基于全非線性流函數(shù)理論的規(guī)則波中船舶 大幅運動弱非線性數(shù)值模型研究

馬 山 趙彬彬 段文洋 劉豆豆 劉金純 何 強

（哈爾濱工程大學 船舶工程學院 哈爾濱 150001）

0 引 言

在較為惡劣的海況中，當船舶以較高航速頂浪航行時常會遭遇到大幅的非線性垂向運動，典型船型包括集裝箱船、驅逐艦和一些客船，這些船舶通常在首尾部具有顯著的外飄。在船舶惡劣海況下非線性搖蕩運動評估中，弱非線性方法獲得了廣泛應用，該類方法具有很好的計算效率和精度。在該種方法中，作用在船體上的入射波主干擾力（Froude-Krylov力，下文簡稱F-K力）和靜水恢復力是主要考慮的非線性流體載荷，通常在入射波面以下的瞬時船體濕表面上評估，線性波浪理論模型常用來進行船體非線性F-K力的計算。然而不容忽視的事實是在高海況下海浪本身的非線性效應較為明顯，典型的就是波面的尖峰坦谷特征。RAJENDRAN研究了二階Stokes波浪理論效應對惡劣海況下船舶垂向非線性運動的影響，其中入射波壓力采用包括二階入射速度勢的波浪理論來計算，通過在瞬時船體濕表面以下進行二階入射波壓力積分來計算非線性F-K力，作者發(fā)現(xiàn)惡劣海況下船舶縱搖運動峰值與模型試驗的對比相對于線性波浪符合的要更好。

對于具有外飄的船型（如集裝箱船）在較高海況的高航速下，會受到砰擊載荷作用，且砰擊載荷較為復雜，一般僅持續(xù)很短時間。關于砰擊的研究始于VON KARMAN。他提出了水上飛機著陸時砰擊力載荷的計算方法，建立了二維楔形體入水砰擊理論。WAGNER進一步發(fā)展了 二維楔形體砰擊力的計算方法。后來，許多學者使用WAGNER的方法來計算砰擊力。除了WAGNER模型估算船舶砰擊力外，動量沖擊理論也經(jīng)常被使用。陶智祥等用動量沖擊理論和WAGNER沖擊理論計算了船首外飄砰擊產生的船體砰擊壓力和剖面彎矩，計算結果與模型試驗結果吻合良好。他們在研究中提到，船首外飄砰擊的持續(xù)時間相對較長，用動量沖擊理論來估計船首外飄砰擊是合適的。JIAO等在開發(fā)數(shù)值模型以計算大型船舶在惡劣波浪中的非線性水彈性響應時，應用動量沖擊理論來估計外飄砰擊載荷。

從以往對非線性船舶運動分析的研究中發(fā)現(xiàn)，很少有研究系統(tǒng)地討論全非線性波浪對F-K力和船舶運動的影響。此外，雖然動量沖擊理論已被用于分析船舶砰擊引起的整體波浪載荷，但是這種砰擊模型對垂向剖面砰擊載荷本身及其對船舶整體運動評估的精確性并沒有詳細討論?；谶@兩點，本文采用全非線性波浪理論來模擬入射波浪場，其目的是提高在惡劣海況下非線性F-K力和船舶運動響應的數(shù)值精度，然后結合非線性波浪模型建立船舶大振幅運動的弱非線性模型。此外，文中還引入動量沖擊理論來估算船舶所受的剖面外飄砰擊力，對S175集裝箱船的全非線性F-K波浪力、垂向剖面上的外飄砰擊載荷和船舶運動進行了數(shù)值模擬，并將數(shù)值結果與線性波浪模型、CFD結果和模型試驗的結果進行了比較和驗證。

1 采用弱非線性方法的非線性垂向 船舶運動預報

假設船舶以航速運動，當前主要關注頂浪中的垂向運動。建立隨船平動坐標系，其中經(jīng)過船舶重心鉛垂向上，軸指向船首，原點位于靜水面上，采用弱非線性模型求解船舶的非線性搖蕩運動。數(shù)值模型中，船舶搖蕩運動輻射和繞射水動力采用線性勢流方法求解，而入射波主干擾力和靜水回復力在入射波面夏瞬時船體濕表面積分獲得，引入動量砰擊載荷模型評估了船舶砰擊力對總體運動的影響，對船舶運動和水動力載荷模型簡述如下。

