中英高中教材中數(shù)列習(xí)例題的比較研究*①

段炘岑，許玉蘭，韋揚(yáng)江

(南寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 南寧 530100)

0 引言

中英兩國(guó)在高中的數(shù)學(xué)課程教學(xué)上都注重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行深入理解的能力.數(shù)列是高中數(shù)學(xué)課程中一個(gè)重要的知識(shí)板塊.國(guó)內(nèi)對(duì)不同教材中關(guān)于數(shù)列的內(nèi)容的比較分析有一些研究，如[1-4]，其中文獻(xiàn)[2]以北師大版高中數(shù)學(xué)教材和英國(guó)劍橋大學(xué)出版社于2011年出版的CIE A-Level數(shù)學(xué)教材PureMathematics1和PureMathematics2&3為比較對(duì)象，討論了兩國(guó)教材在數(shù)列內(nèi)容上的異同.教材大多數(shù)是以知識(shí)點(diǎn)和習(xí)例題為主要組成部分，所以習(xí)例題的選擇在很大程度上反映了教材的側(cè)重點(diǎn).因此，本文選取了2007年修訂的人教A版和英國(guó)劍橋大學(xué)出版社2018年出版的CIE A-Level數(shù)學(xué)教材PureMathematics1，對(duì)兩者中關(guān)于數(shù)列的習(xí)例題進(jìn)行比較研究，然后分析兩國(guó)教材中的習(xí)例題與大學(xué)升學(xué)考試真題的聯(lián)系.

1 習(xí)例題難度的對(duì)比研究

1.1 習(xí)例題的題量

我們統(tǒng)計(jì)了中英教材中的數(shù)列習(xí)例題的數(shù)量，如表1所示.從中可以看出，中國(guó)人教A版教材比較強(qiáng)調(diào)學(xué)生課后的復(fù)習(xí)訓(xùn)練，而英國(guó)的A-level教材相對(duì)更注重課堂中的練習(xí)題.在例題數(shù)量方面中英兩國(guó)的教材則相差不大.

表1 中英教材中的習(xí)例題題量統(tǒng)計(jì)

1.2 習(xí)例題的類型

中國(guó)人教A版的例題均為解答題，練習(xí)題有解答、填空和證明三種類型，而復(fù)習(xí)題則有解答、填空、證明、選擇四種類型.英國(guó)A-level教材的例題、練習(xí)題、復(fù)習(xí)題全都是解答題.

由此可見，英國(guó)教材中的習(xí)例題的類型比較單一，這可能是因?yàn)橛?guó)的考試題均為解答題.在教學(xué)實(shí)踐中，多樣化的題型有助于緩解學(xué)生的做題疲勞，且能引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去思考問題.

1.3 習(xí)例題的綜合難度

本文采用鮑建生提出的模型[5]作為量化工具.該模型考察五個(gè)難度因素，即探究、背景、運(yùn)算、推理、知識(shí)含量(體現(xiàn)為所涉及的知識(shí)點(diǎn)的個(gè)數(shù))，每個(gè)因素又分成不同的水平等級(jí).這里主要分析的是中英兩套教材中的數(shù)列的習(xí)例題在這五個(gè)難度因素上的等級(jí)，如表2所示.

表2 習(xí)例題的難度因素

根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)，由以下公式可以算出每道題目在每一個(gè)難度因素上難度的加權(quán)平均值：

其中z1,z2,z3,z4,z5依次為題目在探究、背景、運(yùn)算、推理和知識(shí)含量這五個(gè)難度因素上的難度的平均值;zij為第i個(gè)難度因素的第j個(gè)等級(jí)(在識(shí)記、理解、應(yīng)用和研究上依次取1，2，3和4);nij表示的是在這組題目中屬于第i個(gè)難度因素的第j個(gè)等級(jí)的題目的個(gè)數(shù)(例如中國(guó)習(xí)例題中識(shí)記的題目個(gè)數(shù)為14),題目數(shù)量的總和等于該組題目的總數(shù)n.

通過以上分析，我們可以得出中英教材中的數(shù)列習(xí)例題的難度因素，如表3所示.

