基于Weibull 分布的凍結(jié)砂巖損傷本構(gòu)模型研究

伊 明，趙 濤，馬飛飛，王 磊，袁 超

(1.中鐵十六局集團(tuán)第五工程有限公司，河北 唐山 064000；2.西安科技大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，陜西 西安 710054；3.山東水利職業(yè)學(xué)院 建筑工程系，山東 日照 276826)

巖石在復(fù)雜的地下環(huán)境中歷經(jīng)長(zhǎng)時(shí)間各種地質(zhì)作用，材料內(nèi)部存在許多原生缺陷，如線缺陷、面缺陷和體缺陷[1-3]。西部侏羅系煤層開發(fā)過程中，立井需穿越深厚白堊系砂巖地層，其強(qiáng)度低、孔隙率高，在凍結(jié)過程中因孔隙水凍脹導(dǎo)致原生裂隙擴(kuò)展和局部應(yīng)力變化出現(xiàn)新生裂隙，這些變化都會(huì)導(dǎo)致人工凍結(jié)砂巖力學(xué)特性的改變，進(jìn)而影響凍結(jié)鑿井凍結(jié)壁的穩(wěn)定性[4-5]。

凍結(jié)法施工過程中，因復(fù)雜的應(yīng)力環(huán)境和地質(zhì)條件，嚴(yán)重影響凍結(jié)圍巖體的強(qiáng)度和穩(wěn)定性。因此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)溫度和圍壓對(duì)凍結(jié)巖石強(qiáng)度的影響展開了大量研究，并取得系列研究成果。夏才初等[6]分析了飽和砂巖在不同環(huán)境工況下的凍脹變形規(guī)律；劉波[7-8]、楊更社[9]等對(duì)不同圍壓、凍結(jié)溫度及不同初始含水率的凍結(jié)砂巖強(qiáng)度特性展開了系統(tǒng)研究；訾凡等[10]基于核磁共振試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，未凍水含量和孔隙冰含量決定了不同飽和度泥質(zhì)粉砂巖的凍結(jié)強(qiáng)度。另外，蠕變破壞是誘發(fā)凍結(jié)壁變形的顯著特點(diǎn)之一，基于此特點(diǎn)，相關(guān)學(xué)者[11-12]開展了凍結(jié)砂巖的三軸蠕變?cè)囼?yàn)研究，建立了考慮溫度及損傷效應(yīng)的蠕變本構(gòu)模型。劉波等[13]則研究了白堊系凍結(jié)砂巖解凍過程中的蠕變力學(xué)特性，并基于分?jǐn)?shù)階理論，建立非線性蠕變本構(gòu)方程。以上研究成果從宏細(xì)觀角度系統(tǒng)揭示了凍結(jié)軟巖的力學(xué)特征，但針對(duì)內(nèi)部損傷演化與宏觀力學(xué)性質(zhì)變化的量化機(jī)制缺乏深層次研究，這也是分析凍結(jié)砂巖力學(xué)性質(zhì)的關(guān)鍵。

