帶跳混合高斯模型下交換期權定價的Mellin變換法

楊 月，王永茂

(燕山大學 理學院， 河北 秦皇島 066004)

對金融市場的大量實證表明，金融資產(chǎn)的價格非隨機游走，而是存在長記憶性和自相似性等特征. 近年來，很多研究人員考慮用修正的分數(shù)布朗運動來描述金融資產(chǎn)的變化行為[1-2]，但是分數(shù)布朗運動不是半鞅, 分數(shù)布朗運動模型會產(chǎn)生套利[3]. 為了刻畫長相依、自相似等特征，并消除套利機會，一些學者提出用混合分數(shù)布朗運動或混合高斯模型代替分數(shù)布朗運動. 目前，基于混合分數(shù)布朗運動研究期權定價的文獻較多. 然而Tudor[4]進一步研究發(fā)現(xiàn)次分數(shù)布朗運動的退化速度優(yōu)于分數(shù)布朗運動. El-Nouty等[5]證明了當赫斯特指數(shù)H∈[0.75,1]時，混合高斯模型具有長相依、自相似等特征，有非平穩(wěn)的二階矩增量，從而混合次分數(shù)布朗運動能更好地刻畫金融資產(chǎn)價格的變動. 郭精軍[6]基于混合高斯模型建立永久美式定價模型對股票市場有較好的反應. 彭波等[7]建立了基于跳環(huán)境和混合高斯模型下的歐式期權定價模型. 安翔[8]基于混合高斯模型，解得永久美式回望期權價格的閉式解與最優(yōu)實施邊界. 當重大信息來臨時資產(chǎn)價格或許會發(fā)生不連續(xù)的波動即跳躍，在隨機微分方程中加入Possion過程可以刻畫波動. 耿延靜等[9]和徐峰等[10]利用熱傳導方程經(jīng)典解得到帶跳躍的亞式期權和交換期權的定價公式. 運用偏微分方程法或者測度變換的方法研究權定價問題需要大量換元，Mellin變換法可以將求解過程簡單化避免大量換元. Elshegmani[11]運用Mellin變換法將算術平均亞式期權價值降低階數(shù)，最終得到了連續(xù)算術平均亞式期權定價公式. 常競文等[12]利用二重Mellin變換法得到交換期權定價公式的閉式解.

本文將Mellin變換法推廣到混合高斯模型和跳-擴散環(huán)境下交換期權定價，并通過Mellin變換得到解析解，并進行了數(shù)值模擬探究參數(shù)對價值的影響.

1 混合高斯模型及Mellin變換

1.1 混合高斯模型

定義1[6]設(Ω,F,P)是一個完備概率空間，定義參數(shù)為(σ,ε,H)的混合高斯模型是一個次分數(shù)布朗運動和布朗運動的線性組合，即XH(t)=εB(t)+σξH(t),(?t?∈R+)

其中：B(t)是一個布朗運動，ξH(t)是赫斯特指數(shù)H∈(0,1)的次分數(shù)布朗運動，ε,σ是兩個實數(shù)，且與B(t),ξH(t)相互獨立.混合高斯模型XH(t)滿足以下性質[5].

1)?t∈R+，混合高斯模型XH(t)平方的期望函數(shù)與二階矩增量數(shù)為:

E(XH(t))2=ε2t+σ2(2-22H-1)t2H

E(XH(t)-XH(s))2=ε2(t-s)+σ2[-22H-1(t2H+s2H)+(t+s)2H+(t-s)2H]

2)混合高斯模型XH(t)是一個中心高斯過程

1.2 Mellin變換[13]

定義2 對于Lebesgue可積函數(shù)f(x),x∈R+，定義Mellin變換M(f(x),z),z∈C如下:

若a

2 資產(chǎn)價格模型及交換期權定價

本節(jié)討論一般性不帶跳躍的模型，下一小節(jié)將加入Possion跳躍.假設金融市場上有3種自由連續(xù)交易的資產(chǎn)，無風險債券價格Xt滿足dXt=rXtdt，其中：r是無風險利率.交換期權的標的資產(chǎn)分別為S1和S2，在t時刻的價格S(t)遵循下面混合高斯模型:

εiSi(t)dBi(t)(i=1,2).

(1)

引理4[6]標的資產(chǎn)價格滿足偏微分方程(1)的解為

2.1 交換期權價格所滿足的偏微分方程

定理1 在混合高斯模型下，交換期權價值C=C(S1,S2,t)的Black-Scholes的偏微分方程，滿足：

終值條件為：C(S1,S2,T)=(S1-S2)+

證明構造投資組合Πt=C-Δ1S1-Δ2S2，其中：Δ1,Δ1分別為兩種標的資產(chǎn)份額.在[t,t+dt]的時間內，投資組合的變化為

(2)

根據(jù)無套利原理，考慮到支付紅利，有

rΠtdt=dΠt-Δ1S1q1dt-Δ2S2q2dt

(3)

rC=0

(4)

2.2 不帶跳躍的模型求解

定理2 當標的資產(chǎn)服從混合高斯模型(1)時，到期日為T的交換期權，損益函數(shù)為C(S1,S2,T)=(S1-S2)+，在t∈[0,T]時交換期權的價值為

其中：

證明為使得交換期權價格所滿足的偏微分方程的維數(shù)減少，下面采用變量替換將(4)轉化成一個Cauchy問題，令Z=S1/S2，有C(S1,S2,t)=S2U(Z,t)，則

帶入式(4)，整理有

(5)

(6)

對式(6)進行積分得

(7)

令

由引理1，對F(Z,t)進行轉換，得到

由引理2可得

對U(Z,t)式進行整理

(8)

經(jīng)過轉化Z=S1/S2，C(S1,S2,t)=S2U(Z,t)，定理2即可得證.

