在初中數(shù)學章前課中讓大概念落地的基本策略

周 煉

(泰州市第二中學附屬初中， 江蘇 泰州 225300)

一、現(xiàn)狀分析

(一)章前課教學現(xiàn)狀

當下初中數(shù)學課堂比較顯著的三個問題是：散、低、淺。散是指學生接受的碎片化知識學習較多，少有學生會主動置身于系統(tǒng)、框架中感悟知識；低是指將數(shù)學學習定位于知識的記憶與技能的訓練，不會用高眼光統(tǒng)攝所學內(nèi)容，導致知識積累增多后學習負擔加重；淺是指很多學生看似會做很多數(shù)學題，能記住很多公式，但實質(zhì)上僅僅將數(shù)學學習停留在了形式化、符號化階段。章前課突破了常規(guī)教學在碎片知識鏈條上爬行，以線性結(jié)構(gòu)推進教學進程，在“分—總”教學結(jié)構(gòu)中逐漸積累整體觀念的現(xiàn)狀，以關鍵問題、核心任務為引領，驅(qū)動知識背后的框架與意義系統(tǒng)，呈現(xiàn)出“總—分—總”的新教學樣態(tài)。通過章前課教學，可以對后續(xù)章內(nèi)學習作更加理性、精準的預判，及時根據(jù)學生的學情調(diào)整教學設計與課程安排，能讓單元教學更加科學、有序地推進。

(二)大概念研究現(xiàn)狀

2018年頒布普通高中各學科課程標準，其中“重視以學科大概念為核心，使學科內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”的具體要求將以大概念為統(tǒng)領的單元教學推向了教育改革的熱潮，為當今時代培養(yǎng)什么樣的人，如何落實學生的核心素養(yǎng)指明了方向。很多一線教師在政策解讀時容易將大概念與概念相混淆，事實上學科的一般概念有嚴格的界定方式與相對固定的傳遞、流動渠道，而大概念則是一個比較模糊的意義系統(tǒng)，是凌駕于普通概念之上的。也正由于這樣的模糊性與抽象性讓大概念在基礎教育中的落實面臨著很多困難，如何將其融入日常教學中還有待研究，至今也并未有明確的能一以貫之的設計模式。

二、大概念下設計并開展章前課的價值取向

(一)大概念的內(nèi)涵

大概念不是看得見、摸得著的事實，是一種基于事實抽象、概括的產(chǎn)物，能深化學科思維、聯(lián)結(jié)多方知識水平，形成讓事實更容易被接受與內(nèi)化的概念錨點。其背后暗藏了一個偌大的意義世界，能對真實世界進行深刻解讀，承載了該學科的構(gòu)建體系以及相應的專家思維。從認識論方面看，學生可以通過大概念尋求世界觀，是體悟世界、洞察現(xiàn)象的重要工具；從學習論方面看，有著高度概括性、抽象性的大概念是學生探索真實世界的重要手段，是能搜尋所學知識并完成相應任務的上位準則；從價值論方面看，大概念有著激發(fā)思辨意識、塑造價值觀、發(fā)展核心素養(yǎng)的育人作用。大概念往往能作為一種態(tài)度、理解被長久地保存下來，潛移默化地影響著人們的行事風格與認知方式。

(二)大概念的特征及落地困境

1.大概念具有隱蔽性

大概念一般不會表露在知識淺層，往往需要經(jīng)過一番探究才能逐漸顯現(xiàn)，并且這個過程是抽象、緩慢的，在反復中獲得的。初中數(shù)學教材中很多定理、公理都是經(jīng)過幾十年甚至幾百年的艱難發(fā)展、推翻重建后才呈現(xiàn)于教材之中，但大部分知識都被教師當成“既定事實”來教。將專家長期探索的結(jié)果直接告知學生，學生接收到的僅僅是未經(jīng)體驗的專家結(jié)論，而非專家思維，甚至教師在定位大概念時也可能會出現(xiàn)偏差，大概念的落地也就無從談起。

