液晶靜態(tài)模型及應用進展

張馨元，崔慧林，王 鈺，陳宏一，張心正*

（1.南開大學 物理科學學院/泰達應用物理研究院 弱光非線性光子學教育部重點實驗室，天津 300071；2.南開大學 液晶光子學中斯聯(lián)合研究中心，天津 300071）

1 引言

液晶相作為一種中間相，其取向有序程度介于結(jié)晶相和各向同性液體之間。由長棒狀分子組成的化合物經(jīng)常表現(xiàn)出多態(tài)性，在加熱這些化合物時，隨著溫度的升高，化合物會逐次經(jīng)歷一個或多個有序程度不同的液晶相。根據(jù)分子排布方式的不同，液晶相可分為向列相、膽甾相、近晶相等。其中向列相是最簡單的液晶相，也是應用最廣泛的液晶相。

對凝聚態(tài)物質(zhì)的研究發(fā)現(xiàn)，材料的許多性質(zhì)往往并不決定于分子、原子的規(guī)則排布，而決定于材料中不規(guī)則排列的缺陷，因此利用缺陷可以設計具有特定性能的材料。要理解材料如何從一個相轉(zhuǎn)變到另一個相，也需要了解相變期間產(chǎn)生的缺陷。液晶中的拓撲缺陷是液晶研究中的核心問題之一，為了研究液晶中的缺陷、相變、分子分布規(guī)律及其動力學行為，需要引入數(shù)學模型進行描述［1-2］。根據(jù)描述液晶分子狀態(tài)所選取的序參量不同，經(jīng)典的靜態(tài)液晶模型可分為基于位致相互作用的微觀Onsager 分子理論模型［3-4］、宏觀唯象的Oseen-Frank［5-6］和Ericksen 連續(xù)彈性體向量模型［7-8］以及介觀的Landau-de Gennes 連續(xù)彈性體張量模型［9］。本文將主要圍繞向列相液晶的靜態(tài)理論模型討論不同模型的適用范圍，分析界面效應下錨定能引起的自由能變化，并介紹近年來有關模型極限問題的研究和模型在拓撲缺陷研究以及諸如液晶膠體、雙穩(wěn)態(tài)顯示等實際應用領域的研究進展。

2 液晶靜態(tài)模型理論

向列相液晶分子取向具有長程有序性，可以是只在一個方向上有明顯易取向性的單軸向列相，也可以是在兩個不同方向上都有明顯易取向性的雙軸向列相。單軸向列相是最簡單的向列相，具有單一的局域優(yōu)先取向方向，稱作指向矢n。由于分子取向沒有正反方向的區(qū)別，指向矢n與-n所描述的兩種分子取向狀態(tài)在物理上等價。分子相對于指向矢的取向有序度由一個標量序參量表示，其物理意義表示為分子取向與指向矢的一致程度。對于單軸向列相液晶，標量序參量為

式中θ是分子長軸與指向矢之間的夾角表示熱力學平均或統(tǒng)計平均，f(θ)是分子長軸取向的概率分布函數(shù)。在雙軸向列相液晶中，由于分子具有兩個方向的易取向性，還需引入另一單位向量m，與n和m相對應的描述取向排列有序度的標量序參量通常表示為s和r。

向列相液晶中向錯缺陷的出現(xiàn)打破了各向同性液體的旋轉(zhuǎn)對稱性，產(chǎn)生的各向異性特性使液晶在諸多物理應用及數(shù)學建模領域廣受關注。對于靜態(tài)和動態(tài)的向列相液晶，分別存在多種建模方法。本文將介紹幾種經(jīng)典的靜態(tài)理論模型：Onsager 分子模型、Oseen-Frank 和Ericksen 向量模型以及Landau-de Gennes 張量模型。其中，Oseen-Frank 向量模型和Landau-de Gennes 張量模型被廣泛用于實際問題的數(shù)值計算和分析。

