基于分?jǐn)?shù)階滑模永磁同步電機(jī)調(diào)速*

鄧 豪，曹 勇，何志琴

(貴州大學(xué)電氣工程學(xué)院，貴陽 550025)

0 引言

永磁同步電機(jī)因具有高功率密度、體積小、調(diào)速范圍廣、具有高可靠性等特點(diǎn)，在工業(yè)控制、航空航天、電動(dòng)汽車、醫(yī)療器械都具有廣泛的應(yīng)用[1]。由于永磁同步電機(jī)是多變量、強(qiáng)耦合、非線性控制對(duì)象[2]，傳統(tǒng)的PI控制只能滿足簡單工況的環(huán)境，當(dāng)受到參數(shù)變化以及外界擾動(dòng)的情況下，系統(tǒng)的魯棒性將受到較大影響。

滑?？刂谱鳛橐环N非線性變結(jié)構(gòu)控制，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)以及負(fù)載發(fā)生變化時(shí)，具有很好的抗擾能力和魯棒性。但是滑?？刂圃诨瑒?dòng)模態(tài)時(shí)，會(huì)在滑模面進(jìn)行來回穿越產(chǎn)生抖振。因此許多學(xué)者采用了不同辦法來消除控制過程中會(huì)帶來的抖振。郭征華等[3]在傳統(tǒng)指數(shù)趨近律中引入系統(tǒng)的狀態(tài)變量來設(shè)計(jì)新型趨近律，加快了趨近過程，同時(shí)當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)處于滑動(dòng)模態(tài)時(shí)，系統(tǒng)在滑模面上的切換過程不再是帶狀，而是逐步減小的過程。KANG等[4]通過對(duì)雙冪次趨近律進(jìn)行收斂時(shí)間以及相軌跡分析，提出一種通過構(gòu)造反正切輔助函數(shù)雙冪次趨近律，將該趨近律應(yīng)用于二階系統(tǒng)，從收斂時(shí)間，系統(tǒng)抖振，抗干擾性分析了其優(yōu)越性。

隨著分?jǐn)?shù)階理論的不斷發(fā)展和完善，近年來分?jǐn)?shù)階控制被廣泛應(yīng)用于線性和非線性系統(tǒng)，例如分?jǐn)?shù)階PI控制[5]，分?jǐn)?shù)階自抗擾控制[6]，分?jǐn)?shù)階滑?？刂芠7]。分?jǐn)?shù)階微積分相比整數(shù)階多了倆個(gè)可調(diào)參數(shù)，自由度更大，調(diào)節(jié)參數(shù)更加靈活。由于分?jǐn)?shù)階微積分的優(yōu)越性，許多學(xué)者結(jié)合分?jǐn)?shù)階微積分和滑?？刂茖⑵湟胗来磐诫姍C(jī)控制中。GAO等[8]提出一種分?jǐn)?shù)階PID滑模面，并利用所提滑模面提出一種指數(shù)趨近律應(yīng)用于永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)中，提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，抑制了系統(tǒng)抖振。王興亮等[9]提出一種分?jǐn)?shù)階快速終端滑模速度環(huán)控制，有效降低了系統(tǒng)抖振，為了進(jìn)一步提高系統(tǒng)的抗干擾能力，設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階觀測器進(jìn)行前饋補(bǔ)償，提高了系統(tǒng)的魯棒性。

為了減小滑?？刂频墓逃卸墩駟栴}，將整數(shù)階滑模面擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)階滑模面，利用分?jǐn)?shù)階微積分隨時(shí)間緩慢衰減特性，設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階滑模面。同時(shí)提出一種新型趨近律，使的系統(tǒng)狀態(tài)可以根據(jù)距離滑模面的遠(yuǎn)近參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整，有效減小了系統(tǒng)的抖振。同時(shí)為了避免參數(shù)的反復(fù)試湊，引入粒子群算法進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)。最后通過仿真驗(yàn)證所提分?jǐn)?shù)階滑?？刂频膬?yōu)越性。

1 趨近律設(shè)計(jì)與分析

1.1 傳統(tǒng)趨近律

為了改善滑?？刂频钠焚|(zhì)，提出了趨近律概念，并設(shè)計(jì)指數(shù)趨近律如下所示：

(1)

式中，ε、k為大于0的常數(shù)；s為滑模面；sign()為符號(hào)函數(shù)；ks為指數(shù)項(xiàng)；-εsign(s)為等速趨近項(xiàng)。

當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)S(0)遠(yuǎn)離滑模面的時(shí)候，此時(shí)通過調(diào)整指數(shù)項(xiàng)和等速項(xiàng)參數(shù)同時(shí)來完成趨近模態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)到達(dá)滑模面時(shí)，此時(shí)指數(shù)項(xiàng)為0，由等速項(xiàng)來完成滑動(dòng)模態(tài)。由于等速項(xiàng)含有符號(hào)函數(shù)，ε不可能為0，所以系統(tǒng)將一直伴隨著以ε大小的抖振。