目前，有關(guān)凍結(jié)及凍融環(huán)境下巖石的非均質(zhì)性和內(nèi)部損傷變化研究，一方面是進(jìn)行室內(nèi)試驗(yàn)，借助X 射線、CT 掃描、核磁共振及電鏡等進(jìn)行細(xì)觀識(shí)別，并借助數(shù)字圖像技術(shù)定量分析內(nèi)部裂隙擴(kuò)展演化規(guī)律[14-17]。另一方面，從理論上假定巖石內(nèi)部裂隙服從統(tǒng)計(jì)學(xué)分布規(guī)律(如Weibull 分布、正態(tài)分布等)，結(jié)合巖石最大應(yīng)變準(zhǔn)則、Drucker-Prager(D-P)準(zhǔn)則和Mohr-Coulomb(M-C)準(zhǔn)則等不同強(qiáng)度準(zhǔn)則研究巖石的非均質(zhì)性變化規(guī)律。D-P 破壞準(zhǔn)則具有表達(dá)式簡(jiǎn)單、參數(shù)少等優(yōu)點(diǎn)，得到廣泛應(yīng)用，如曹文貴等[18]采用D-P 破壞準(zhǔn)則，提出了新的巖石微元強(qiáng)度表征方法，為巖石微元強(qiáng)度的確定提供了一種新思路；張慧梅等[19-20]基于D-P破壞準(zhǔn)則從Weibull 分布的角度出發(fā)，運(yùn)用損傷力學(xué)理論，考慮凍融與荷載的耦合作用，建立了巖石總損傷模型，分析了凍融巖石的損傷演化規(guī)律；Li Gen等[21]基于統(tǒng)計(jì)學(xué)建立巖石的非均質(zhì)性分析模型，分析巖石在破壞過程中非均質(zhì)演化規(guī)律，定量反映該過程中巖石的單元尺寸、微裂隙變化規(guī)律；N.Guy 等[22]采用室內(nèi)試驗(yàn)并結(jié)合Weibull 分布，分析了加載過程中參數(shù)的變化規(guī)律，間接預(yù)測(cè)裂紋開裂擴(kuò)展情況；R.Pakza 等[23]考慮巖石滲透系數(shù)的影響，模擬分析了巖石滲透與裂紋擴(kuò)展的影響；K.Weddfelt 等[24]構(gòu)建隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系，研究硬巖在不同荷載下的裂紋擴(kuò)展情況及非均質(zhì)性演化規(guī)律。上述研究成果從試驗(yàn)角度和理論研究出發(fā)，對(duì)凍結(jié)和凍融環(huán)境條件下巖石的強(qiáng)度、蠕變特性展開了大量研究，但考慮凍結(jié)條件下巖石非均質(zhì)性隨凍結(jié)溫度變化的損傷本構(gòu)關(guān)系研究較少。

因此，基于Weibull 分布函數(shù)在分析巖石類材料內(nèi)部裂隙變化具有的優(yōu)勢(shì)，以D-P 破壞準(zhǔn)則結(jié)合Weibull 隨機(jī)分布理論建立凍結(jié)砂巖的隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系，并結(jié)合不同凍結(jié)溫度砂巖三軸壓縮試驗(yàn)對(duì)本構(gòu)模型進(jìn)行修正與驗(yàn)證，在此基礎(chǔ)上分析凍結(jié)巖石的非均質(zhì)性與加載應(yīng)力和凍結(jié)溫度的變化關(guān)系，以此研究?jī)鼋Y(jié)巖石內(nèi)部裂隙的演化規(guī)律。

1 基于D-P 準(zhǔn)則和Weibull 分布的隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系

1.1 巖石損傷本構(gòu)關(guān)系

J.Lemaitre 等[25]提出的應(yīng)變等效原理指出：將無(wú)損材料本構(gòu)方程中的名義應(yīng)力用損傷后的有效應(yīng)力來(lái)代替，則受損材料的應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系可以由無(wú)損材料的本構(gòu)方程推導(dǎo)而得。基于此，建立了巖石損傷本構(gòu)關(guān)系的基本表達(dá)式：

式中：[σ?]為受損材料的有效應(yīng)力矩陣；[σ]為無(wú)損材料的應(yīng)力矩陣；[C]為材料彈性矩陣；[ε]為應(yīng)變矩陣；D為損傷變量。

損傷變量D在連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)中的定義為：材料損傷形成的微裂紋、微孔洞面積Sd與材料損傷前總承載面積S之比，其關(guān)系式可以表示為：

1.2 損傷演化方程的構(gòu)建

按照連續(xù)介質(zhì)力學(xué)原理，在巖石材料內(nèi)部取一個(gè)微元體，假設(shè)微元幾何尺寸相對(duì)原生孔隙裂隙足夠大，可以容納較多微破裂和微孔洞；從連續(xù)介質(zhì)力學(xué)角度又足夠小，可以被看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來(lái)考慮。經(jīng)過假設(shè)，則原生巖石材料是均勻分布的，材料內(nèi)部原生缺陷自身具有承載能力，附加在均勻介質(zhì)上，這樣的模型就可以列為彈性力學(xué)范疇。考慮到巖石材料內(nèi)部原生缺陷承載能力不可能是相同的，也就是微元體強(qiáng)度各不相同，而且?guī)r石材料在受力狀態(tài)下破壞是一個(gè)損傷的連續(xù)過程，作以下假設(shè)：(1) 人工凍結(jié)巖石材料從宏觀角度考慮為各向同性體。(2) 微元體受力達(dá)到破壞強(qiáng)度之前服從胡克定律，具有線彈性性質(zhì)；微元體達(dá)到破壞強(qiáng)度時(shí)符合塑性D-P 屈服準(zhǔn)則。(3) 微元體的強(qiáng)度特征符合統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律和Weibull 分布。