2.1 Onsager 模型

Onsager［3］最先研究了液晶分子中各向異性的位致相互作用對系統(tǒng)整體統(tǒng)計性質(zhì)的影響，將液晶分子取向的概率密度作為序參量描述整個系統(tǒng)的能量。Onsager 以排斥體積勢作為勢函數(shù)，認為存在的位致排斥相互作用必然對向列相的存在起作用。然而在利用Onsager 方程確定方位分布函數(shù)時發(fā)現(xiàn)，僅考慮排斥相互作用所作出的預測 與實際 觀察不 符。Maier 和Saupe［4］提 出的吸引相互作用理論給出了更普遍的分子間相互作用勢。基于統(tǒng)計力學和平均場近似計算系統(tǒng)的自由能，將位致相互作用和吸引相互作用結(jié)合考慮，可描述向列相到各向同性相的相變性質(zhì)。Onsager模型描述的整個系統(tǒng)的能量［2］如下：

其中f(x，m)為位置x處指向方向m的液晶分子的概率密度；Uf中U 為對函數(shù)進行所述操作而定義的算符，直接作用于函數(shù)f。式（2）中第一項代表熵，第二項代表系統(tǒng)中分子相互作用的總勢能。B(x，m；x′，m′)為分子間相互作用勢，表示x處指向方向m的分子與x′處指向m′的分子之間的相互作用勢大小。

2.2 Oseen-Frank 模型

Oseen-Frank（OF）模型是向列相液晶最簡單的連續(xù)體理論，由Oseen 提出［5］，F(xiàn)rank 進一步將其發(fā)展［6］。OF 理論局限于取向有序度恒定的單軸向列相液晶材料，液晶的狀態(tài)由指向矢n描述。OF 能量是指向矢n在域中偏離均勻排列形成畸變所產(chǎn)生的自由能，能量密度是對彈性亥姆霍茲自由能中的?n項的泰勒展開，要求能量密度是n和?n的偶函數(shù)，且滿足要求所保留的最小項是(?n)2?？紤](?n)2的所有項，同時受均勻性和局域不變性條件限制，OF 能量定義為泛函［10］：

式中的前3 項分別對應于指向矢的展曲、扭曲和彎曲畸變所產(chǎn)生的能量，與系數(shù)K1、K2和K3相關的畸變?nèi)鐖D1 所示。K4為鞍展（Saddle-splay）項，通過散度定理可以轉(zhuǎn)化為只與邊界有關的表面項。指向矢受|n|=1 的約束，通過拉格朗日乘子法可由方位角和極角表示：

圖1 指向矢畸變的3 種類型［10］Fig.1 Three types of deformation to the director［10］

對于z軸上極角φ不變的系統(tǒng)，式（4）中第二項和第四項為零，能量表達式大幅簡化。物理上可觀察到的平衡態(tài)對應于OF 能量的極小值（受施加的邊界條件影響），Hardt 等人給出了這些極小值存在性和部分正則性的證明［11］。一些液晶材料的彈性常數(shù)已經(jīng)被實驗測量，大多具有相同的數(shù)量級，可采用常數(shù)近似。當K1=K2=K3=K，K4=0 時，OF 能量簡化為狄利克雷能［12］：

上述討論是基于沒有外部場和表面效應的一般情況。然而在液晶物理學中，表面效應十分重要。表面對液晶分子有錨定作用，使表面附近的液晶分子的排列更加有序，其指向矢會傾向于一個固定的平均方向——易取向方向。在域表面的處理中，液晶分子施加易取向方向的錨定方法包括指向矢沿平面法線方向的垂直錨定和指向矢與平面相切的平面錨定兩種。為了表征錨定程度強弱，引入界面自由能的概念，也稱錨定能［13-14］。

當作用在液晶分子上的表面力足夠強時，迫使指向矢在表面有確定的方向，這種情況被稱為強錨定。張方輝等人［13］指出，在任何情況下，強錨定的表面能都可以忽略，表面的作用只須簡單地歸結(jié)為固定界面附近的n與表面的易取向方向。強錨定時，分子沿易取向方向以滿足OF 能量極小化，n服從狄利克雷邊界條件n=nB，單位向量nB為易取向方向。

