高到一定程度后,分布式風(fēng)電的波動(dòng)給配電網(wǎng)帶來(lái)的影響降低,線路35-36 可暫緩升級(jí)。

在計(jì)算性能方面,不同限電概率下的計(jì)算時(shí)間如表3 所示。其中:“Big-M”表示僅采用Big-M 法對(duì)隨機(jī)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行建模,并直接用CPLEX 求解器求解；“Bilinear”表示采用雙線性法和McCormick 線性化方法對(duì)隨機(jī)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行建模,并調(diào)用CPLEX求解器求解；“Benders 分解”則表示聯(lián)合采用Benders 分解和CPLEX 求解器求解；F（N/A）表示沒(méi)有在指定時(shí)間（3 600 s）內(nèi)通過(guò)測(cè)試。從表3 可以明顯看出,在“Big-M”和“Bilinear”兩種模型下,CPLEX 求解器難以在給定時(shí)間內(nèi)完成限電概率大于5% 的機(jī)會(huì)約束規(guī)劃問(wèn)題的求解。相對(duì)而言,Benders 分解的效率遠(yuǎn)高于直接使用CPLEX 求解器求解,對(duì)于限電概率大于5%的場(chǎng)景唯有雙線性Benders 分解算法能夠求解,且小于15%限電概率的場(chǎng)景下雙線性Benders 分解的求解速度也快于CPLEX 求解器直接求解。可見(jiàn),雙線性Benders 分解具有較高的計(jì)算效率。

表3 不同配電網(wǎng)擴(kuò)展規(guī)劃算法下計(jì)算時(shí)間對(duì)比Table 3 Comparison of calculation time among different expansion planning algorithms of distribution network

場(chǎng)景數(shù)量的選取對(duì)隨機(jī)優(yōu)化結(jié)果也有一定影響,一般而言選取的場(chǎng)景越多,計(jì)算的結(jié)果越準(zhǔn)確。因此,圖6 展示了RVINE 模型在不同采樣場(chǎng)景數(shù)下的配電網(wǎng)規(guī)劃計(jì)算結(jié)果,計(jì)算方法為雙線性Benders分解。從圖6 中可以看出,計(jì)算結(jié)果隨著場(chǎng)景數(shù)的增長(zhǎng)逐步上升,當(dāng)場(chǎng)景數(shù)到達(dá)500 后計(jì)算得到的總投資成本趨于穩(wěn)定,計(jì)算得到的投資決策結(jié)果也趨于一致,算法能夠成功收斂。

圖6 不同場(chǎng)景數(shù)下雙線性Benders 分解的收斂情況Fig.6 Convergence of bilinear Benders decomposition with different scenario numbers

5 結(jié)語(yǔ)

本文將分布式電源和負(fù)荷的時(shí)序相關(guān)性引入配電網(wǎng)規(guī)劃中,利用截?cái)郣-Vine 模型構(gòu)造了超高維負(fù)荷與分布式電源的聯(lián)合概率分布,提出了基于混合整數(shù)隨機(jī)二階錐規(guī)劃的配電網(wǎng)擴(kuò)展規(guī)劃模型。同時(shí),為了避免極限場(chǎng)景對(duì)配電網(wǎng)規(guī)劃經(jīng)濟(jì)性的影響,還提出了基于機(jī)會(huì)約束規(guī)劃的配電網(wǎng)擴(kuò)展規(guī)劃模型。主要結(jié)論如下:

1）截?cái)郣-Vine 模型能夠方便地建立全天多時(shí)段分布式電源出力和負(fù)荷的高維聯(lián)合概率分布,并且能夠直觀地展示各時(shí)段各隨機(jī)變量的相關(guān)性情況。

2）通過(guò)對(duì)實(shí)際電網(wǎng)的計(jì)算分析發(fā)現(xiàn),分布式電源與負(fù)荷的時(shí)空相關(guān)性能夠明顯影響配電網(wǎng)擴(kuò)展規(guī)劃的結(jié)果,在實(shí)際配電網(wǎng)規(guī)劃中需要考慮分布式電源與負(fù)荷的時(shí)序相關(guān)性。

3）相比于同樣能夠擴(kuò)展到高維的Gaussian Copula 模型,本文提出的截?cái)郣-Vine 模型能夠更為準(zhǔn)確地捕捉可再生能源和負(fù)荷之間的高維相關(guān)性,基于截?cái)郣-Vine 模型的配電網(wǎng)規(guī)劃結(jié)果也更具參考價(jià)值。

值得注意的是,由于采用樣本平均近似法計(jì)算隨機(jī)優(yōu)化,本文計(jì)算結(jié)果和計(jì)算效率受場(chǎng)景數(shù)影響較大。后續(xù)研究應(yīng)當(dāng)通過(guò)改進(jìn)機(jī)會(huì)約束優(yōu)化算法,更好地融合配電網(wǎng)規(guī)劃中可再生能源出力的相關(guān)性與時(shí)序性。

本文研究得到南京工程學(xué)院高層次引進(jìn)人才科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目(YKJ202134)、江蘇省配電網(wǎng)智能技術(shù)與裝備協(xié)同創(chuàng)新中心開(kāi)放基金項(xiàng)目(XTCX202209)的資助，謹(jǐn)此致謝！

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