多途徑搭建平臺，發(fā)展空間觀念
——“由三視圖描述幾何體”的教學(xué)及其思考

樊貞慧（浙江省寧波市第七中學(xué)）

空間觀念是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）提到的核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一?？臻g觀念的內(nèi)涵包含了“根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象并表達(dá)物體的空間方位和相互之間的位置關(guān)系”，《標(biāo)準(zhǔn)》不僅將發(fā)展空間觀念作為核心概念和目標(biāo)，同時也在三個學(xué)段都重視了發(fā)展學(xué)生空間觀念的內(nèi)容設(shè)置。長久以來，傳統(tǒng)的教學(xué)方式往往停留在機(jī)械式地呈現(xiàn)立體圖形，缺少合理的組織方式，使“發(fā)展學(xué)生的空間觀念”流于形式。如何有效利用教材內(nèi)容發(fā)展學(xué)生的空間觀念？筆者認(rèn)為應(yīng)當(dāng)合理運用現(xiàn)實情境和學(xué)生經(jīng)驗，利用多種途徑搭建平臺。下面以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）“3.3 由三視圖描述幾何體”一課的教學(xué)為例，具體闡述對“空間觀念”的教學(xué)過程與思考。

一、教材分析

教材在第3章“投影與三視圖”中安排了4節(jié)課內(nèi)容來學(xué)習(xí)。本節(jié)課是在學(xué)生已有投影、畫簡單幾何體的三視圖的基礎(chǔ)上，反過來從三視圖想象幾何體或?qū)嵨锬Ｐ汀Ｓ捎诳臻g圖形是三維的，而平面圖形是二維的，從二維圖形向三維圖形轉(zhuǎn)換，對學(xué)生的空間想象力和推理能力有較高的要求。因此，本節(jié)課既要借助直觀使學(xué)生對抽象圖形有形象的感受，又要進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，為學(xué)生學(xué)習(xí)高中立體幾何打下基礎(chǔ)。本節(jié)課具有承前啟后的重要作用，也是發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要載體。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：學(xué)會根據(jù)三視圖描述出簡單幾何體的形狀或?qū)嵨镌?；?jīng)歷探索簡單幾何體的三視圖還原為幾何體的過程，進(jìn)一步發(fā)展空間想象力；讓學(xué)生學(xué)會關(guān)注生活中有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，在探索中養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)思維的習(xí)慣，獲得成功的體驗。

二、教學(xué)過程設(shè)計

1. 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

上課伊始，筆者利用多媒體演示如下問題：如圖1，你能根據(jù)以下信息制作這個幾何體模型嗎？長方體的長為20 cm，寬為10 cm，高為10 cm；圓柱底面半徑為5 cm，高為10 cm。

圖1

【設(shè)計意圖】創(chuàng)設(shè)情境的主要目的是體現(xiàn)由三視圖描述幾何體的必要性。在教學(xué)片斷中創(chuàng)設(shè)了這樣的情境：給出一個由圓柱體和長方體組合而成的幾何體，雖然給出了圓柱體和長方體的數(shù)據(jù)，但是由于未明確給出圓柱體在長方體上的確切位置，使得學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些信息不足以描述該幾何體，從而引發(fā)學(xué)生思考：是否有更好的方法描述這個幾何體？

接著，筆者介紹在實際生活中家具、汽車的建造往往從三視圖開始設(shè)計，體現(xiàn)三視圖描述的廣泛性和實用性，再次提出問題：如何根據(jù)三視圖想象幾何體？

【設(shè)計意圖】提出問題“能否確切描述幾何體”，讓學(xué)生初步感受三視圖描述幾何體的優(yōu)越性，再通過三視圖在實際生活中的廣泛應(yīng)用，啟發(fā)學(xué)生思考如何利用三視圖描述幾何體，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和強(qiáng)烈的求知欲望。

2. 合作學(xué)習(xí)，探索規(guī)律

筆者出示教材中的“合作學(xué)習(xí)”，讓學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行合作交流，然后由小組學(xué)生代表進(jìn)行個別回答，筆者追問：你是如何推斷的？幫助學(xué)生逐步體會從三視圖推斷幾何體的方法。

這里，對每組三視圖采用的策略是：學(xué)生描述推斷過程—電腦驗證—共同歸納方法。最后，學(xué)生談體會，從中歸納出由三視圖描述幾何體的一般方法：視圖想象、綜合定形和確定尺寸位置。

【設(shè)計意圖】學(xué)生通過獨立思考，再進(jìn)行合作探究，往往會形成學(xué)生自己的個人經(jīng)驗。在這個環(huán)節(jié)中，教師通過追問學(xué)生如何推斷來暴露學(xué)生的思考過程，進(jìn)而固化為經(jīng)驗，再上升到方法，從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，符合學(xué)生的心理特點，也體現(xiàn)了學(xué)生的實際認(rèn)知過程。

為了鞏固學(xué)生體會的經(jīng)驗和獲得的方法，教師設(shè)計練習(xí)：如圖2，根據(jù)兩組三視圖推斷幾何體。

圖2

【設(shè)計意圖】雖然給出兩組不同的三視圖，但是認(rèn)真思考可以發(fā)現(xiàn)兩組三視圖描述的是同樣的幾何體——直三棱柱，使學(xué)生感受“不同的三視圖，可能表達(dá)的是同一幾何體的不同擺放方式”。通過練習(xí)，學(xué)生進(jìn)一步熟悉了由三視圖推斷幾何體的方法，同時也為后續(xù)練習(xí)做了較好的鋪墊。

3. 視圖計算，體現(xiàn)應(yīng)用

學(xué)生利用已有經(jīng)驗，根據(jù)如圖3所示的三視圖，推斷其表示的幾何體，再結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)計算側(cè)面積，同時歸納出計算直棱柱側(cè)面積的方法，即底面周長×高。