如果作用在界面上的表面力很弱，那么指向矢可能不會理想地沿著施加的易取向方向排布，這種情況被稱為弱錨定。弱錨定時，表面能不能被忽略，體系自由能為表面能和體積能兩部分之和。弱錨定時表面能有多種形式，最簡單的表面勢是Rapini-Papoular 能［15］：其中W為錨定強度，v為表面的外法向。

界面對液晶分子錨定作用的強弱可由外推長度ξ=K/W描述［16］，其大小主要取決于分子的平均線度、表面能的各向異性部分以及液晶分子之間的相互作用能。常數(shù)近似下外推長度是決定表面錨定還是彈性特性中哪一個占主導的重要參數(shù)。

2.3 Ericksen 模型

OF 理論的局限性在于它相當于假設液晶在各空間位置具有恒定的分子取向序參量，這導致在使用其分析實際中存在的液晶缺陷時，由于缺陷附近指向矢的不連續(xù)變化，根據(jù)其能量表達式，相應的自由能密度將趨于無窮大。為了建立更全面的連續(xù)理論來描述液晶這種特殊液體的性質(zhì)，人們做了許多嘗試。Ericksen 對OF 模型進行了重新闡述，發(fā)展出了Ericksen 靜態(tài)理論［7-8］。

Ericksen 理論也僅限于單軸液晶材料，但可以解釋空間上變化的取向有序度，通過指向矢n和標量序參量s描述液晶的狀態(tài)［8］。單彈性常數(shù)近似下，其自由能的最簡單形式為

其中K為與材料有關的彈性常數(shù)，fB(s)是一個溫度相關的體積勢（s為首選的序參量）。其邊界條件情況類似于OF 模型，既可以對n和s施加限制，也可以引入表面勢。Ericksen 模型的前提是只要n存在奇點，s就會消失，可以解釋所有物理上可觀察到的缺陷。Ericksen 連續(xù)體模型可連接OF 模型和Landau-de Gennes（LdG）模型，用以描述各向同性到單軸向列相的相變，但不能描述雙軸向列相。

2.4 Landau-de Gennes 模型

LdG 模型是描述向列相液晶較精確的連續(xù)體理論，可以描述各向同性相、單軸和雙軸向列相以及它們之間的相變［9，17］。液晶的狀態(tài)由一個對稱的無跡矩陣Q張量表示，Q的特征向量提供了取向序的方向信息，而特征值提供了分子取向的有序度，決定液晶的相。任意一個3×3 矩陣可以用特征值λi和特征向量ei表示［10］

由于Q是無跡的，要求同時滿足λ1+λ2+λ3=0和為3×3 單位矩陣，有

令s=(2λ1+λ2)，r=(2λ2+λ1)，n=e1，m=e2，當Q的3 個特征值完全不同時描述雙軸相，存在兩個指向矢n、m，以及兩個對應的序參量s、r，Q可以寫為如下形式：

當Q有兩個不同的特征值時描述單軸相，只存在一個指向矢n和一個序參量s，式（11）簡化為

如果Q只有一個特征值，根據(jù)無跡條件，Q=0，此時對應各向同性相。

LdG 能量泛函是關于Q及其空間導數(shù)的非線性積分泛函：

式中fE(Q)是彈性能密度，描述液晶指向的空間變化帶來的能量，fB(Q)是體積能。彈性能密度fE(Q)的一般形式為［10］

(x1，x2，x3)表示笛卡爾坐標系的3 個軸。彈性系數(shù)L與OF 彈性常數(shù)K存在如下關系［18］：

其中Sexp表示實驗測量的序參量。單彈性常數(shù)近似下的彈性能密度為

體積能fB(Q)允許各向同性相到向列相轉(zhuǎn)變，決定優(yōu)先相。在高溫下，液晶在能量上更容易得到各向同性態(tài)，Q=0 為全局極小值。而在低溫下更容易得到單軸或雙軸向列態(tài)。體積能表示為對各向同性態(tài)Q=0 的泰勒級數(shù)展開，允許各向同性到單軸相變的最小展開是四階展開［16］：