基于上述假設(shè)，微元體概率密度函數(shù)φ(F)為：

式中：F為微元體強(qiáng)度，符合Weibull 分布的隨機(jī)分布變量；m和F0為Weibull 參數(shù)，其中，m為巖石均質(zhì)度系數(shù)，F(xiàn)0為巖石材料宏觀平均強(qiáng)度。

損傷變量D與微元體強(qiáng)度的關(guān)系可以用概率密度函數(shù)來(lái)表示，即：

巖石強(qiáng)度理論中，D-P 破壞準(zhǔn)則具有表達(dá)式簡(jiǎn)單、參數(shù)少的優(yōu)點(diǎn)，得到廣泛應(yīng)用，基于此，確定微元體強(qiáng)度表達(dá)式為：

式中：a0為巖石特性參數(shù)，與內(nèi)摩擦角有關(guān)；φ為巖石內(nèi)摩擦角；I1為應(yīng)力張量第一不變量；J2為應(yīng)力偏量第二不變量。

為求出I1和J2，利用巖石常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)可以得到 σ1、σ2、σ3。由于本次試驗(yàn)為假三軸，所以σ2=σ3，相應(yīng)的巖石有效應(yīng)力分別為且

依據(jù)文獻(xiàn)[26]可得到巖石常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)應(yīng)力應(yīng)變?nèi)^程關(guān)系曲線的損傷變量表達(dá)式：

式中：ε1為應(yīng)變值；μ為泊松比；E為彈性模量；σ3為圍壓值。

依據(jù)三軸壓縮試驗(yàn)應(yīng)力應(yīng)變?nèi)^程曲線可以得到以下幾何邊界條件：(1)ε=0，σ=0；(2)(3) σ=σpk，ε=εpk，σpk為峰值；(4)

通過巖石應(yīng)力應(yīng)變曲線幾何邊界條件推導(dǎo)損傷參數(shù)的具體過程如下：

對(duì)式(8)中應(yīng)變求一階導(dǎo)數(shù)，得：

顯而易見，幾何邊界條件中(1)和(2)能夠自然滿足，將條件(4)代入式(9)并簡(jiǎn)化可得：

式(15)和式(16)就是基于D-P 破壞準(zhǔn)則和Weibull分布的巖石材料損傷本構(gòu)模型方程參數(shù)的求解公式。

2 凍結(jié)砂巖損傷模型驗(yàn)證

2.1 試樣選取與制備

試驗(yàn)砂巖取自甘肅五舉煤礦凍結(jié)法施工所穿越的白堊系砂巖地層，取樣深度在315～350 m，經(jīng)實(shí)驗(yàn)室鉆取、切割和打磨制作成?50 mm×100 mm 標(biāo)準(zhǔn)試樣(圖1)。為避免試樣離散性對(duì)力學(xué)特性試驗(yàn)的影響，試樣制備完成后進(jìn)行聲波測(cè)試，挑選波速相近試樣。試樣的基本物理參數(shù)見表1。

圖1 砂巖試樣Fig.1 Sandstone sample

表1 試樣基本物理參數(shù)Table 1 Basic physical parameters of samples

2.2 試驗(yàn)方案

不同凍結(jié)溫度下飽和水砂巖的單、三軸壓縮試驗(yàn)采用GCTS 巖石低溫三軸測(cè)試系統(tǒng)(圖2)，該系統(tǒng)能夠保證凍結(jié)砂巖在加載過程中維持試驗(yàn)溫度不變，系統(tǒng)最低控制溫度為?30℃，精度±0.01℃。試驗(yàn)系統(tǒng)共分為低溫控制、圍壓控制、加載系統(tǒng)和數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)4個(gè)模塊。

