基于“兩個(gè)過程”的初中數(shù)學(xué)拓展性課程教學(xué)實(shí)踐與思考
——以“怎樣把彎路改直”為例

王思凱

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

葉立軍

(杭州師范大學(xué)基礎(chǔ)教育發(fā)展中心 311121)

1 問題的提出

數(shù)學(xué)拓展性課程作為基礎(chǔ)性課程的延伸和補(bǔ)充，堅(jiān)持“以生為本，個(gè)性發(fā)展”原則，對(duì)于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善、學(xué)習(xí)能力的提升等具有重要意義，是新時(shí)代深化教育改革的必然需求．拓展性課程定位于對(duì)基礎(chǔ)性課程中有關(guān)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展方面的延伸與不足之處的補(bǔ)充，為學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展提供充分的支持．面對(duì)新時(shí)期教育教學(xué)變革凸顯素養(yǎng)本位的時(shí)代要求，數(shù)學(xué)拓展性課程的教學(xué)應(yīng)以學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展為旨?xì)w，促使學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的概念性理解中獲得個(gè)性化的成長．

然而在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)拓展性課程的實(shí)施效果卻不佳，表現(xiàn)出課堂“以練代學(xué)”而異化為基礎(chǔ)課程教學(xué)內(nèi)容的鞏固與加深、重知識(shí)習(xí)得輕過程建構(gòu)而忽視學(xué)生的思維發(fā)展等問題，從而難以在課堂中有效落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．核心素養(yǎng)的發(fā)展以知識(shí)掌握為前提，回歸學(xué)生本體，從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程和學(xué)生認(rèn)知過程設(shè)計(jì)教學(xué)過程是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵．是以數(shù)學(xué)拓展性課程的教學(xué)應(yīng)立足學(xué)生的基礎(chǔ)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的合理性，體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展過程．本文以“怎樣把彎路改直”教學(xué)內(nèi)容為例，闡述如何基于“兩個(gè)過程”實(shí)施初中數(shù)學(xué)拓展性課程的教學(xué)，以期為教師在實(shí)踐中開展拓展性課程教學(xué)提供借鑒與參考．

2 教學(xué)內(nèi)容解析

“怎樣把彎路改直”教學(xué)內(nèi)容選自浙江教育出版社出版的由許芬英、葉立軍、張宗余主編的數(shù)學(xué)拓展性課程系列教學(xué)用書《義務(wù)教育拓展性課程 數(shù)學(xué)新探索》七年級(jí)下冊(cè)第1章第1.4節(jié)，由教師B于“學(xué)為中心”的初中數(shù)學(xué)拓展性課程名師課堂教學(xué)觀摩與研討活動(dòng)中執(zhí)教．本節(jié)課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構(gòu)造平行線以實(shí)現(xiàn)三角形的等積轉(zhuǎn)化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現(xiàn)為兩個(gè)功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”進(jìn)行不同角之間的互相轉(zhuǎn)換，已呈現(xiàn)在基礎(chǔ)性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現(xiàn)于基礎(chǔ)性課程，這也是本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課所要體現(xiàn)的．

幾何源于圖形面積的測(cè)量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形是指當(dāng)一個(gè)圖形的形狀發(fā)生了變化，而其面積始終保持不變，因而常用于計(jì)算圖形面積，尤其是求解不規(guī)則圖形的面積．本節(jié)課是在學(xué)完基礎(chǔ)性課程中的平行線及圖形的平移后開設(shè)的一節(jié)拓展課，由“兩條平行線間的距離處處相等”的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)“等底等高”“同底等高”“同高等底”三種等積變形類型是教學(xué)的關(guān)鍵．

3 基于“兩個(gè)過程”理念的拓展課教學(xué)實(shí)踐

為避免等積變形的教學(xué)異化為基礎(chǔ)性課程中求圖形面積的一節(jié)習(xí)題課，教師B以培養(yǎng)學(xué)生基于數(shù)學(xué)建模過程解決實(shí)際問題的思維作為本節(jié)課教學(xué)的落腳點(diǎn)，按照數(shù)學(xué)建模的基本流程設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，采用生活中“怎樣把彎路改直”的實(shí)際問題引入，將之抽象為數(shù)學(xué)問題引出教學(xué)主題，在尋找并建立數(shù)學(xué)模型從而解決實(shí)際問題的過程中展開等積變形內(nèi)容的教學(xué)．

實(shí)際情境 如圖1所示，要把一片農(nóng)田中的折線型道路改成一條直路，使道路兩邊的農(nóng)田面積保持不變，且道路經(jīng)過端點(diǎn)