其中F0是一個常數(shù)項，滿足fB(Q)＞0。二階系數(shù)A與溫度T存在線性關系A=α(T-T*)，α＞0，T*是各向同性態(tài)失去穩(wěn)定性的臨界溫度。為滿足全局極小值有限，四階系數(shù)C必須為正值，四階體積勢的臨界點是單軸向列態(tài)Q張量［17］，不允許雙軸臨界點存在［16，19］。允許雙軸臨界點、單軸臨界點和各向同性臨界點均存在的最小級數(shù)展開是六階展開。

與OF 理論相似，接下來討論表面效應下的自由能?？紤]表面效應下的錨定強度，LdG 能量中包含了控制表面行為的條件。在強錨定情況下，n服從狄利克雷邊界條件沿易取向方向。弱錨定下狄利克雷邊界條件用表面錨定能代替。錨定能有多種形式，包括Rapini-Papoular 表面能［15］、Durand-Nobili 表面能［20］等，可根據(jù)實際需求和適用條件選擇。例如Tsakonas 等人［21］選用了Rapini-Papoular 表面能的推廣式。Luo 等人［22］討論了LdG 框架下，強錨定和弱錨定情況的建模問題。他們研究了弱錨定情況下3 種不同的表面錨定能，通過分析序參量的有界性、弱錨定解收斂情況，對比了不同形式表面錨定能的性質(zhì)，選取出具有諸多優(yōu)勢、最為合適的Durand-Nobili 表面能。

綜上所述，LdG 模型可以較為全面地描述液晶中的物理現(xiàn)象，Ericksen 和OF 模型可以被看作是LdG 模型的簡化。LdG 模型允許空間上變化的取向有序度和雙軸性，用張量場表示。而OF 模型假定了一個統(tǒng)一的取向有序度，以及一個單軸的有序狀態(tài)，以向量場形式表示。通過限制Q只允許其解對應于單軸向列相指向矢和單軸序參量，LdG 自由能退化為靜態(tài)的Ericksen 變序參量形式的自由能。當序參量為常數(shù)時，又進一步退化為OF 能量。模型的一般形式包括彈性常數(shù)、體積常數(shù)、與手性相關的項及撓曲電效應，而更現(xiàn)實的模型可以包含更多的附加項，如上述的表面錨定項、與電場或磁場耦合相關的項、鐵電效應等。張輝等人［23］基于LdG 理論計算了外加電場作用下液晶分子的自由能表達式，并通過模擬描述指向矢的方位角和極角的變化情況給出相應的缺陷處電場驅(qū)動的結(jié)構(gòu)變化，模擬結(jié)果給出的撓曲電效應引起的方位角的變化角度與實驗一致。

液晶的理論模型主要應用于對液晶分子指向場的分析，而液晶中存在的缺陷作為一種特殊的光學紋理具有極大的研究價值。一般來說，液晶中的缺陷由彈性形變、邊界條件、外加電場或磁場等引起，不同的理論模型對缺陷的描述存在一定差異。LdG 模型是一種介觀模型，包含了與點缺陷和向錯線的核尺寸等特征相關的分子內(nèi)在長度尺度。缺陷核尺寸有限，且相關的張量場在缺陷域內(nèi)保持平滑。OF 模型是一個宏觀模型，不包含這種內(nèi)在長度尺度，其平衡指向場的缺陷對應奇異點、線。因此在選用模型研究實際問題時還應考慮對尺度的分析，當研究問題域的幾何長度與內(nèi)在長度（如缺陷核尺寸）相比不算太大時，用LdG 模型；而當幾何長度尺度遠大于缺陷核（且缺陷核的精細結(jié)構(gòu)不重要）時，則使用OF 模型［24］。