2.大概念具有抽象性

圍繞大概念的討論是站在宏觀層面的，一般來說層次越高的大概念越為抽象，但反之能輻射的面就會越廣，能流暢、靈活地遷移到各種符合大概念主旨的未知情境中去。數(shù)學本身是一門抽象性強的學科，那么大概念就是建立在抽象之上的抽象，要完全站在概念結(jié)構(gòu)的角度讓學生理解數(shù)學是較難內(nèi)化或毫無興趣的，如果沒有足夠真實的情景支撐、完整的任務式體驗很容易讓大概念浮在空中無法落地。

3.大概念具有交叉性

學科性是大概念的一大特征，能反映學科的主要觀點與思維方式，并從學科的特有角度、固有模式對事物進行分析、組織與思考，但當知識、觀念的積累達到一定程度時，大概念的種類會越來越豐富，學習便自然從主題性理解上升到了架構(gòu)性遷移，此時若不跨過知識屏障，打破學科壁壘，與其他學科產(chǎn)生意義聯(lián)結(jié)，大概念便很難再成為學生復雜地看待這個世界的中心樞紐。

4.大概念具有開放性

基于大概念的學習是建立在深度理解之上的，這種理解是持久、穩(wěn)定、有強大結(jié)構(gòu)支撐的，會跨越時間和文化得以長存，但這并不意味著大概念就是一成不變的。對待大概念要時刻保持開放、質(zhì)疑、反思的態(tài)度，以便在找到新證據(jù)時隨時改變想法。若依舊以教材為權(quán)威，以教師為信條，便不具備自我進化的建構(gòu)能力，此時的大概念如同虛設，是無法被理解、接納并走進學生內(nèi)心的。

(三)章前課與大概念特征的一致性分析

1.外通內(nèi)圍的結(jié)構(gòu)一致性

以大概念來組織章前課與其自身的兩個維度有關。從橫向視角看，章前課的設計與開展能揭示出新舊知識之間的遞進關系，引導學生運用已有知識解決未知問題，從而促使章內(nèi)知識發(fā)展進程逐漸清晰、明朗；從縱向視角看，章前課所處的單元視角是高于課時視角的，通過章前課對單元概念進一步提煉、抽象、概括能得到更具普遍意義的理解模式，從而更好地實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)的改造[1]。大概念作為概念系統(tǒng)的中心樞紐與章前課一樣處于外通內(nèi)圍的位置，都能夠很好地拓展各自領域內(nèi)的縱橫關系。例如，有理數(shù)、整式的加減、冪的運算、整式乘法、分式、根式等在初中數(shù)學課程體系中是非連續(xù)的，而且每一種代數(shù)運算都有專屬的運算系統(tǒng)，可以作為教學的獨立單位。但如果以“運算是通過已知量的可能組合獲得新的量，本質(zhì)上是集合之間的映射”這一大概念為統(tǒng)領，那么無論上述提到哪一種運算都構(gòu)成了一致性。在章前課中融入這一大概念，既能以算法算理的相似性促使不同種類運算的橫向擴展，也可以在不同運算對象的反復研究中加深對這一大概念的理解，在共性與差異的對比中逐步形成縱向延伸。

2.以少御多的觀念一致性

常規(guī)課教學由于目標明確、教學任務重，很難在一節(jié)課內(nèi)留給學生寬裕的思考時間，而章前課一般沒有硬性的知識與技能目標，教學內(nèi)容看似較少但實質(zhì)上是把課堂主動權(quán)交給學生的一種轉(zhuǎn)型，以此引發(fā)對章學習價值與研究背景更“多”的關注。另一方面，章前課能從整體角度化解建構(gòu)知識的復雜性，在面對龐雜與凌亂的知識體量時可以做必要的“減法”，以少的內(nèi)容承載多的內(nèi)涵。這里的減法是指將章內(nèi)的重要思想提取出來，以精簡的結(jié)構(gòu)凸顯章研究主題，組織起松散的點狀知識，從而形成網(wǎng)狀連接以能容納更多的意義。大概念是處于學科中心的知識聚集點，是能刻畫章內(nèi)容的思維地圖，是能辨別重難點的指南針，要能以少而精的觀念把握這個世界的運行規(guī)律與背后的專家思維方式。如此，章前課與大概念都看起來少卻蘊含著多，又都能將煩瑣的多煉制為精簡的少，這在以少御多的觀念上也是不謀而合的。