A

，應(yīng)該怎樣改？請(qǐng)你畫出示意圖，并說明理由．

圖1 圖2

3.1 析取關(guān)鍵要素，抽象數(shù)學(xué)問題

教師B從實(shí)際問題的條件背景出發(fā)，設(shè)計(jì)問題鏈引導(dǎo)學(xué)生析取圖1中的關(guān)鍵要素“折線型道路”，將之?dāng)?shù)學(xué)化為幾何圖形“折線”，然后用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)際問題，即在圖2中經(jīng)過點(diǎn)

A

畫直線

l

，使得直線

l

兩側(cè)的面積與原來相同．

設(shè)問1：你能從實(shí)際情境中得到哪些信息？

設(shè)問2：圖1中的道路可以抽象為什么圖形？

設(shè)問3：把這一條折線改為直線的前提條件是什么？

3.2 聯(lián)系先驗(yàn)知識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型

圖形的面積是建立本節(jié)課數(shù)學(xué)模型的知識(shí)起點(diǎn)，教師B從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)(幾何圖形的面積公式)出發(fā)，設(shè)計(jì)問題鏈引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形的面積公式，鼓勵(lì)學(xué)生充分表達(dá)自己的想法，在數(shù)學(xué)地思考三角形和平行四邊形兩者的面積關(guān)系的過程中初步認(rèn)識(shí)等積變形．

設(shè)問1：要解決的問題涉及什么數(shù)學(xué)知識(shí)？

設(shè)問2：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過哪些關(guān)于面積的知識(shí)？

設(shè)問3：如圖3所示，為什么平行四邊形的面積公式比三角形的少了系數(shù)？

圖3

接著，教師B將平行四邊形的一組對(duì)邊引申為兩條平行線，設(shè)計(jì)在平行線之間畫三角形并將不同三角形進(jìn)行歸類的探究活動(dòng)，讓學(xué)生親自動(dòng)手畫圖，經(jīng)歷基本類型的發(fā)現(xiàn)過程，實(shí)現(xiàn)在做中學(xué)數(shù)學(xué)．同時(shí)借助幾何畫板動(dòng)態(tài)演示在平行線上取點(diǎn)畫三角形，實(shí)現(xiàn)知識(shí)呈現(xiàn)的動(dòng)態(tài)化與直觀化，促進(jìn)學(xué)生對(duì)等積變形類型的概念性理解．

探究活動(dòng) 如圖4所示，在一組平行線

m

,

n

上畫點(diǎn)，并與點(diǎn)

A

,

B

,

C

中的任意兩點(diǎn)相連，使得構(gòu)成的三角形面積與△

ABC

的面積相等，這樣的三角形有多少個(gè)？

圖4 圖5

根據(jù)從幾何畫板演示的動(dòng)畫中抽象的圖形，教師B設(shè)計(jì)問題引導(dǎo)學(xué)生回歸平行線之間三角形面積關(guān)系的研究，讓學(xué)生尋找圖5中面積相等的三角形，歸納得到如圖6所示的等積變形的基本模型．

圖6 等積變形的數(shù)學(xué)模型

3.3 解決實(shí)際問題，滲透建模思想

圖7

學(xué)生通過思考交流運(yùn)用“等積變形”的基本模型解決彎路改直路的問題，總結(jié)得到如圖7所示的解決方案，即連結(jié)

AB

，過點(diǎn)

C

作

AB

的平行線，交底邊于點(diǎn)

P

，連結(jié)

AP

得到直線

l

即為所求，進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用性．

圖8 數(shù)學(xué)建模的一般步驟

在解決實(shí)際問題之后，教師B引導(dǎo)學(xué)生回顧之前的研究過程：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過尋求問題涉及的知識(shí)起點(diǎn)建立模型，然后應(yīng)用模型解決實(shí)際問題，歸納得到圖8所示的數(shù)學(xué)建模的一般步驟，讓學(xué)生再次體會(huì)數(shù)學(xué)建模的重要作用，加深對(duì)建模思想的理解．

3.4 深化模型理解，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題亦是加深學(xué)生理解模型的重要途徑之一，教師B按照“有平行線，尋找平行線；無平行線，構(gòu)造平行線”的原則設(shè)計(jì)練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生借助平行線定邊移點(diǎn)發(fā)現(xiàn)面積相等的三角形，從具體情境中析取一般化的數(shù)學(xué)解題方法，促進(jìn)學(xué)生加深對(duì)等積變形是建立在平行線基礎(chǔ)之上的理解．