推論1 當標的資產(chǎn)服從混合高斯模型(1)時，到期日為T的交換期權，損益函數(shù)為C(S1,S2,T)=(S2-S1)+，在t∈[0,T]時交換期權的價值為

其中：a1,a2,a3,d1，d2與定理2保持一致.

證明取C(S1,S2,T)=(S2-S2)+，參照定理2證明即可.

3 帶跳交換期權定價

本節(jié)討論跳躍環(huán)境的定價模型，基于對于標的資產(chǎn)模型的假設，將模型擴展為跳-擴散模型

ωidBi(t)+dNi(t)],(i=1,2)

(9)

dNi(t)dBi(t)=0

(10)

3.1 跳-擴散環(huán)境下B-S偏微分方程

f(0,0)

(11)

推論3 混合高斯模型下跳-擴散環(huán)境下式(9)的解為:

定理3 在標的資產(chǎn)滿足式(9)的跳-擴散環(huán)境下，交換期權價值C=C(S1,S2,t)的Black-Scholes的偏微分方程為

[2HρH(2-22H-1)σ1σ2θ1θ2S1S2t2H-1+

(12)

證明結合做出的獨立性假設，有

22H-1)σ1σ2θ1θ2S1S2t2H-1+ρσ1σ2ω1ω2S1S2]dt

同理可得其他展開式, 按照定理1的證明思路，定理3得證.

3.2 跳-擴散環(huán)境下交換期權定價

定理4 當標的資產(chǎn)服從混合高斯模型驅動的跳-擴散過程時，到期日為T的交換期權，損益函數(shù)為C(S1,S2,T)=(S1-S2)+，在t∈[0,T]時交換期權的價值為

其中：

a3=(q2-q1)(T-t)

證明為使得交換期權價格所滿足的偏微分方程的維數(shù)降低，下面采用變量替換將式(12)轉化成一個Cauchy問題，令Z=S1/S2，有C(S1,S2,t)=S2U(Z,t)，計算帶入式(12)后得

令

對上式進行Mellin變換得

(13)

注1 當H=0.5,q1=q2=0,ε=0時，定理2轉化為標準布朗運動下交換期權定價公式[14].

注2 當q1=q2=0,σ=0時，可推出次分數(shù)布朗運動下交換期權公式[10].

4 數(shù)值模擬

針對定理2和定理4，對不同的Hurst指數(shù)H，分別為 0.5(H=0.5退化為標準布朗運動)，0.75，0.9進行模擬.并對交換期權做如下假設：

T=0.75,t=0,q1=q2=0.1,σ1=σ2=0.15,

ε1=ε2=0.15,ρH=ρ=0.25

給定S1=100和S2=100，比較考察標的資產(chǎn)S1(t)和S2(t)分別增加時，交換期權價值C(S1,S2,t)的變化情況.

從圖1可以看出，當標的資產(chǎn)價格S1上升時，交換期權的價值C(S1,S2,t)越來越大，當標的資產(chǎn)S2上升時，交換期權的價值C(S1,S2,t)越來越小.同時對于相同的資產(chǎn)，隨著H的增大，交換期權價值都是越來越小.可以解釋為當H越大，混合高斯模型作為噪聲的持續(xù)性，即暗示時間序列的長期記憶性.表現(xiàn)為標的資產(chǎn)上漲(下跌)，則下一時刻很有可能繼續(xù)上漲(下跌)，因此市場變得可預測，對應的市場風險相對較低，期權價值變的更低.這種變化趨勢符合實際情況, 從而說明該定價公式的正確性

圖1 不同標的下交換期權價值Figure 1 Exchange option with different subject matters

圖2表明對于相同期限，Hurst 指數(shù)與期權價格的關系呈現(xiàn)反比，反映出Hurst 指數(shù)H>0.5時混合高斯模型的長期記憶性. 這種變化趨勢符合實際情況, 因為當Hurst指數(shù)增加時, 標的資產(chǎn)價格的路徑會更光滑, 即價格波動變小, 此時, 期權帶來的回報就會降低, 從而導致期權價格下降. 對于相同Hurst 指數(shù)，期權價格與期限成正比，暗示期限越長，市場的不確定性高，從而期權價值更高,均符合實際情況.

圖 2 不同期限下的Hurst指數(shù)與期權價格的關系Figure 2 The relationship between Hurst index and option price based on different time limits

圖3分別給出了不同跳躍強度和標的資產(chǎn)價格下交換期權價值的變化. 可以看出跳躍強度與交換期權的價值成正比. 這是因為跳躍越大表示標的資產(chǎn)價格有越大變動的可能性，而更大的價格變動會使得期權價值變高，與實際情況相同.

圖3 不同跳躍強度和標的資產(chǎn)價格下交換期權價值變化Figure 3 The change of exchange option value with different jump intensity and underlying asset price

5 結 語

本文基于混合高斯模型刻畫標的股票的長期記憶性，Possion跳刻畫“跳躍”. 利用Mellin變變換法得到帶跳混合高斯模型下交換期權定價公式.

相比傳統(tǒng)的變換轉化為熱傳導方程，Mellin變換積分法簡化了計算. 通過數(shù)值模擬，Hurst指數(shù)、到期期限、跳躍強度對交換期權價值有明顯影響，且變化方向符合市場規(guī)律. 特別地，當H=0.5,q1=q2=0,ε=0時，得到經(jīng)典B-S交換期權定價公式[14]，表明本文定價公式的普遍性和正確性. Meliin變換法可以推廣到其他模型和奇異期權的定價中.