三、基本策略分析

(一)合理選擇大概念

在新進知識日新月異的今天，每天都會有層出不窮、急劇膨脹的信息涌現(xiàn)，大概念作為處理信息的中心樞紐，應該是精心挑選后能與更多事物產(chǎn)生關聯(lián)的中心概念。由于章前課教學要能統(tǒng)攝整章內(nèi)容的學習，所以應站在宏觀層面，兼顧整體建構(gòu)與分課時教學的不同需求，以精簡的形式提取數(shù)量少、概括性強的大概念，讓學生在章前課學習中能有所聚焦、有所體驗。確定合適的大概念是讓大概念落地、從隱蔽走向顯著的基本前提，下面結(jié)合初中數(shù)學的學科特點與相關教學實踐闡述選擇大概念的四種方法。

1.解讀課程標準

數(shù)學課程標準是國家制定的關于義務教育階段的政策性綱領，具有義務性、普遍性和基礎性，是面向全體學生的基本要求。無論是哪種大概念的提取都應該遵循課程標準的基本理念，并且課程標準本身就是關于學科知識的高度提煉，很多大概念是可以直接從中摘錄過來的，但是要注意相關語句是否具備統(tǒng)領性，能否關聯(lián)大多數(shù)核心知識。

例如在對《代數(shù)式》章前課進行教學設計時，查閱課程標準發(fā)現(xiàn)本章所屬第四學段的數(shù)與代數(shù)部分共有三個子標題，分別是數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)，而這三個標題本身就可以作為統(tǒng)攝代數(shù)學習的大概念，代數(shù)式的章前建構(gòu)便可以圍繞這三個大概念展開。具體的可以設計一個用火柴棒搭小魚的實驗，分別從“數(shù)”“式”“方程”“不等式”“函數(shù)”五個維度設計對應的探究問題：搭1個小魚需要火柴棒多少根？搭100個小魚需要火柴棒多少根，你能用一個式子來描述以上規(guī)律嗎？用80根火柴棒能搭多少個小魚？不少于1000根火柴棒至少能搭多少個小魚？當小魚的數(shù)量增大或減小時，火柴棒的根數(shù)是否隨之改變？這五個指向大概念的問題不僅便于學生從不同的視角深度理解代數(shù)式，而且也自然地將初中階段“數(shù)與代數(shù)”體系的大致輪廓勾勒了出來。

2.融入生活視角

懷特海曾經(jīng)說過：“教育只有一個主題，那就是多姿多彩的生活本身?！盵2]選擇大概念時應該將章內(nèi)容與生活情境相結(jié)合，找到學科本質(zhì)與生活實用性之間的平衡點，從而建立數(shù)學與生活的聯(lián)系。當然這需要教師有豐富學科知識的同時還要有足夠的生活體驗，要能在生活中體悟數(shù)學哲學，在數(shù)學中反饋生活價值。如果教師在這方面有所匱乏，可以參照教材中的章前圖與章引言，其中會提供一些案例以便更好地從生活視角提取大概念。

例如在蘇科版八年級下冊第8章《認識概率》的章前圖中給出釘尖不著地的頻率圖，足球場上裁判正在判定一場比賽的輸贏，從不透明的口袋中進行摸球游戲等情境，在章引言的導讀環(huán)節(jié)還有“事件發(fā)生的可能性有大有小，概率度量事件發(fā)生可能性的大小”“本章將研究事件發(fā)生可能性的大小，并通過大量重復實驗，用事件發(fā)生的頻率來估計概率”等描述。通過這些信息再聯(lián)系生活實際，可以提取出“性質(zhì)不同的主體發(fā)生某個事件的可能性大小可以通過多次實驗進行估計”這一大概念，圍繞這一大概念可以設計一些易于課堂操作的概率實驗作為章前課的探究環(huán)節(jié)，如拋硬幣、拋尖頂、擲骰子等，并輔以記錄數(shù)據(jù)、團隊合作、方案設計等形式讓學生獲得關于概率的豐富體驗。