1.2 新型趨近律

為了克服傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的缺點(diǎn)，本文所提趨近律可表達(dá)為：

(2)

式中，k1、k2為大于0的常數(shù)；0<γ<1；0<σ<0.1。

與傳統(tǒng)的指數(shù)趨近律相比，本文所提的趨近律參數(shù)k1是自適應(yīng)變化的，而不是像指數(shù)趨近律中的等速項(xiàng)ε是一個(gè)固定的常數(shù)。對(duì)所提趨近律進(jìn)行趨近模態(tài)和滑動(dòng)模態(tài)進(jìn)行分析如下：

滑動(dòng)模態(tài)：當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)接近滑模面時(shí)，即s→0時(shí)，此時(shí)指數(shù)項(xiàng)k2s為0，由等速項(xiàng)起作用，此時(shí)e-|s|→1,σ|s|→1，等速項(xiàng)為k1/(γ+1)，系統(tǒng)將以一個(gè)很小的數(shù)在滑模面上滑動(dòng)，有效減小了抖振。

為了進(jìn)一步消除系統(tǒng)由于sign函數(shù)所帶來的抖振，文中選取雙曲正弦函數(shù)作為系統(tǒng)滑動(dòng)模態(tài)的切換函數(shù)，使得其切換過程更加平滑。

最終，所提出的新型趨近律如下：

(3)

為了分析本文所提趨近律的穩(wěn)定性，通過構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)：

(4)

對(duì)式(4)進(jìn)行求導(dǎo)，即可得到如下：

(5)

2 分?jǐn)?shù)階微積分

(6)

式中，a和t表示算子的上下限；α表示為微積分的階次。

分?jǐn)?shù)階微積分在幾百年的發(fā)展過程中，出現(xiàn)了多種定義，其中Grunwald-Letnikov、Riemann-Liouville、Caputo定義最為常見：

本文以Caputo定義進(jìn)行介紹，Caputo分?jǐn)?shù)階微積分定義表達(dá)式為：

(7)

式中，Γ()為gamma函數(shù)，定義如下：

(8)

分?jǐn)?shù)階微積分具有如下性質(zhì)：

線性性質(zhì)：

(9)

疊加性質(zhì)：

(10)

3 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

為了簡化分析，建立一個(gè)理想的永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型，對(duì)PMSM提出如下假設(shè)：忽略永磁同步電機(jī)鐵芯飽和，忽略磁滯和渦流的影響，磁通勢成正弦分布，忽略由于定子槽不規(guī)則所產(chǎn)生的影響[10]。

永磁同步電機(jī)在d-q軸下的數(shù)學(xué)模型如下所示：

(11)

磁鏈方程為：

(12)

式中，ud、uq是d-q軸下的定子電壓；id、iq是d-q軸下的定子電流；Ld、Lq是d-q軸下的定子電感；R是定子電阻；ψd、ψq是d-q軸下的磁鏈；ψf是永磁體磁鏈；ωe是機(jī)械角速度；ω是電氣角速度；Pn是電機(jī)極對(duì)數(shù)。

電磁轉(zhuǎn)矩方程如下所示：

(13)

本文以表貼式永磁同步電機(jī)為例，因此Ld=Lq=L，所以新電磁轉(zhuǎn)矩方程為：

(14)

運(yùn)動(dòng)方程為：

(15)

3.1 PMSM速度環(huán)滑模設(shè)計(jì)

定義永磁同步電機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)變量如下所示：

(16)

式中，x1、x2為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；ωe為給定速度；ω為參考速度。

結(jié)合式(15)和式(16)可以得到：

(17)

(18)

為了消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，選取積分滑模面作為系統(tǒng)的切換函數(shù)，表達(dá)式如下：

(19)

對(duì)式(19)進(jìn)行求導(dǎo)，并結(jié)合所提出的新型趨近律，可設(shè)計(jì)永磁同步電機(jī)滑模速度環(huán)的控制表達(dá)式如下：

(20)

3.2 分?jǐn)?shù)階滑模速度環(huán)設(shè)計(jì)

為了對(duì)比分?jǐn)?shù)階滑?？刂频膬?yōu)越性，選取如下的分?jǐn)?shù)階滑模面：

S=x1+βD-λ-1x1

(21)

式中，β為積分增益；λ為分?jǐn)?shù)階的階數(shù)。

對(duì)式(21)求導(dǎo)可得：

(22)

結(jié)合式(17)、式(22)，可以得到控制器的輸出為：

(23)