圖3

【設(shè)計意圖】給出視圖尺寸，將三視圖與物體更緊密地聯(lián)系起來，進(jìn)一步鞏固了由三視圖推斷幾何體的方法，體現(xiàn)了三視圖描述幾何體的特點。

接著，筆者給出如下配套練習(xí)。

練習(xí)1：如圖4，推斷三視圖表示的幾何體，并計算側(cè)面積。

圖4

練習(xí)2：用相同大小的小立方塊搭幾何體，它的主視圖和俯視圖如圖5 所示，這樣的幾何體需要幾塊小立方體？

圖5

練習(xí)3：用6個相同的小立方塊搭幾何體，它的俯視圖如圖6所示，能搭多少種不同的幾何體？

圖6

【設(shè)計意圖】三個練習(xí)依次遞進(jìn)。練習(xí)1 給出了三個視圖，推斷幾何體并計算側(cè)面積，需要學(xué)生對范例進(jìn)行模仿；練習(xí)2 給出兩個視圖，推斷幾何體，學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何體有多種情況；練習(xí)3 給出一個視圖，并通過同一個幾何體的不同放置方式與上述內(nèi)容聯(lián)系起來。三個練習(xí)從“三視圖—二視圖—一視圖”，難度逐步提高，挑戰(zhàn)學(xué)生思維。

4. 寓教于樂，拓寬視野

筆者給出如下游戲：有一個人，收藏了三只形狀各異的瓶子，它們的瓶口形狀分別如圖7 ～9 所示。現(xiàn)在他想做一只瓶塞，對三個瓶子都適用，能做到嗎？發(fā)揮你的想象力，用橡皮泥嘗試設(shè)計。

圖7

圖8

圖9

【設(shè)計意圖】不僅在生活中可以由三視圖描述幾何體，利用三視圖也能設(shè)計游戲。在練習(xí)中，主要以規(guī)則形狀描述幾何體。為了激發(fā)學(xué)生的深度思考，本環(huán)節(jié)設(shè)計為游戲形式，加大圖形的復(fù)雜程度，利用橡皮泥，讓學(xué)生在動手、動腦中鍛煉其動手能力和空間想象力。

接著，筆者介紹數(shù)學(xué)史上著名的“牟合方蓋”，拓寬學(xué)生的視野。你能想象出三個視圖分別是兩個半徑相等的圓和一個正方形的幾何體嗎？“牟合方蓋”就是這樣的幾何體，并利用“牟合方蓋”找到了球體體積的計算方法。

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)中通過對“牟合方蓋”的欣賞，介紹我國古代數(shù)學(xué)家的成就，體現(xiàn)了三視圖的廣泛應(yīng)用，潛移默化地傳播了數(shù)學(xué)文化。

5. 總結(jié)歸納，反思課堂

根據(jù)三視圖描述簡單的幾何體，你有哪些方法或經(jīng)驗？幫助學(xué)生整理方法。

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)的梳理由三視圖描述幾何體的方法和經(jīng)驗，學(xué)生在思考整理中進(jìn)一步體會推斷幾何體的方法和經(jīng)驗，并在相互交流分享中共同提高。

三、教學(xué)反思

本節(jié)課從“為什么要利用三視圖描述幾何體？如何利用三視圖描述幾何體？利用三視圖描述幾何體有哪些應(yīng)用？”三個方面循序漸進(jìn)地整體架構(gòu)教學(xué)，體現(xiàn)了幾何對象的研究規(guī)律，遵循了學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的特點，注重發(fā)展學(xué)生的空間觀念，主要體現(xiàn)在以下三個方面。

1. 合理運用現(xiàn)實情境和學(xué)生經(jīng)驗，發(fā)展空間觀念

空間觀念的形成基于對事物的觀察和想象，而現(xiàn)實世界中的物體及其關(guān)系是學(xué)生觀察的最好材料，學(xué)生的已有經(jīng)驗也是觀察、想象、分析的基礎(chǔ)。在教學(xué)中，筆者給出學(xué)生熟悉的實物模型，讓學(xué)生感受使用三視圖描述幾何體的必要性，又通過現(xiàn)實生活中的汽車、家具等實物展示，通過觀察讓學(xué)生從現(xiàn)實模型感悟如何描述幾何體。

2. 搭建操作、思考和想象的平臺，發(fā)展空間觀念

發(fā)展學(xué)生的空間觀念有多種途徑，如生活經(jīng)驗的回憶與再現(xiàn)、實物觀察與描述、擺拼與畫圖、折紙與展開、分析與推理，在教學(xué)中關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)匕才艑W(xué)生的活動，讓學(xué)生在活動中獲得切身的體驗。通過三個層級遞進(jìn)的練習(xí)，從三視圖到二視圖再到一視圖，學(xué)生通過畫圖、思考和想象，感悟三視圖與幾何體之間的關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象力。

3. 及時梳理、歸納經(jīng)驗強(qiáng)化認(rèn)知，發(fā)展空間觀念

學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)不是一蹴而就的，它需要經(jīng)驗的不斷積累和認(rèn)知的不斷強(qiáng)化。在本節(jié)課教學(xué)中，教材提供了三組根據(jù)三視圖想象幾何體的素材，學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)說出結(jié)果時，筆者及時追問怎么想的，通過學(xué)生思維過程的暴露不斷總結(jié)出有序思考的經(jīng)驗：視圖想象、綜合定形和確定尺寸位置。在練習(xí)中，使學(xué)生感受“不同的三視圖，可能表達(dá)的是同一幾何體的不同擺放方式”。這些經(jīng)驗有助于學(xué)生更好地認(rèn)識幾何體，強(qiáng)化對圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識，從而發(fā)展空間觀念。