3.概念相互演變

概念演變可以分為兩種類型：一是概念派生[3]，即自上而下地由一個大概念分化出若干個大概念；二是概念升華，即由具體的學科概念出發(fā)，通過弱化概念信息逐步向上抽象，自下而上地得到覆蓋面更廣的大概念，具體的方式可以是從現(xiàn)象到本質(zhì)、從事實到價值、從特殊到一般、從部分到整體等[4]。

例如，在《軸對稱圖形》一章中，我們可以依據(jù)“很多事物具備對稱性的研究價值”這一大概念進行派生，得到“很多幾何圖形具備對稱性的研究價值”，從而將大概念聚焦于幾何學的特定視角，當再進一步派生為“幾何圖形關于點、線、面對稱性的研究價值”后，大概念下的章前建構(gòu)就有了更加明晰的操作路徑。反過來，從章內(nèi)具體小節(jié)的知識、技能要求出發(fā)，可以得到“探索并證明角平分線的性質(zhì)定理與判定定理”的學科概念，此時可以將其升華為“探索一個幾何圖形的對稱性可以從性質(zhì)與判定這兩方面入手”的大概念，這樣便從“互逆命題”的雙向視角進一步增加了章前課的探索維度。事實上，無論是自上而下的派生還是自下而上的升華，兩種不同的切入方式都能讓提取的大概念更豐滿、精準、合理、有效。

4.指向素養(yǎng)發(fā)展

當今初中數(shù)學教育非常注重核心素養(yǎng)的發(fā)展，數(shù)學核心素養(yǎng)是指通過數(shù)學學習形成的價值觀、世界觀、關鍵能力與必備品格，其中蘊意著需要培養(yǎng)怎樣的人的基本要求。在最新頒布的2022版義務教育階段數(shù)學課程標準中就給出了抽象能力、推理能力、幾何直觀等具體核心素養(yǎng)，可以為大概念的提取提供更加精準的理論依據(jù)。

例如，在《一元二次方程》一章中數(shù)學建模是最能體現(xiàn)章學習價值的核心素養(yǎng)之一，這其中包括對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題，用數(shù)學知識與方法構(gòu)建模型，通過結(jié)果與條件的相關性對模型進行修正與優(yōu)化等方面。章前課的設計可以圍繞著“數(shù)學建?！边@一大概念展開，創(chuàng)設一個樹枝被風吹斷的情景，通過頭腦風暴的形式讓學生根據(jù)情境自己提出問題，以問答形式回顧與該情境的有關的數(shù)學知識，如勾股定理、周長與面積公式、完全平方公式、等腰三角形的性質(zhì)等，隨后將其抽象為一個純數(shù)學圖形，再讓學生自己給出條件、設計問題，建立一元二次方程模型，引導學生在嘗試解方程的過程中逐步完善對一元二次方程概念的界定，從而理清本章的研究內(nèi)容與路徑。

(二)建立問題群與任務群

要通過數(shù)學學習發(fā)展學生的核心素養(yǎng)，形成應對復雜任務的能力，就要從“校內(nèi)價值”走向“校外體驗”，圍繞大概念解決真實世界中的機遇和挑戰(zhàn)，在實踐的境脈中以言行共構(gòu)知識、以互動改造世界。章前課設計與開展的立意正是為了消除碎片化、淺顯化、模式化的教育弊端，希望學生在章前課的學習中獲得解決綜合問題的能力以及終身學習的意識，而不僅僅是單方面自上而下地傳遞知識。由此看來，章前課中問題與任務的設計要確保真實、有挑戰(zhàn)性、能激發(fā)探究欲望，同時還要兼具統(tǒng)領性、聚合性和發(fā)散性，有明確的評價方式，致使學生在問題與任務的鏈條驅(qū)動下構(gòu)建章全局觀，下面將從任務清單設計與滾雪球式教學兩個方面依次進行闡述。