1.1 波浪中的垂向運動方程

頂浪中的垂蕩和縱搖運動方程表述如下。

式中：是船體質量，kg；I是船體繞過重心軸的縱搖轉動慣量，kg·m；、Slamming表示作用在船體上的垂向和縱搖方向的砰擊載荷合力，N。上述的運動方程采用四階龍格-庫塔法求解。

1.2 輻射水動力

船體上的輻射力采用輻射脈沖響應函數(shù)的卷積積分來表示：

式中：η（=3.5）表示船舶的垂蕩和縱搖運動響應；μ表示船體無窮大頻率附加質量；b、c表示無限大頻率輻射阻尼和恢復力系數(shù)；K是由于船舶脈沖運動引起的輻射力脈沖響應函數(shù)，可以采用頻域水動力系數(shù)表示如下：

式中：ω是規(guī)則波中船舶搖蕩運動的遭遇頻率；B是頻域中的輻射阻尼系數(shù)。

馬山等基于頻域中的切片理論的輻射水動力系數(shù)，發(fā)展了一致性算法評估μ、b、c和K，這里不再詳述。

1.3 繞射水動力

在時域分析中，繞射力也采用卷積積分來表示，結合BALLARD等的分析，繞射力表示為：

式中：()是船舶重心處的入射波面位移，m；h()是繞射力脈沖響應函數(shù)，表示如下：

1.4 非線性入射波主干擾力和靜水恢復力

入射波浪力和靜水壓力采用在瞬時船體濕表面上積分獲得。

式中：P表示船體濕表面入射波壓力，N/m；()表示入射波面以下的瞬時船體濕表面，采用離散的船體小面元幾何來表示。在船體運動求解的每個時間步，穿越入射波面的面元要進一步剖分，細節(jié)請參見胡開業(yè)等論文。

對于非線性搖蕩運動的評估，F(xiàn)-K力是主要的非線性流體載荷。高海況下波浪有顯著的非線性特征，包括波面的峰谷非對稱特性、流體壓力和速度的非線性表達，這些采用線性/弱非線性理論不能很好的描述。為了研究非線性波浪模型對船體受到的非線性F-K力和船體運動的影響，本文應用流函數(shù)理論進行了研究。該理論是一種深水規(guī)則波全非線性的波浪理論，可以在很大范圍內描述非線性波陡的影響。

建立坐標系，以波浪傳播相速度運動，在這個坐標系下描述波浪場表示如下：

式中：，B，=1，2是未知常數(shù)；是水深，m；是未知波數(shù)。方程（9）中的未知量與包括波面位移()、波浪傳播的相速度， 以及常數(shù)和一同求解。具體請查看文獻[10]。

一旦求解方程（9），流體粒子速度表示如下：

在大地坐標系下，流體運動是非定常的，非定常的流體速度分量為(，，)、(，，)，可表示為：(，，)=+(，)，(，，)=(，)。

流體壓力表達為：

式中：是一常數(shù)，通過流函數(shù)理論的數(shù)值解法得到。

深水中的線性規(guī)則波在隨船平動坐標系下表達如下：

式中：ζ是線性入射波幅， m；是圓頻率，rad/s；是波數(shù)；ω=ω是頂浪中的遭遇頻率；ε= -kX表示初始相位角，rad；X表示船舶重心在大地坐標系下的初始位置，對應的波形表示如下：

對于線性入射波浪壓力，可以通過伯努利方程得到。為了考慮非線性效應的影響，這里采用了Wheeler拉伸模型進行壓力修正，入射波壓力表達如下：

1.5 船體外飄砰擊力

對于首尾部外飄型船舶，在較為惡劣海況下高速航行時，會受到外飄砰擊載荷作用，按照動量沖擊理論，船體剖面的流體砰擊載荷（戴仰山等）可計算如下：

式中：X，X表示船體尾部和首部的縱向位置。

2 數(shù)值結果與討論

基于上面的數(shù)值模型，針對S175集裝箱船標模開展了計算分析，并與公開發(fā)表的模型試驗開展了對比分析。下頁表1給出了船模主尺度。

表1 S175集裝箱船主尺度

S715的線型如下圖2所示。

圖2 S175集裝箱船型線

2.1 數(shù)值模型驗證

本文中，動量砰擊模型用于估算船體剖面砰擊力，選取AARSNES的剖面砰擊力試驗進行驗證，作者開展了船首剖面不同落體高度下的自由落體砰擊試驗。本文砰擊力采用公式（15）進行評估，垂向落體運動方程采用如下公式描述。