表3 中英教材中關(guān)于數(shù)列的題目的難度情況

續(xù)表

2 統(tǒng)計(jì)結(jié)果及分析

表3已經(jīng)得到了習(xí)例題難度的平均值，為直觀地感受其差異，我們制作了雷達(dá)圖(如圖1).從背景來看，兩國(guó)教材習(xí)例題很相似，都是以“無背景”為主導(dǎo).這樣的安排對(duì)高中生是合適的，因?yàn)檫@個(gè)年齡段的學(xué)生在解題時(shí)已經(jīng)習(xí)慣于關(guān)注題目本身，所以習(xí)例題的編制就會(huì)趨向于考察學(xué)生的抽象邏輯思維.但是適當(dāng)?shù)谋尘耙肟梢蕴崞饘W(xué)生的興趣，緩解學(xué)生的疲勞，這一點(diǎn)中國(guó)的教材較英國(guó)教材編排得更好.雖然英國(guó)教材的習(xí)例題背景較少，但所選用的背景素材很值得學(xué)習(xí)，例如A-Level教材中有如下的探究過程.

圖1 中英教材難度因素雷達(dá)圖

1+2+3+4+…+97+98+99+100=?

It is said that,at the age of seven or eight,the famous mathematician Carl Gauss was asked to find the sum of the numbers from l to 100.His teacher expected this task to keep him occupied for some time but Gauss surprised him by writing down he correct answer almost immediately.His method involved adding the numbers in airs:1+100=101,2+99=101,3+98=101,….

1 Can you complete Gauss's method to find the answer?

2 Use Gauss's method to find the sum of:

a 2+4+6+8+…+494+496+498+500；

b 5+10+15+20+…+185+190+195+200；

c 6+9+12+15+…+93+96+99+102；

3 Use Gauss's method to find an expression,in terms ofn,for the sum:

1+2+3+4+…+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n.

上述探究通過描述高斯求和法，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同類型的等差數(shù)列進(jìn)行求和，然后讓學(xué)生總結(jié)規(guī)律.這樣的探索能使學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，感受到數(shù)學(xué)的魅力.

在探究方面，兩國(guó)教材都比較注重學(xué)生對(duì)知識(shí)的把握和運(yùn)用，而不是讓學(xué)生單純地用所學(xué)公式去計(jì)算；都比較注重學(xué)生對(duì)知識(shí)的探索和創(chuàng)新，使學(xué)生將所學(xué)知識(shí)徹底消化吸收.

在運(yùn)算方面，兩國(guó)的題目都是簡(jiǎn)單運(yùn)算的最多，無運(yùn)算的很少，這說明兩國(guó)教材都很重視學(xué)生的計(jì)算能力，但由于英國(guó)允許學(xué)生使用計(jì)算器，英國(guó)學(xué)生在計(jì)算方面可能受到的訓(xùn)練不足.

在推理方面，兩國(guó)教材中的題目都是以簡(jiǎn)單推理為主，但中國(guó)人教A版中復(fù)雜推理的占比相較于英國(guó)教材要大一些，中國(guó)的教材在培養(yǎng)學(xué)生推理能力的方面比英國(guó)要求高.

在知識(shí)含量方面，英國(guó)教材的難度值低于中國(guó)教材.這說明中國(guó)教材對(duì)學(xué)生在知識(shí)點(diǎn)上的綜合運(yùn)用較為重視；英國(guó)教材的習(xí)例題所含的知識(shí)點(diǎn)則較為單一，聚集于眼下所學(xué)的知識(shí).兩者各有千秋.

綜合來看，中國(guó)人教A版的難度要大于英國(guó)的PureMathematics1，但兩者相差并不大.而且從圖1中可見，五個(gè)難度因素的分布不平均.從雷達(dá)圖的整體來看，整張圖都在向右下角傾斜.這說明兩國(guó)都很重視培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力，但這也可能與數(shù)列這章的內(nèi)容有關(guān)，因?yàn)閿?shù)列本就含有大量的計(jì)算題，如求部分和、求通項(xiàng)公式等.