3 模型的極限問題

LdG 模型和OF 模型是表征向列相液晶中平衡取向特性時使用最廣泛的連續(xù)介質(zhì)模型。模型包含了大量的物理參數(shù)，而對參數(shù)依賴效應（解的狀態(tài)變化、分岔、結(jié)構(gòu)相變、參數(shù)極值范圍內(nèi)的行為）的研究具有重要意義。

3.1 彈性常數(shù)L →0 極限問題

近年來，LdG 模型在數(shù)學分析界引起了廣泛關注，人們嚴格探索了在彈性常數(shù)的某些極端范圍內(nèi)該模型的限制行為［17，25-26］。

Majumdar 等人［17］在工作中使用式（18）的自由能形式研究了彈性常數(shù)L→0 的消失極限。極限L→0 是一個物理上相關的極限，因為彈性常數(shù)L通常非常小，量級為10-11J/m。Bauman 等人［25］使用了式（19）、（20）中的模型形式，人為地引入無量綱參數(shù)ε來驅(qū)動彈性常數(shù)L1、L2、L3同時歸0，其中Qij，k=?Qij/?xk，i，j，k=1，2，3。Bauman等人分析了泛函極小值以及在彈性能消失極限ε→0 時的行為。上述工作都對模型進行了全量綱形式的分析。

Golovaty 等人［26］研究了一種無量綱模型式（21）、（22），將其表示為二階張量（而不是Q）。在完全有序單軸態(tài)中，體積勢能具有最小值，ε被稱為“無量綱彈性常數(shù)”，同樣分析了極限ε→0 時的行為。

上述3 項工作都得到了形式為Q=s(n?n-I/3)的遠離奇異集的極限單軸極小值，其中指向場n對應于OF 模型中極小值。Gartland 等人［24］給出了極限L→0 的解釋，通過無量綱化處理和尺度分析表明L→0 不是彈性消失極限，而是內(nèi)在長度（與缺陷核尺度等相關）與幾何長度（與問題域尺度相關）相比近乎為0 的極限。缺陷核尺寸逐漸減小，有限尺寸缺陷在極限處成為點或線奇異，由介觀LdG 模型過渡到宏觀OF 模型。

3.2 低溫極限

Gartland 等人［24］通過合適的尺度變換得到了低溫極限下的自由能泛函表達式，分析表明這種“低溫”極限對應于上述彈性常數(shù)L→0 的極限問題，表現(xiàn)出缺陷核相對域尺寸近乎為零的尺度極限。兩個極限模型有許多共同特征，在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)換。Contreras 等人［27］分析了LdG模型在低溫極限下的行為，隨后Majumdar 等人對這一工作進行推廣，研究了具有拓撲非平凡和狄里克雷邊界條件的任意三維單連通幾何上向列相液晶的LdG 能量泛函極小化，著重討論了L→0 極限問題［28］。

LdG 模型及其自由能極小化解在低溫狀態(tài)會顯示出一些效應，包括取向有序度的增加、缺陷核尺寸的減小，尤其是能夠接觸到雙軸性問題。Gartland 等人證明了在足夠低溫情況下，可通過局域的雙軸躍遷平衡張量場以避免各向同性缺陷核所產(chǎn)生的巨大自由能。雙軸缺陷核尺寸由與溫度相關的雙軸相干長度定義［29-30］，雙軸相干長度可以從雙軸缺陷核內(nèi)部解滿足的平衡態(tài)下Q的拉格朗日方程得到。

3.3 極限調(diào)和映射

Majumdar 等人［17］研究了泛函FLG(Q)的全局極小值Q(L)在彈性常數(shù)L→0 的極限，并對Q(L)的性質(zhì)、收斂結(jié)果進行了說明，定義了極限調(diào)和映射Q(0)：