式中：是落體質量，按文獻取為261 kg；m是靜水面以下落體結構的瞬時垂向附加質量，kg；本文中的落體高度取= 0.318 m；表示靜水面以下的落體瞬時浮力，N。

數(shù)值模擬時從剖面底部剛接觸水面開始模擬，對應的落體初始速度取2.43 m/s，落體剖面輪廓如圖3所示。

圖3 AARSNES落體試驗中用到的船體剖面

剖面最大寬度和深度分別取320 mm和240 mm。通過求解方程（18），剖面的垂向水動力載荷與落體速度如圖4所示。

圖4 船體剖面在落體高度h=0.318 m的垂向水動力和落體速度結果

從中可以看出：垂向水動力載荷整體上與試驗符合較好，但峰值位置相對于模型試驗有0.008 s的滯后。對于垂向落體速度，在0.04 s以后，數(shù)值結果的速度改變相對于模型試驗偏小一些。本文的數(shù)值模型中沒有考慮砰擊過程中的水體上涌現(xiàn)象，而在模型試驗中，該效應可能影響了下落體撞擊水面的過程，導致最大砰擊力載荷相對于本文的數(shù)值模型更早發(fā)生?？偟膩碚f，本文采用的動力砰擊模型可以提供波浪撞擊載荷的定量預報。

為了進一步研究船體剖面入水中的砰擊過程，采用黏流分析軟件StarCCM+開展了S175集裝箱船剖面19站的入水砰擊分析，數(shù)值模擬縮尺比是1∶40，對應的模型尺度落體速度是1.3 m/s（實際長度是 8.22 m/s）。該剖面幾何形狀如圖5所示，剖面最大垂向高度是476.5 mm，網(wǎng)格劃分如圖6所示。

圖5 S175集裝箱船19站的幾何剖面

圖6 剖面恒速入水的流體域網(wǎng)格設置

圖7 S175集裝箱船首部剖面以1.3 m/s入水的垂向砰擊力

表2給出了計算參數(shù)和對應的每套網(wǎng)格的峰值砰擊力情況。

表2 用于收斂性分析研究的網(wǎng)格數(shù)和局部砰擊載荷

不同網(wǎng)格數(shù)間的砰擊峰值載荷的相對變化和收斂率情況如下：

從中可以看出，收斂率滿足0<R=ε/ε=0.58<9，表明對應的3套網(wǎng)格的砰擊載荷滿足單調收斂條件。因此，下面工況2的網(wǎng)格設置獲得的砰擊載荷用于開展與本文的動量定量砰擊載荷模型的對比。對應的背景區(qū)網(wǎng)格數(shù)是23.7萬，重疊區(qū)網(wǎng)格數(shù)是17.1萬。采用高性能集群完成黏流CFD計算，采用單節(jié)點、32核、64 G內存獲得圖7的砰擊載荷計算耗時5 h。

圖7提供了單位長度的船體剖面恒速入水的總的垂向流體載荷，可發(fā)現(xiàn)在0.309 s之前動量砰擊理論的結果相對于CFD（computational fluid dynamics)方法偏小些，但總體上與CFD結果較一致。在0.309 s以后，來自于 CFD 結果的載荷隨時間變化率有所降低，而動量砰擊理論的結果仍然增加。為了分析該現(xiàn)象，圖8給出了砰擊入水中的波面演化。

圖8 入水過程中的自由液面演化

從中看出0.3 s之前的波面在浮體周圍上涌：在0.3 s左右，自由面下的剖面寬度達到最大，船體剖面砰擊載荷達到最大值；在0.3 s以后，從圖7可看出流動分離在剖面頂部拐角發(fā)生，剖面砰擊載荷增加的變化率降低。本文采用的砰擊模型當前沒有考慮入水中水面堆積抬升的影響，從而導致在剖面入水達最大寬度前砰擊載荷偏小，同時沒有合理反映流動分離以后時刻的砰擊載荷。