3 習(xí)例題與真題的比較

為了考察教材習(xí)例題與考試真題的聯(lián)系，本文選取了2019年到2021年中國(guó)高考的全國(guó)甲卷(理科)的數(shù)列真題與人教A版數(shù)列習(xí)例題做對(duì)比，同時(shí)選取了2020年11月英國(guó)A-Level考試的三套不同的數(shù)列真題與PureMathematics1的數(shù)列習(xí)例題進(jìn)行比較研究.

2019年的全國(guó)甲卷數(shù)列題只考察了一道選擇題和一道填空題，且考察的都是學(xué)生對(duì)于數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和公式的掌握程度，與教材上的習(xí)例題難度和考察方向基本一致.2020年的全國(guó)甲卷則有所改變，如下所示.

1.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=3an-4n.

(1)計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明;

(2)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn.

以上題目的第一小題考察學(xué)生對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的掌握程度，但并非簡(jiǎn)單地讓學(xué)生求通項(xiàng)公式，而是引導(dǎo)學(xué)生通過一步步的猜想去求解；第二小題則進(jìn)一步考察學(xué)生的計(jì)算能力，將教材中較為簡(jiǎn)單的數(shù)列題升級(jí)成一個(gè)較為復(fù)雜的題目，這對(duì)學(xué)生的能力要求較高，需要學(xué)生通過課外的練習(xí)去提高.2021年的全國(guó)甲卷中關(guān)于數(shù)列的試題有一道選擇題和一道簡(jiǎn)答題，其中選擇題只是考察數(shù)列的一些基本性質(zhì)，而簡(jiǎn)答題如下所示.

2.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

這道題突破了以往的考察方式，由計(jì)算題變成了證明題，這進(jìn)一步考察了學(xué)生的邏輯思維能力.

相比較起來，英國(guó)A-Level考試試題均是簡(jiǎn)答題，且每套試題都含有一道數(shù)列題.因?yàn)锳-Level考試的知識(shí)點(diǎn)范圍比較廣，所以單一知識(shí)點(diǎn)的難度就會(huì)比較低.并且，單從這三套真題中的數(shù)列題來看，其考察方式與教材上的習(xí)例題基本一致，在教材中都有類似于考試題的題目，真題并沒有發(fā)生太多的變化，也沒有改變考察的方式.例如以下這道2020年的真題.

A geometric progression has first terma, common ratiorand sum to infinityS.A second geometric progression has first terma, common ratioRand sum to infinity 2S.Show thatr=2R-1.

第一個(gè)幾何級(jí)數(shù)的首項(xiàng)是a，公比是r，級(jí)數(shù)和是S;第二個(gè)幾何級(jí)數(shù)的首項(xiàng)是a，公比是R，級(jí)數(shù)和是2S.證明r=2R-1.

在A-Level的教材中也出現(xiàn)了類似的求解級(jí)數(shù)的公比與級(jí)數(shù)和的關(guān)系式，例如下題.

據(jù)以上分析發(fā)現(xiàn)，中國(guó)的教材雖然包含的知識(shí)點(diǎn)較少，習(xí)例題也不是很難，但是大學(xué)入學(xué)試題往往會(huì)出現(xiàn)偏難怪題，所以中國(guó)的學(xué)生需要去拓展課外的練習(xí)題.相比之下，英國(guó)教材中雖然知識(shí)點(diǎn)眾多，但考試題的難度并不大，學(xué)生只需將教材上的習(xí)例題理解透徹，無須額外去做練習(xí)題，就能在考試中取得不錯(cuò)的成績(jī).