圖2 GCTS 巖石低溫三軸測(cè)試系統(tǒng)Fig.2 GCTS rock low temperature triaxial test system

根據(jù)凍結(jié)法施工過程中經(jīng)歷的溫度階段，試驗(yàn)設(shè)置低溫組和常溫對(duì)照組，試驗(yàn)溫度分別為：20、0、?10和?20℃，根據(jù)立井建設(shè)所穿越的地層不同，設(shè)置4 組圍壓，分別為0、2、4 和6 MPa。具體的試驗(yàn)方案和步驟如下：

(1) 對(duì)將試樣進(jìn)行干燥和加壓飽和，使試樣處于完全飽水狀態(tài)。

(2) 進(jìn)行裝樣和傳感器的布置，然后開啟低溫控制系統(tǒng)，對(duì)試樣進(jìn)行降溫，降溫速率為10 ℃/h，待試樣達(dá)到試驗(yàn)溫度后，維持試驗(yàn)溫度12 h 以上，使得試樣充分凍結(jié)，再進(jìn)行加載試驗(yàn)。

(3) 施加圍壓，以應(yīng)力控制方式加載圍壓至試驗(yàn)指定圍壓。

(4) 施加軸向荷載，以應(yīng)變控制方式加載軸壓，為避免加載速率對(duì)試驗(yàn)造成影響，加載速率控制在0.12 mm/min，直至凍結(jié)砂巖破壞，停止加載，卸載樣品。

2.3 力學(xué)特性分析

根據(jù)單、三軸試驗(yàn)結(jié)果繪制不同凍結(jié)溫度及圍壓下砂巖的應(yīng)力應(yīng)變曲線，如圖3 所示。由圖可以看出，巖石變形破壞過程大致分為壓密、線彈性、屈服、應(yīng)變軟化階段，同時(shí)，部分試樣出現(xiàn)殘余變形階段。在單軸作用下，相較于常溫狀態(tài)，隨著凍結(jié)溫度降低為0℃、?10℃、?20℃，凍結(jié)砂巖的強(qiáng)度分別提高了65.86%、202.30%和317.31%，表明凍結(jié)溫度對(duì)于砂巖強(qiáng)度的增強(qiáng)效果顯著。隨著圍壓從0 MPa 上升到6 MPa，常溫砂巖的強(qiáng)度分別提高了13.68%、65.98%和105.20%，溫度為0℃時(shí)砂巖的強(qiáng)度分別提高了47.59%、85.26%和88.18%，溫度為?10℃時(shí)砂巖的強(qiáng)度分別提高了16.58%、33.44%和48.02%，凍結(jié)最低溫度為?20℃時(shí)砂巖的強(qiáng)度分別提高了8.84%、16.54%和23.44%，表明圍壓效應(yīng)對(duì)于常溫巖石強(qiáng)度增強(qiáng)作用高于凍結(jié)巖石，而隨著凍結(jié)溫度的降低，巖石內(nèi)部水分得到充分凍結(jié)，強(qiáng)度提升幅度逐漸減小，圍壓效應(yīng)減弱。在相同圍壓下，隨著凍結(jié)溫度的降低，砂巖峰值應(yīng)變減小，壓密階段逐漸減弱，彈性變形階段斜率增加，巖石脆性破壞特征明顯。

圖3 不同凍結(jié)溫度和圍壓下砂巖應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.3 Sandstone stress-strain curves under different freezing temperatures and confining pressures

由不同凍結(jié)溫度及圍壓下砂巖的應(yīng)力應(yīng)變曲線可以明顯看出，峰值(應(yīng)力)強(qiáng)度在凍結(jié)溫度由0℃下降到?10℃過程中出現(xiàn)大幅增長(zhǎng)，應(yīng)變減小，主要原因在于凍結(jié)溫度的降低，使飽和砂巖內(nèi)部的自由水凍結(jié)充分，冰體對(duì)孔隙間顆粒的黏結(jié)作用增強(qiáng)，強(qiáng)度得到明顯提升。而隨著溫度從?10℃下降到?20℃的過程中，內(nèi)部未凍水進(jìn)一步凍結(jié)，但同時(shí)凍結(jié)過程中，冰體的膨脹作用改變了顆粒間膠結(jié)方式，使峰值強(qiáng)度提升幅度下降。