下面，針對S175規(guī)則波中的非線性運動的幅值響應因子（response amplitude operater，RAO）與模型試驗結果進行對比。線性STF切片理論結果同時也用于數(shù)值模型對比驗證。

圖9至下頁圖11給出了規(guī)則波頂浪2個入射波陡下一階與二階垂蕩和縱搖運動幅值對比，結果以無因次化的波長船長比/L表示。垂蕩和縱搖運動幅值分別用ζ和kζ無因次化，其中是線性入射波波數(shù)，ζ是線性入射波波幅。

圖1 全非線性頂浪規(guī)則波中求解非線性運動的大地坐標系OXZ

圖9 頂浪規(guī)則波中一階垂蕩和縱搖運動幅值對比（Fr = 0.25，HW/λ=1/120）

圖11 頂浪規(guī)則波中二階倍頻垂蕩和縱搖運動幅值對比（Fr=0.25，HW/λ=1/40）

在圖9～11結果中，采用對運動時間歷程的最小二乘擬合公式（19）來獲得運動幅值。

圖9～10表明本文提出的弱非線性船舶運動模型可以有效改善規(guī)則波中一階運動RAO幅值特別是共振運動峰值位置的預報精度。圖11給出了二階垂蕩和縱搖運動峰值的預報結果，二階運動幅值相對于一階運動幅值小很多，數(shù)值可以提供與試驗結果一致的預報精度，此外，在波長船長比＞2.2時，采用流函數(shù)波浪理論預報的垂蕩和縱搖運動二階幅值與試驗結果符合的更好一些。

為了進一步檢驗本文的數(shù)值模型，采用流函數(shù)波浪模型與線性波浪模型開展了波長船長比1.0、1.2和1.4的3個典型波長不同波陡下頂浪中垂向運動計算。結果如圖12～14所示，最大的入射波陡/在0.03左右。

圖12 頂浪中一階垂蕩和縱搖運動幅RAO對比（Fr=0.25，λ/Lpp=1.0）

圖12～14中給出了結果對比，圖中結果給出了3個典型波長下無因次運動幅值隨入射波幅增加的變化情況，數(shù)值和試驗結果變化趨勢總體上較為一致?？梢园l(fā)現(xiàn)包括船體砰擊載荷的船舶運動幅值總體上比不考慮船體砰擊載荷的結果要小，除了圖12的垂蕩運動幅值外，其他結果都顯示考慮砰擊載荷后船體垂向運動預報結果得到了很大改善。對于加入砰擊力后船舶垂向運動計算結果減小的原因，可從以下兩個角度分析：

由圖9和圖10可知，在=0.25頂浪規(guī)則波中，該船垂向共振運動位于波長船長比為1.0～1.5范圍內。圖12～14給出的非線性運動的入射波長落在共振波長范圍內，此時船體特別是船首與波浪間具有較大的垂向相對運動，對應的外飄砰擊載荷量級也較大、對整船流體載荷和運動影響也較大。

圖10 頂浪規(guī)則波中一階垂蕩和縱搖運動幅值對比（Fr=0.25，HW/λ=1/40）

另一個原因是對于共振的船體運動，流體阻尼力對于減緩船體運動有較大作用。當前采用的砰擊力模型與船波相對速度平方相關，可推斷砰擊力產生了某種阻尼效應，減緩了共振頻率處的垂向運動幅值。

當前本文采用的砰擊載荷模型沒有考慮水面的上涌效應，KIM等采用了類似的VON KARMAN砰擊載荷模型開展了船體的砰擊力評估，他們指出如果沿著船體垂向剖面等效楔形體斜升角變化，該砰擊載荷模型可能高估或者低估船體的砰擊力，這一原因可能是導致當前本文的模型在某些波況下預報的船體運動效果不理想的原因。從圖12來看，在波長船長比1.0情況下，當入射波陡＞0.02時，流函數(shù)理論得到的非線性垂蕩幅值比線性波理論結果要大。從圖13和圖14來看，在入射波陡＞0.03時，兩者不同的波浪理論模型得到的垂向運動幅值差別逐漸明顯，特別是不考慮砰擊載荷的船舶運動預報結果。垂向運動受波浪模型影響的原因與垂向F-K力相關，在本文下一節(jié)中，將結合更大范圍不同入射波陡下的垂向波浪力與運動預報結果對這一問題再深入分析。