圖9

教師B呈現(xiàn)含有平行線的幾何圖形(圖9)，讓學(xué)生在五邊形

ABCDE

中根據(jù)條件

AB

∥

EC

尋找與△

ABC

面積相等的三角形，檢驗(yàn)學(xué)生直接應(yīng)用模型的能力．然后通過變式增加條件，發(fā)展學(xué)生有序思考數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣．同時(shí)借助思考回顧知識(shí)應(yīng)用過程，歸納得到“定邊移點(diǎn)”運(yùn)用模型的經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到“做一題、會(huì)一類、通一片”的效果．

圖10

在此基礎(chǔ)上，教師B呈現(xiàn)沒有已知平行線存在的圖形(圖10)，讓學(xué)生在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，尋找格點(diǎn)

P

，使得△

BCP

的面積等于△

ABC

的面積，啟發(fā)學(xué)生借助網(wǎng)格點(diǎn)構(gòu)造平行線，達(dá)到靈活應(yīng)用知識(shí)的目的，感悟轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法．

變式

若在圖9中添加條件

BC

∥

AD

，

BD

∥

AE

，與△

ABC

面積相等的三角形有幾個(gè)？

思考

我們可以從尋找面積相等的三角形的過程中總結(jié)出一條什么樣的經(jīng)驗(yàn)？

4 總結(jié)與思考

數(shù)學(xué)拓展性課程的教學(xué)要指向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育，其教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)也必須要基于數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程和學(xué)生的思維認(rèn)知特點(diǎn)．本節(jié)課中教師B從問題涉及的知識(shí)起點(diǎn)出發(fā)激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，通過等積變形的教學(xué)揭示一類知識(shí)學(xué)習(xí)的思維過程．

4.1 注重經(jīng)歷數(shù)學(xué)對(duì)象獲得、研究及應(yīng)用的完整過程，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地學(xué)習(xí)

拓展性課程從分析與綜合、比較與分類、抽象和概括這三個(gè)思維培育維度出發(fā)，讓學(xué)生深度思考知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展以及與其他事物的聯(lián)系．教師先通過三角形到平行四邊形的圖形面積變化引發(fā)思考，再借助在平行線中畫三角形的方式探究歸納等積變形的三種類型，讓學(xué)生在歸納概括事物本質(zhì)中獲得并深化對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解,經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維發(fā)展的過程，通過再創(chuàng)造的方式提煉基本模型．另外，基于幫助學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和學(xué)會(huì)思考的考慮，教師把學(xué)生基于數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題這一數(shù)學(xué)思維的形成作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，并未安排過多的例習(xí)題讓學(xué)生反復(fù)操練從而熟悉應(yīng)用模型，而是注重學(xué)生完整建模過程的經(jīng)歷和感悟，強(qiáng)調(diào)在理解基礎(chǔ)上的應(yīng)用，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．

4.2 強(qiáng)調(diào)以認(rèn)知邏輯為起點(diǎn)設(shè)計(jì)并實(shí)施教學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)地學(xué)習(xí)

學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者在其原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的知識(shí)意義生成和建構(gòu)理解．?dāng)?shù)學(xué)拓展課的教學(xué)需踐行“學(xué)為中心”理念，強(qiáng)調(diào)在順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知心理需求的基礎(chǔ)上增強(qiáng)學(xué)生的知識(shí)體驗(yàn)與理解．教師以圖形的面積作為本節(jié)拓展課內(nèi)容的知識(shí)起點(diǎn)，從學(xué)生熟知的圖形面積公式入手創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)學(xué)生探索等底等高圖形的面積關(guān)系，從而開始等積變形模型的探究過程．七年級(jí)的學(xué)生在生活中已經(jīng)獲得對(duì)“兩條平行線之間的距離處處相等”的直觀感受，教師并未安排這一定理的推導(dǎo)、幾何語言的書寫等活動(dòng)，而是通過呈現(xiàn)定理的具體內(nèi)容并結(jié)合實(shí)例讓學(xué)生調(diào)動(dòng)已有的生活經(jīng)驗(yàn)，保證初步應(yīng)用即可．另外，教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，從直接尋找平行線過渡到構(gòu)造平行線，遵循先易后難的順序安排課堂鞏固環(huán)節(jié)，促進(jìn)學(xué)生在變式應(yīng)用的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)．總之，數(shù)學(xué)拓展性課程給予學(xué)生更大的學(xué)習(xí)自主權(quán)和學(xué)習(xí)空間，需要教師在理解學(xué)生的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)教學(xué)．