雙極模糊分子圖的復雜度函數(shù)

蘭美輝，高 煒

(1.曲靖師范學院 信息工程學院，云南 曲靖 655011；2.云南師范大學 信息學院，云南 昆明 650500)

化學圖論作為數(shù)學與化學的交叉學科，由于其廣泛應用而受到國內外學者的重視.化學圖論的本質是通過對分子結構建模，然后通過計算特定的拓撲指數(shù)來衡量對應化合物的特性.具體地說，原子用頂點表示，原子之間的化學鍵用頂點之間的邊表示，進而整個分子結構用圖來刻畫，這樣的圖稱為分子圖(molecular graph).針對某種物理、化學、生物或者材料特性，定義拓撲指數(shù)，然后通過分子圖拓撲指數(shù)的計算來預測分子圖對應化合物的性質[1-10].

在實際應用中，我們發(fā)現(xiàn)該模型存在諸多缺陷，其原因主要是分子圖是一個理想化模型，所有頂點被一視同仁，沒有區(qū)別不同原子之間在某個化學屬性上的差異，頂點之間的邊也沒有反映出4種基本化學鍵之間的差異.此外，若分子結構中存在某種不確定性，則傳統(tǒng)的分子圖無法表述這種不確定性.由于模糊數(shù)學是刻畫不確定性的良好工具，可通過定義頂點和邊的隸屬度函數(shù)，進而將分子圖轉化為模糊分子圖.再將原來分子圖中定義的化學拓撲指數(shù)推廣到模糊圖框架，進而可以通過在模糊圖上計算新拓撲指數(shù)來預判帶有不確定性的分子結構的特性.近年來，關于模糊圖的相關研究可參考文獻[11-20].

本文在雙極模糊圖框架下考察與連通指數(shù)相關的復雜度函數(shù)，給出其具體的定義，并從理論的角度得到相關性質，同時討論在模糊分子圖是特定結構下，復雜度函數(shù)的具體表示.剩余內容的組織結構如下：首先，介紹雙極模糊圖及相關的概念、符號和標記；其次，給出雙極模糊圖框架下復雜度函數(shù)的具體定義，并得到若干理論性質；最后，在雙極模糊分子圖結構是特殊形狀的條件下，給出復雜度函數(shù)的刻畫.

1 預備知識

其中0≤t+≤1， -1≤t-≤0，E′是G′的邊集合.

雙極模糊圖G稱為完美正正則(Perfectly positive regular)若G同時為正則正模糊圖和全正則正模糊圖； 稱為完美負正則(Perfectly negative regular)若G同時為正則負模糊圖和全正則負模糊圖； 稱為完美雙極正則(Perfectly bipolar regular)若G同時為正則雙極模糊圖和全正則雙極模糊圖.

通過概念可知以下事實：

?G為正則正模糊圖?d+為常數(shù)函數(shù)；

?G為正則負模糊圖?d-為常數(shù)函數(shù)；

?G為正則雙極模糊圖?d-和d+均為常數(shù)函數(shù)；

2 復雜度函數(shù)及特征

本節(jié)給出主要概念以及理論結果.

由定義1可得到下面的性質.

定理3若一個頂點或者一條邊從雙極模糊圖G中刪除， 則它的正復雜度函數(shù)會嚴格減少， 負復雜度函數(shù)會嚴格增加.

下面的定理6說明在頂點正隸屬度函數(shù)下界和負隸屬度函數(shù)上界確定的情況下， 正復雜度函數(shù)的下界和負復雜度函數(shù)的上界可以被刻畫.

定理7是關于雙極模糊圖的(t+,t-)-割雙極模糊子圖G(t+,t-)的復雜度函數(shù)的刻畫.

下面對雙極模糊分子圖是特定圖結構時， 復雜度函數(shù)的刻畫.

3 小結

本文針對雙極模糊分子圖框架，定義了對應的復雜度函數(shù)概念，并給出它的基本性質，同時討論了當圖結構是一些基本圖形時，復雜度函數(shù)的表現(xiàn)形式.而對于復雜度函數(shù)在特定的藥物、材料結構中的應用，有待進一步研究.