4 結(jié)論和建議

4.1 結(jié)論

總體來說，中國(guó)人教A版教材中關(guān)于數(shù)列的習(xí)例題的難度要高于英國(guó)教材.在推理因素上，兩國(guó)教材中習(xí)例題的難度值相差不大，其余背景、探究、運(yùn)算和知識(shí)含量四個(gè)難度因素上中國(guó)教材均要高于英國(guó)教材.從雷達(dá)圖可發(fā)現(xiàn)，這兩套教材上的習(xí)例題在五個(gè)難度因素上都沒有保持平衡，特別是在背景和運(yùn)算上，中國(guó)的加權(quán)平均值的差異達(dá)到了1.17，而英國(guó)的教材甚至達(dá)到了1.29.在習(xí)例題的背景因素上兩國(guó)均是以無背景為主，在公共常識(shí)方面兩國(guó)都涉及非常少，英國(guó)甚至沒有出現(xiàn)一道有關(guān)公共常識(shí)的習(xí)例題.兩國(guó)教材均缺少數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用.在探究方面，中國(guó)的習(xí)例題多注重于應(yīng)用，而英國(guó)則較為重視培養(yǎng)學(xué)生的理解能力.在知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)方面，中國(guó)教材中含有兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的習(xí)例題比較多，而英國(guó)的題目則多為只含一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，但是中英兩國(guó)的習(xí)例題含有三個(gè)及三個(gè)以上知識(shí)點(diǎn)的都比較少.英國(guó)教材的習(xí)例題與考試題的相似度較大，中國(guó)的教材習(xí)例題基本上只給予學(xué)生較為淺顯的基礎(chǔ)知識(shí)，但是考試題往往超出教材所給予的部分.

4.2 建議

4.2.1強(qiáng)調(diào)習(xí)例題與實(shí)際生活的聯(lián)系

華羅庚說過，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生枯燥乏味、神秘難懂的印象的主要原因是脫離實(shí)際生活.教師在利用習(xí)例題進(jìn)行教學(xué)時(shí)，可以對(duì)題目進(jìn)行適當(dāng)延伸和拓展，將題目與實(shí)際生活聯(lián)系起來.通過帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)習(xí)例題進(jìn)行深入剖析并聯(lián)系到學(xué)生身邊的方方面面，可以拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，且能讓學(xué)生有效地開展研究性學(xué)習(xí).

4.2.2建立面向不同群體的教學(xué)課程

不管是哪個(gè)國(guó)家，學(xué)生之間都存在著不同的差異.孔子雖提出過“有教無類”但是也提到了“因材施教”.所以針對(duì)不同的學(xué)生，教師在教學(xué)的過程中，對(duì)于習(xí)例題的講解和布置，應(yīng)當(dāng)采用不同的方式.對(duì)于學(xué)習(xí)成績(jī)中上的學(xué)生，教師可以讓學(xué)生多研究含有復(fù)雜推理以及復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算的探究性題目.而對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)較弱的學(xué)生，教師應(yīng)該選用一些富含背景因素的習(xí)例題以引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，選擇一些技巧性較弱、實(shí)用性較強(qiáng)的習(xí)例題讓學(xué)生去感受數(shù)學(xué)的魅力.

4.2.3強(qiáng)調(diào)各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系

由前面的統(tǒng)計(jì)可見，中國(guó)教材中的習(xí)例題所涵蓋的知識(shí)點(diǎn)以兩個(gè)為主，而英國(guó)教材中的大部分題目只涉及一個(gè)知識(shí)點(diǎn).數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)重在多個(gè)知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，使人們?cè)诮鉀Q實(shí)際問題時(shí)可以綜合考慮.因此，對(duì)于習(xí)例題的編排，教材應(yīng)該致力于知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合，以便讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感受到數(shù)學(xué)的整體性，利用知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)行歸納、類比和反思.

4.2.4提高中國(guó)教材中的習(xí)例題難度

根據(jù)上述分析，中國(guó)教材中的習(xí)例題的難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)比不上高考試題的難度.中國(guó)的高考試題側(cè)重考察學(xué)生的邏輯思維和應(yīng)變能力，但目前教材中的習(xí)例題的難度無法滿足這個(gè)要求，這就導(dǎo)致學(xué)生需要學(xué)習(xí)教材之外的習(xí)題去應(yīng)對(duì)考試的難度.本文認(rèn)為中國(guó)的教材可以參照入學(xué)考試的真題，將習(xí)例題的難度適當(dāng)提高.