圖13 頂浪中一階垂蕩和縱搖運動幅RAO對比（Fr=0.25，λ/Lpp=1.2）

圖14 頂浪中一階垂蕩和縱搖運動幅值RAO對比（Fr=0.25，λ/Lpp=1.4）

在當前的弱非線性數(shù)值模型中，考慮了砰擊載荷對運動的影響，這在一定程度上考慮了船體受到的非線性水動力載荷對船體的作用，從當前來看有助于改善船體總體運動的預報，發(fā)展更為精細的船體大幅運動的輻射與繞射水動力載荷預報模型應該會更為有助于進一步的船舶大幅運動預報精度。

2.2 不同波陡下非線性波浪模型對船體垂向 F-K力和運動的影響

圖15至下頁圖17給出了3個不同波陡下相對于靜水面的水下典型位置自由波面、入射波動壓力對比。圖中，水平軸采用波浪周期無因次化，波面起伏采用線性入射波幅無因次化，波浪壓力采用ρgζ無因次化。式中：表示密度，kg/m；是重力加速度，m/s。

圖15 小波陡情況下波面和入射波動壓力對比（HW/λ=1/120，T=11.59 s，z=-6.5 m）

圖17 波陡1∶10情況下波面和入射波動壓力對比（HW/λ=1/10，T=11.59 s，z=-10 m）

圖15中，入射波陡是1/120，對應的線性入射 波長為1.2倍船長，波浪非線性效應很小，線性波（LN）結果與流函數(shù)理論結果符合很好。圖16中，入射波陡是1/20，流函數(shù)理論給出的波面起伏表現(xiàn)出顯著的非線性特性，表現(xiàn)出尖峰坦谷的特征。對于入射波動壓力，非線性波浪理論給出大的峰值壓力和幅值偏小的谷值動壓力。圖17中，入射波陡是1/10，從中可以看出流函數(shù)理論得到的波面非線性更顯著，波峰比波谷高45%。對于入射波動壓力，流函數(shù)理論給出的峰值壓力比線性波浪理論大30%，而谷值大小比線性波浪理論小24%左右。

圖16 波陡1∶20情況下波面和入射波動壓力對比（HW/λ=1/20，T=11.59 s，z=-6.5 m）

圖18至下頁圖20中給出了不同波陡下約束船體受到的垂向和縱搖方向的入射波主干擾力和靜水壓力的積分之和的對比，對于垂向力去除了平均浮力的貢獻。公式中的垂向波浪力用Δgζ /L無因次化；而縱搖波浪力矩用Δgζ無因次化；Δ表示船舶排水量，kg；L表示垂線間長，m。

圖18 S175集裝箱船迎浪垂向F-K力和縱搖力矩對比（HW/λ=1/120，λ/Lpp=1.2，F(xiàn)r=0）

圖20 S175集裝箱船迎浪垂向F-K力和縱搖力矩對比（Hw/λ=1/10，λ/Lpp=1.2，F(xiàn)r=0）

圖19 S175集裝箱船迎浪垂向F-K力和縱搖力矩對比（Hw/λ=1/20，λ/Lpp=1.2，F(xiàn)r=0）

從圖18～20看出，兩種波浪模型結果在較大波陡1/20，1/10時具有較大差異，流函數(shù)理論給出的垂向波浪力的峰值比線性波浪理論的結果要大。兩者之間的差異主要是由前面分析的波面起伏和入射波壓力造成的。

下面分析了采用不同波浪模型下S175集裝箱船垂向運動的對比，分析了入射波陡對結果的影響，波長船長比為1.2，取為0和0.25。為了單純考慮波浪模型的影響，在船舶運動分析時沒有考慮外飄砰擊載荷對運動的影響。

下頁圖21給出了在時刻268.8 s空間波形的對比。在入射波陡為1/120時，兩種波浪模型給出的結果較為一致；而在入射波陡為1/20時，流函數(shù)理論給出的波面峰谷值與線性波理論有差異，而且可以發(fā)現(xiàn)線性波浪理論得到的波長比流函數(shù)理論的波長略小一些，這是由于波浪色散關系的非線性效應造成的。