4 粒子群算法

粒子群算法是一種智能優(yōu)化算法[11]，其核心思想是通過模仿鳥類的覓食行為，將空間的每一只鳥抽象為一個(gè)粒子，每一個(gè)粒子代表求解問題的可行解。多個(gè)粒子組成為一個(gè)種群，每一個(gè)粒子都有各自的位置，速度和適應(yīng)度函數(shù)值信息。在每一次迭代的過程中，每個(gè)粒子根據(jù)自身的位置，個(gè)體極值和全局極值來調(diào)整速度和方向。其速度和位置更新公式如下：

(24)

式中，ω為慣性權(quán)重；c1、c2為學(xué)習(xí)因子，通常設(shè)為1.5；r1、r2為(0～1)之間的隨機(jī)數(shù)。

在粒子群算法中慣性權(quán)重ω對(duì)算法的尋優(yōu)能力有較大的影響，在算法優(yōu)化早期較大的慣性權(quán)重可以增強(qiáng)全局探索能力，有利于得到尋優(yōu)最佳值。在算法優(yōu)化后期較小的慣性權(quán)重可以增強(qiáng)算法局部探索能力。常規(guī)的粒子群算法慣性權(quán)重是一個(gè)固定常數(shù)，算法尋優(yōu)能力差。采用一種線性遞減權(quán)重更新方式，表達(dá)式如下：

(25)

式中，ωmax、ωmin為ω的最大值和最小值；t為當(dāng)前迭代值；tmax為總的迭代值，一般ωmax=0.9，ωmin=0.4。

(1)首先對(duì)粒子進(jìn)行賦值，在文中目標(biāo)函數(shù)的空間為6維，初始化種群為30，第i個(gè)粒子在空間的位置表示為：Xi=[xi1,xi2,xi3,xi4,xi5,xi6]，速度表示為Vi=[vi1,vi2,vi3,vi4,vi5,vi6]，其中第i個(gè)粒子的個(gè)體最優(yōu)位置為pid=[pi1,pi2,pi3,pi4,pi5,pi6]，全局最優(yōu)位置為：pgd=[pg1,pg2,pg3,pg4,pg5,pg6]。

(2)選擇適應(yīng)度函數(shù)如下所示：

(26)

(3)設(shè)置最大迭代次數(shù)為30，通過不斷迭代找到最小適應(yīng)度函數(shù)的粒子，該粒子在搜索空間的位置是最佳滑模參數(shù)。

(4)判斷算法是否滿足約束條件，如果滿足則結(jié)束尋優(yōu)，輸出最佳參數(shù)。如不滿足結(jié)束條件，則繼續(xù)尋優(yōu)。

5 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖1為基于所提新型趨近律永磁同步電機(jī)滑模速度環(huán)結(jié)構(gòu)框圖，采用id=0控制策略，利用參考轉(zhuǎn)速和實(shí)際轉(zhuǎn)速之間的誤差，設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階滑?？刂破鲗?duì)轉(zhuǎn)速進(jìn)行控制，并引入粒子群算法對(duì)滑模參數(shù)進(jìn)行整定，進(jìn)而提高PMSM控制性能。

圖1 永磁同步電機(jī)矢量控制結(jié)構(gòu)框圖

本文在MATLAB/Simulink仿真所采用的PMSM模型參數(shù)如下所示：定子電阻為R=2.875 Ω，電感Ld=Lq=0.008 5 mH，磁通φ=0.175 Wb，轉(zhuǎn)矩系數(shù)為1.05 N·m/A，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.003 kg·m2，極對(duì)數(shù)為4。為了驗(yàn)證本文所提出趨近律的優(yōu)越性，將提出的趨近律和指數(shù)趨近律相比較。

為了保證仿真對(duì)比的準(zhǔn)確性，電流環(huán)參數(shù)保持一致，速度環(huán)分別采用新型趨近律和指數(shù)趨近律進(jìn)行控制。指數(shù)趨近律參數(shù)選取分別為ε=200，k=300，c=60。新型趨近律通過采用粒子群進(jìn)行在線優(yōu)化，其優(yōu)化參數(shù)分別為：k1=1.12，k2=125.25，γ=0.45，σ=0.01，c=2.51。分?jǐn)?shù)階滑?？刂茀?shù)為：k1=0.12，k2=260.4，γ=0.55，σ=0.013，β=2，λ=0.089。

為了驗(yàn)證永磁同步電機(jī)采用新型滑模轉(zhuǎn)速環(huán)控制動(dòng)態(tài)性能，系統(tǒng)仿真時(shí)在初始時(shí)刻設(shè)置空載轉(zhuǎn)速為1000 r/min,為了對(duì)比系統(tǒng)的抗干擾性，在0.2 s時(shí)給系統(tǒng)突加5 N的負(fù)載，其轉(zhuǎn)速對(duì)比、電磁轉(zhuǎn)矩對(duì)比如圖2和圖3所示。