依據(jù)試驗(yàn)應(yīng)力應(yīng)變曲線，計(jì)算不同凍結(jié)溫度及圍壓下砂巖的參數(shù)，結(jié)果見表2，其中泊松比的計(jì)算根據(jù)試驗(yàn)中測(cè)得環(huán)向應(yīng)變與徑向應(yīng)變之比所得。由表2 可直觀看出，在相同凍結(jié)溫度，隨著圍壓增大，砂巖的彈性模量增大，峰值強(qiáng)度大幅提升，內(nèi)摩擦角增大，而泊松比呈減小趨勢(shì)，說(shuō)明不管對(duì)于常溫還是凍結(jié)砂巖，都存在明顯的圍壓效應(yīng)。而在相同圍壓條件下，隨著凍結(jié)溫度的降低，凍結(jié)砂巖的峰值應(yīng)力是常溫單軸抗壓強(qiáng)度2～4 倍，說(shuō)明凍結(jié)法施工對(duì)于砂巖強(qiáng)度的提高有顯著作用。

2.4 凍結(jié)砂巖的損傷本構(gòu)方程修正

2.4.1 Weibull 參數(shù)m和F0的變化規(guī)律

根據(jù)表2 中試驗(yàn)結(jié)果，各參數(shù)具有隨溫度及圍壓變化而變化的特征，結(jié)合式(15)和式(16)計(jì)算m和F0值，結(jié)果如圖4?圖7 所示。

圖4 參數(shù)m 隨圍壓σ3 的變化關(guān)系Fig.4 Parameter m with confining pressure σ3 change relationship

表2 不同凍結(jié)溫度及圍壓下砂巖試驗(yàn)結(jié)果Table 2 Calculation results of various parameters of sandstone under different freezing temperatures and confining pressures

由圖4 可以看出，隨著圍壓的增大，當(dāng)溫度高于0℃時(shí)，砂巖的均質(zhì)度系數(shù)m變化較小，而當(dāng)凍結(jié)溫度低于0℃時(shí)，砂巖的均質(zhì)度呈小幅下降且逐漸趨于穩(wěn)定，說(shuō)明凍結(jié)與圍壓的共同作用降低了砂巖的均質(zhì)性，但降低效果有限。圖5 顯示，砂巖宏觀平均強(qiáng)度F0隨圍壓的升高呈遞增趨勢(shì)，在0～?10℃內(nèi)，平均強(qiáng)度F0有明顯的提升，驗(yàn)證了力學(xué)特性分析中該區(qū)間范圍內(nèi)強(qiáng)度顯著提升。而在相同圍壓作用下，參數(shù)m和F0受溫度的影響較為顯著，因此，對(duì)溫度影響下參數(shù)m和F0的變化關(guān)系單獨(dú)開展研究。

圖5 參數(shù)F0 隨圍壓σ3 的變化關(guān)系Fig.5 Parameter F0 with confining pressure σ3 change relationship

由圖6 和圖7 可以看出，在相同凍結(jié)溫度情況下，圍壓的升高，對(duì)參數(shù)m和F0的影響較小。而隨著凍結(jié)溫度的降低，均質(zhì)性系數(shù)m和平均強(qiáng)度F0分別呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)和線性增長(zhǎng)，說(shuō)明隨著凍結(jié)溫度的降低，砂巖凍結(jié)越充分，內(nèi)部自由水凍結(jié)成冰占比及冰體強(qiáng)度快速升高，尤其在0～?10℃內(nèi)效果顯著。表明凍結(jié)作用提高了砂巖內(nèi)部孔隙顆粒之間的黏結(jié)能力和抵抗變形的能力，冰體的黏結(jié)作用和支撐作用使凍結(jié)砂巖整體性更強(qiáng)，均質(zhì)性更好，從而使平均強(qiáng)度F0呈線性增長(zhǎng)。

圖6 參數(shù)m 隨凍結(jié)溫度t 的變化關(guān)系Fig.6 Variation of parameter m with freezing temperature t