圖21 不同波浪模型獲得的波面起伏比較（λ/Lpp=1.2）

圖22～23給出了波陡為1/20、1/10情況下的垂向運動時歷對比，線性波浪理論與流函數(shù)波浪理論得到的結果有一定的相位差。該相位差產生原因與兩種波浪理論模型給出的入射波長在大波陡時不一致有關，由此造成了船舶遭遇波浪周期由兩種波浪模型給出的結果有一定差異。

圖22 不同波浪模型獲得的迎浪規(guī)則波垂向運動比較（HW/λ=1/20，λ/Lpp=1.2，F(xiàn)r=0.25）

圖23 不同波浪模型獲得的迎浪規(guī)則波垂向運動比較（HW/λ=1/10，λ/Lpp=1.2，F(xiàn)r=0.25）

下頁圖24～25給出了2種波浪模型下一階運動幅值隨著入射波陡變化結果，圖24給出的是零航速結果。在波陡＜1/30時，兩者較為一致；而當波陡＞1/30時，垂向運動幅值特別是垂蕩運動幅值差異變得較為明顯，流函數(shù)理論給出的結果要大于線性波模型結果。在為0.25時，在入射波陡＞1/30時，2種波浪模型間運動幅值也顯示出差別，但差異比零航速要小。對于縱搖運動，2種波浪模型給出的結果較為一致，但零航速在波陡＞1/15時除外。通過前面分析可知，不同入射波陡下的船舶運動幅值差異主要是由2種波浪模型下波面起伏、波動壓力作用下船體上的垂向波浪主干擾力引起的。

圖24 不同波浪模型、不同波陡下頂浪規(guī)則波中垂向運動幅值（λ/Lpp=1.2，F(xiàn)r=0）

圖25 不同波浪模型、不同波陡下頂浪規(guī)則波中垂向運動幅值比較（λ/Lpp=1.2，F(xiàn)r=0.25）

3 結 論

本文介紹了一個求解垂蕩和縱搖耦合運動的弱非線性數(shù)值模型，研究了全非線性流函數(shù)波浪理論的應用。在數(shù)值模型中，基于脈沖響應函數(shù)法的卷積積分計算了時域的輻射力和繞射力。利用瞬時濕表面上的壓力積分估計了F-K力和流體靜力恢復力。在動量沖擊理論的基礎上，考慮了外飄砰擊力載荷。對S175集裝箱船在規(guī)則波中的垂蕩和縱搖運動進行了數(shù)值模擬，并與船模試驗數(shù)據(jù)進行了比較。

可以得出以下結論：

（1）在相對較大的波陡1/20、1/10時，基于流函數(shù)波浪模型和線性波浪模型的F-K力和流體靜力恢復力有明顯差異。用流函數(shù)波浪模型計算的垂向F-K力比用線性波浪理論計算的要大。對應波陡下，基于流函數(shù)波浪理論的升沉運動結果也大于使用線性波浪理論的結果。就波浪模型對垂向運動的影響而言，尤其是在零航速情況下，當入射波陡度＞1/30時，垂蕩運動表現(xiàn)出較明顯的差異，而縱搖運動振幅在入射波陡度相對較大時對波浪模型不太敏感。

（2）通過計算船舶的外飄砰擊力，在船型較大時（目前船型≈0.15～0.2），砰擊力會影響船舶在共振運動附近的垂向運動。當波陡較大時，砰擊力對船舶垂向運動的影響更為顯著?？紤]砰擊力的船舶非線性響應幅值比不考慮砰擊力的結果一般要小。

（3）通過與模型試驗和CFD計算的比較，表明動量沖擊理論一般能提供較好的砰擊載荷精度。在大多數(shù)情況下，現(xiàn)有的動量沖擊砰擊模型的應用有助于改進船舶垂向運動的數(shù)值預報，它在一定程度上反映了非線性水動力的貢獻。為了更好地模擬船舶在惡劣海況下的非線性運動，需建立更精確的非線性輻射力、繞射力和砰擊力模型。

（4）本文主要研究全非線性波浪模型對規(guī)則波中垂向運動的影響，在不規(guī)則波中的影響將更加復雜和重要，未來的研究應朝著這個方向進行。