1.以大概念設計問題群與任務群清單

在選擇合適的大概念后，基于大概念的表現(xiàn)性目標、相關素養(yǎng)要求以及現(xiàn)有思維水平設計出能突出章知識內(nèi)容、章思想方法、章研究價值的主問題與主任務。在此基礎上對主問題與主任務做進一步分析，通過關聯(lián)、綜合、具體化、操作化等方式設計出一系列條理清晰、層次分明的支問題與支任務，從而建構(gòu)起以大概念為中心的問題群與任務群清單。這列清單更像是一條通道，在問題群與任務群的交叉驅(qū)動下引發(fā)學生對于大概念的持續(xù)性關注，整合與章內(nèi)容相關的情境、策略、資源，以發(fā)散狀的形式構(gòu)建可以縱橫延伸的知識框架，并通過真實體驗將外部行為與信息內(nèi)化為框架中的關鍵元素來統(tǒng)領整章的學習。

例如在《三角函數(shù)》的章前課中，緊扣“數(shù)學建?！迸c“探索并描述幾何元素之間的關系”這兩個大概念，設計了如下問題群與任務群清單(見表1)，使章前課的問題與任務目標清晰可見。

表1 圍繞大概念設計的《銳角三角函數(shù)》章前課問題群與任務群清單

2.指向?qū)＜宜季S的“滾雪球式”教學

專家思維是指跳脫知識、信息本身的限制，以獨特的學科視角理解世界，像專家一樣思考問題的能力。正如珀金斯所說：“基礎教育應該塑造業(yè)余的專家，并非必須習得專業(yè)知識，只有業(yè)余的專家才能隨意、靈活地調(diào)度并使用知識。”[5]專家系統(tǒng)知識的這種生命力正來源于真實情境，但若問題、任務與真實世界之間缺乏關聯(lián)，那么專家思維便很難形成，也就無法透過表象深度挖掘章研究價值，理清章知識脈絡。腦科學研究表明，專家的知識是靠大概念組織起來的，專家在某一知識領域的鉆研越深入，其以大概念為中心的認知網(wǎng)絡就越豐富，當專家遇到需要解決的問題時，組織零碎信息的正是大概念。由此看來，在列出清單的基礎上需要以大概念為中心繼續(xù)尋求更多與之相關的關鍵詞，通過“滾雪球”式的教學以螺旋式的組織邏輯貫穿于章學習始末，從而產(chǎn)生持續(xù)性的積累效應[6]。

依舊是在《三角函數(shù)》的章前課中，在列出清單的基礎上可以設計如下的“滾雪球式”的教學圖示(見圖1)，當然這并不意味著要在章前課中將以上圖式完全呈現(xiàn)給學生，而是在教學中或多或少地進行滲透，通過“滾雪球”的方式讓大概念逐漸被賦予更多真實世界的內(nèi)涵。

圖1 圍繞大概念設計的《銳角三角函數(shù)》“滾雪球式”教學圖式

(三)融入跨界元素

很多學科之間的大概念是有公共交集的，能反映出共性的思想與過程，例如數(shù)學學科中的計算、建模、推理、假設、證明、整體等大概念均能延伸到其他學科領域。那么如何讓大概念的交叉性落地使跨界學習變?yōu)榭赡苣?？首先，既然能與所跨學科產(chǎn)生融合，那么大概念的層級是相對高的，唯有站在單元教學的高度才能引發(fā)同頻共振，所以在章前課中嘗試這種跨界是合理的；其次，要融入跨界元素就要先探索開發(fā)不同學科但大概念導向一致的課程資源，可以通過聚焦國家前沿技術發(fā)展的案例，立足學生的知識經(jīng)驗與基礎等方式搜集相關材料，在這些過程中教師與學生的眼界都得到了開闊，對章研究價值會形成更加深刻且多樣化的理解；最后，在確定課程資源后，要組織好學科與跨學科融合的形式，充分利用大概念在兩個領域內(nèi)的流動性，既可以根據(jù)跨學科情境幫助學生形成學科大概念，也可以利用學科大概念解決跨學科問題。