圖7 參數(shù)F0 隨凍結(jié)溫度t 的變化關(guān)系Fig.7 Variation of parameter F0 with freezing temperature t

根據(jù)圖6 和圖7，得到參數(shù)m和F0隨凍結(jié)溫度的變化關(guān)系擬合關(guān)系式，并代入式(8)后，得到修正后不同凍結(jié)溫度砂巖應(yīng)力應(yīng)變曲線的損傷本構(gòu)方程：

2.4.2 損傷演化規(guī)律

根據(jù)式(5)及各參數(shù)計(jì)算結(jié)果可求得不同凍結(jié)溫度砂巖隨圍壓變化的損傷演化曲線，如圖8 所示。

由圖8 可知，損傷演化曲線均呈S 形，能夠很好地反映凍結(jié)砂巖壓縮試驗(yàn)的各階段：(1) 壓密及線彈性階段。此時(shí)砂巖內(nèi)部孔隙被壓密，發(fā)生彈性變形，對(duì)應(yīng)損傷演化初期無(wú)明顯損傷變化。(2) 屈服變形階段。當(dāng)結(jié)束彈性變形階段砂巖內(nèi)部損傷裂隙開始萌生并加速擴(kuò)展，從而抵抗變形，砂巖發(fā)生屈服，對(duì)應(yīng)損傷演化曲線的上凹段。(3) 應(yīng)變軟化階段。試樣內(nèi)部裂隙繼續(xù)擴(kuò)展并貫通，強(qiáng)度逐漸喪失，損傷演化曲線斜率逐漸減小，當(dāng)發(fā)生破壞后，損傷值趨近于1。

由圖8 可直觀看出，在相同凍結(jié)溫度下，隨著圍壓的升高，損傷加速擴(kuò)展的上凹段曲線斜率逐漸降低，說(shuō)明圍壓作用抑制了損傷的演化速率。在相同圍壓情況下，隨著凍結(jié)溫度的降低，損傷加速擴(kuò)展階段的曲線斜率逐漸增加，且該階段相同應(yīng)變對(duì)應(yīng)的損傷值逐漸增加，說(shuō)明凍結(jié)作用下，砂巖的強(qiáng)度雖得到了顯著提升，但塑性特性減弱，脆性破壞特征顯著增強(qiáng)。

圖8 不同凍結(jié)溫度砂巖隨圍壓變化的損傷演化曲線Fig.8 Damage evolution curve of sandstone with different freezing temperature and confining pressure

3 結(jié) 論

a.采用Weibull 分布描述巖石材料的非均質(zhì)性，基于D-P 破壞準(zhǔn)則，建立了三軸應(yīng)力狀態(tài)下巖石損傷本構(gòu)模型，并推導(dǎo)出模型參數(shù)的理論表達(dá)式。

b.通過凍結(jié)砂巖單三軸壓縮試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在相同圍壓下，隨著凍結(jié)溫度的降低，砂巖峰值強(qiáng)度出現(xiàn)明顯的增長(zhǎng)，峰值應(yīng)變則減小，壓密階段逐漸減弱，彈性變形階段斜率增加，巖石脆性破壞特征明顯。

c.三軸應(yīng)力狀態(tài)下的巖石損傷本構(gòu)模型中，均質(zhì)性參數(shù)m和平均強(qiáng)度F0隨凍結(jié)溫度的降低，分別呈現(xiàn)指數(shù)和線性增長(zhǎng)，表明凍結(jié)作用提高了砂巖的均質(zhì)性和平均強(qiáng)度。

d.基于均質(zhì)性參數(shù)m和平均強(qiáng)度F0修正的本構(gòu)模型獲得的損傷演化曲線，能夠很好地反映凍結(jié)砂巖壓縮試驗(yàn)的各階段(壓密及線彈性階段、屈服變形階段、應(yīng)變軟化階段)變化特征，隨著凍結(jié)溫度的降低，損傷加速擴(kuò)展階段的曲線斜率逐漸增加，說(shuō)明凍結(jié)作用下，砂巖的強(qiáng)度雖得到了顯著提升，但脆性破壞特征更加明顯。