其中s+為常數(shù)序參量，n(0)滿足固定邊界條件下的OF 能量極小值，主要結(jié)果如下：

（1）在Sobolev 空間W1，2存在一個全局極小化集合

此外，對收斂結(jié)果的分析表明，對于L→0 的極限，極限調(diào)和映射只提供了的一個“粗略”描述?？梢员徽J為是具有主要的單軸部分加上一個小的雙軸微擾動，而雙軸性在全局極小化的中的作用也是與極限近似的主要區(qū)別之一。這種極限類似于Ginzburg-Landau模型的“London”極限以及Landau-Lifshitz 鐵磁理論中的“Large body”極限［32］，并且在適當解釋下可被認為是Oseen-Frank 極限［17］。向列相液晶中缺陷核的一個顯著特征是會發(fā)生雙軸性和序參量的大小變化，不能用指向場表示。因此，雙軸性在缺陷精細結(jié)構(gòu)的研究中極為重要，已有很多文獻對其進行了探討［33-39］。在液滴半徑較大和溫度較低的情況下，徑向Hedgehog 缺陷核不穩(wěn)定，形成一個+1/2 強度的向錯環(huán)，環(huán)線內(nèi)向列相是具有負的序參量的單軸態(tài)，周圍是一個雙軸環(huán)面域［40］。在線缺陷中同樣具有單軸性的核心，其周圍是雙軸性環(huán)，Q張量發(fā)生變化以匹配液晶整體取向，如圖2 所示［39］。

圖2 s=1/2 的核［39］。中心為單軸，序參量為負，通過一個雙軸環(huán)轉(zhuǎn)換成具有正s 的單軸形式。Fig.2 Core of an s=1/2 disclination［39］.The center is uniaxial with negative order parameter.It transforms via a biaxial ring into a uniaxial form with a positive s.

綜上所述，對模型相關參數(shù)在某些極限下的行為的研究使我們加深了對模型的物理理解，在一些極限中不同模型之間可能存在相互聯(lián)系。對于LdG 模型，未來的研究方向包括隨著對全局極小化中雙軸性的出現(xiàn)和作用的深入理解，更好地理解L很小但不消失的全局極小值的定性性質(zhì)，以及更好地描述極限調(diào)和映射的奇點附近的Q(L)。

4 液晶靜態(tài)模型的應用進展

液晶理論模型的研究始于20 世紀80 年代，到目前為止主要是對自由能泛函極小值的研究。在向列相液晶的研究中，利用理論模型可以對液晶相和缺陷、液晶分子內(nèi)部的應力分布、缺陷形成的機制和行為等進行深入研究。近年來，大量科研工作者致力于應用液晶理論模型解決實際問題，并在相關領域取得大量成果。

4.1 液晶靜態(tài)模型在拓撲缺陷中的應用

拓撲缺陷在自然界中以各種尺度出現(xiàn)［41］，其存在的必要條件是相關物理場中自發(fā)的對稱破缺。液晶因為具有獨特的液體特性、光學各向異性、柔軟性、實驗可處理的時間和空間響應特征尺度以及它們的構(gòu)型（即相和結(jié)構(gòu)）的多樣性，可作為拓撲缺陷可控分析的理想測試平臺。液晶中的缺陷由指向矢的局域不連續(xù)產(chǎn)生，并且影響周圍液晶分子取向。在單軸向列相的平衡態(tài)中，其指向矢n在空間上均勻地沿著對稱破缺方向排列，液晶中的缺陷在取向序中受拓撲保護，其總拓撲荷為固定邊界條件下拓撲不變的守恒量。

液晶中的拓撲缺陷研究是液晶研究中的核心問題之一。理論模型可以對液晶中的缺陷、相變、分子分布規(guī)律進行描述，其在拓撲缺陷相關領域中的應用已經(jīng)得到了學術界的廣泛關注［42-44］。從空間維度上對拓撲缺陷的研究主要集中于二維平面和三維球體。Ohzono 等人［45］通過偏光顯微鏡和熒光顯微鏡觀察，利用LdG 模型對取向序和產(chǎn)生的畸變圖像進行數(shù)值計算，表面能采用平面簡并錨定的常用形式。然后通過引入手性擾動，得到了三維向列相液晶薄胞（二維平面）中強度為m=±1 的拓撲缺陷。其中m=+1的缺陷表現(xiàn)出手性對稱破缺和上下對稱破缺引起的4 種不同結(jié)構(gòu)態(tài)，如圖3 所示。