例如在《圓》的章前課中，為了讓學生感悟圓的研究價值，可以融合工業(yè)設計開發(fā)“制作一個車輪”的任務群，學生在探索不同形狀車輪對于運行效果影響的過程中便能得到“到頂點距離為定長的點集”這一學科概念，若從跨學科視角看便可以繼續(xù)上升為“研究有某種性質(zhì)的點集構(gòu)成的圖形具有實用價值”，而這一大概念有更高的推廣價值。再比如設計“探索衛(wèi)星與最遠觀察點之間距離”的任務群，以天文知識為載體凸顯直線與圓位置關系的研究價值。具體過程為先讓學生了解衛(wèi)星信號發(fā)射、接受的相關知識，再通過動畫實景模擬、畫圖操作發(fā)現(xiàn)衛(wèi)星發(fā)出信號到地球接受的最遠點其實就是信號傳播路線與地球抽象幾何體的唯一公共點，這不僅為后期學習切點、切線、切線長等概念埋下伏筆，而且可以將其進一步上升為“定量計算”“點與點集之間的位置關系轉(zhuǎn)化”等大概念，在學科融合中發(fā)展思維、提升素養(yǎng)、獲得技能，同時又引領了后續(xù)需要探索的章內(nèi)容，埋下了要建構(gòu)的知識主線。

(四)組織挑戰(zhàn)與質(zhì)疑

學習不是一件簡單的事情，是一種會引發(fā)復雜理解的腦力勞動，這同時需要高度的自我約束、自我導向和延遲滿足，若不能讓學生在學習中感到新意便很難全程保持專注。教師可以圍繞大概念適當選擇一些刺激、新穎、沖突、不協(xié)調(diào)的探索內(nèi)容置于章前課中，在一開始就抓住學生的眼球，使其對后續(xù)的學習投入更多的期待與精力，在觀念解構(gòu)與重構(gòu)的過程中加深對大概念的理解。在初中數(shù)學教材中有很多與數(shù)學史、著名數(shù)學定理有關的章內(nèi)容，教師可以引導學生站在巨人的肩膀上深度思考、發(fā)表見解、提出質(zhì)疑。

例如在《有理數(shù)》《勾股定理》《平面直角坐標系》這三章中對應的大概念分別是“有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別在于形式上的劃分”“從升維視角出發(fā)研究邊長的數(shù)量關系”“數(shù)與形對應關系的刻畫與表達”，以此為依據(jù)可以設計三個具有一定沖突性、開放性、能引發(fā)學生思考與質(zhì)疑的問題與任務，分別是“你還有不同的以形式特征來對數(shù)進行分類的方法嗎？現(xiàn)在已有的分類方式一定科學嗎？”“你是如何想到研究邊的平方的？你準備借助于什么測量工具研究邊的平方？”“平面直角坐標系有什么使用的局限性嗎？你能對其進行優(yōu)化嗎？”當這些問題提出來后會激發(fā)出學生強烈的好奇心，能第一時間吸引學生的注意，并且真實地感受到數(shù)學家第一次得出結(jié)論時的興奮、疑惑，體會先驅(qū)理解未知事物的過程，使自己也像專家一樣提出問題、測試觀點，再重建觀念。通過這樣的學習，學生接受到的便不再是“虛無縹緲”的真理，而是能充分代入的自身情感與體驗。

四、結(jié)束語

融入大概念的教學聚焦于概括性概念的深度理解與獲得，是基于學生的興趣、需要、經(jīng)驗，當下知識結(jié)構(gòu)與認知水平而設計的，是一種獨立、合作、感受的自主建構(gòu)模式。隸屬于單元教學的章前課能與大概念較好地貼和，在過去與未來、新知與舊知之間打開一個生長隧道。大概念在這一隧道中能沖破文化、學科、時間等限制，在學生認知系統(tǒng)的縱橫結(jié)構(gòu)中流通起來，繼而解決更具挑戰(zhàn)性、真實性的復雜問題，以此培養(yǎng)學生的思維發(fā)散力、創(chuàng)造想象力與交往適應力，能更好地應對未來世界對個體、社會乃至國家提出的更高挑戰(zhàn)?！?/p>