圖2 轉(zhuǎn)速對(duì)比 圖3 電磁轉(zhuǎn)矩對(duì)比

從圖2轉(zhuǎn)速對(duì)比曲線來看，采用指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)的滑模速度環(huán)，系統(tǒng)有較快的響應(yīng)，但是在初始時(shí)刻超調(diào)量大(31%)，跟蹤時(shí)間長(0.06 s)，采用新型趨近律滑模速度環(huán)，響應(yīng)速度較快快(0.05 s)，并且轉(zhuǎn)速無超調(diào)，在分?jǐn)?shù)階滑模控制方式下，響應(yīng)速度快(0.02 s)，轉(zhuǎn)速無超調(diào)。當(dāng)系統(tǒng)在0.2 s突加負(fù)載時(shí)，指數(shù)趨近律轉(zhuǎn)速波動(dòng)大(50 r/min)，恢復(fù)時(shí)間長，新型趨近律轉(zhuǎn)速波動(dòng)較小(10 r/min)，具有較快地恢復(fù)時(shí)間，采用用分?jǐn)?shù)階滑?？刂?，轉(zhuǎn)速波動(dòng)小(5 r/min)，抗負(fù)載能力強(qiáng)。

圖3電磁轉(zhuǎn)矩對(duì)比結(jié)果表明，指數(shù)趨近律控制下的轉(zhuǎn)矩在初始時(shí)刻波動(dòng)大，在0.2 s突加負(fù)載時(shí)，電磁轉(zhuǎn)矩達(dá)到穩(wěn)定時(shí)間長，在新型趨近律控制方式下，初始時(shí)間電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)較小，同時(shí)在0.2 s 突加負(fù)載時(shí)，電磁轉(zhuǎn)矩能夠在很短的時(shí)間里跟蹤并達(dá)到穩(wěn)定，在分?jǐn)?shù)階滑?？刂品绞较?，初始時(shí)間電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)更加且平穩(wěn)，在0.2 s突加負(fù)載時(shí)，電磁轉(zhuǎn)矩能夠快速跟蹤并穩(wěn)定。從上面的結(jié)果對(duì)比分析圖可以得出，永磁同步電機(jī)采用所提的趨近律設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階滑模速度環(huán)比指數(shù)趨近律，新型趨近律控制方式動(dòng)態(tài)特性好，魯棒性強(qiáng)。

為了驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階滑模速度環(huán)控制受參數(shù)變化以及負(fù)載擾動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的魯棒性，首先設(shè)置轉(zhuǎn)速為1000 r/min，在0.2 s負(fù)載突變到5 N，在0.3 s時(shí)轉(zhuǎn)速增加1200 r/min。對(duì)于參數(shù)變化，本文選擇轉(zhuǎn)動(dòng)慣量作為驗(yàn)證，分別選擇J=0.5J和J=2J進(jìn)行比較。

從圖4可以看出當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量發(fā)生變化時(shí)，轉(zhuǎn)速能夠迅速響應(yīng)并達(dá)到穩(wěn)態(tài)，轉(zhuǎn)矩和電流在0.2 s負(fù)載突變時(shí)波動(dòng)小，在轉(zhuǎn)速上升到1200 r/min時(shí)，轉(zhuǎn)矩有一定的波動(dòng)，但能夠在短時(shí)間到達(dá)穩(wěn)態(tài)。

圖4 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化時(shí)速度、轉(zhuǎn)矩對(duì)比圖

6 結(jié)論

為了解決永磁同步電機(jī)采用傳統(tǒng)滑模控制應(yīng)用于速度環(huán)控制動(dòng)態(tài)特性不好、魯棒性差等問題。提出一種分?jǐn)?shù)階滑模速度環(huán)控制，利用分?jǐn)?shù)階微積分隨時(shí)間緩慢衰減特性，有效減小系統(tǒng)抖振。同時(shí)提出一種新型趨近律，該趨近律在傳統(tǒng)的指數(shù)趨近律上進(jìn)行改進(jìn)，對(duì)等速項(xiàng)引入自適應(yīng)因子γe-|s|+σ|s|解決滑?？刂圃诳焖傩院投墩裰g的矛盾，引入雙曲正切函數(shù)進(jìn)一步減小由符號(hào)函數(shù)切換過程帶來的抖振。通過采用分?jǐn)?shù)階滑模面和新型趨近律來設(shè)計(jì)控制器，仿真結(jié)果表明，采用分?jǐn)?shù)階滑模面和新型趨近律設(shè)計(jì)的滑模速度環(huán)，能夠加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度且轉(zhuǎn)速無超調(diào)，減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)更小；當(dāng)電機(jī)參數(shù)和負(fù)載發(fā)生變化時(shí)，轉(zhuǎn)速和電磁轉(zhuǎn)矩能夠快速響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，提高了系統(tǒng)的魯棒性，驗(yàn)證了所提方法的有效性。