圖3 向列相液晶平面薄胞中紋影織構(gòu)中的拓撲缺陷類型［45］Fig.3 Types of topological defects in schlieren textures on a thin planar cell of NLCs［45］

在三維球形有限幾何限定條件下，液晶分子排布存在多種構(gòu)型。馬鶴等人［46］基于LdG 理論，研究向列相同軸結(jié)構(gòu)球形液滴的尺寸效應，觀察不同半徑誘導的結(jié)構(gòu)變化，得到的同軸結(jié)構(gòu)的指向矢排列情況如圖4 所示。

圖4 （a）球狀結(jié)構(gòu)示意圖；（b）三維同軸結(jié)構(gòu)示意圖；（c）赤道面截面圖；（d）距離兩極1/4 位置截面圖；（e）中心軸處本征值［46］。Fig.4 （a）Schematic diagram of a spherical structure；（b）Concentric configuration in 3D representation；（c）Cross section diagram of the equatorial plane；（d）Cross section diagram of the position 1/4 away from the two poles；（e）Eigenvalues at the center axis［46］.

Seyednejad 等人［47］使用數(shù)值方法計算了向列相液晶的對稱和非對稱球殼的極小化LdG 自由能，考慮了 由Fournier 和Galatola［48］引入的雙參數(shù)表面簡并平行錨定條件和各向同性的向列相彈性，數(shù)值分析了殼體內(nèi)液滴在不同空間排列方式下產(chǎn)生的缺陷的行為，得到了三維向列相液晶球殼的各種拓撲缺陷結(jié)構(gòu)，如圖5 所示。Pandey等人［49］研究了手性向列相液晶盒中具有垂直表面錨定條件的微球誘導的缺陷——膠體超結(jié)構(gòu)，通過極小化LdG 自由能模擬計算得到的場和缺陷構(gòu)型與實驗結(jié)果一致。Alama 等人［50］利用LdG 理論推導出了懸浮在向列相液晶中的小膠體粒子周圍的土星環(huán)缺陷結(jié)構(gòu)的解析式，在顆粒表面施加由徑向單軸張量描述的垂直取向錨定，得到了環(huán)半徑及其與錨定能關系的顯式表達式，提供了與以往工作只依賴于數(shù)值計算不同的對缺陷的另一種描述。這種對球形殼層中的缺陷結(jié)構(gòu)的研究在膠體的光電應用領域具有重要意義。

圖5 向列相液晶殼體和外表面標量序參量的分布。（a，b）具有Boojum 缺陷的構(gòu)型；（c，d）具有四面體缺陷的構(gòu)型［47］。Fig.5 Profiles of the scalar order parameter in the bulk and on the outer surface of nematic liquid crystal shells.（a，b）Configurations with Boojum defects；（c，d）Configurations containing tetrahedral defects［47］.

利用理論模型對拓撲缺陷的研究不僅限于向列相液晶。Shamid 等人［51］基于LdG 模型將液晶的手性與極性進行類比，證明了手性液晶的自發(fā)扭曲通常會導致膽甾相或藍相的出現(xiàn)，極性液晶的自發(fā)彎曲會導致扭曲-彎曲相和極性藍相出現(xiàn)。Carenza 等人［52］利用LdG 模型對球殼表面的膽甾相液晶殼的缺陷圖案進行了分析，通過對自由能極小化，發(fā)現(xiàn)不同球殼半徑及手性強度情況下球殼表面會出現(xiàn)不同的多邊形組合的缺陷模式，如圖6 所示。

圖6 膽甾相液晶球殼配置情況。（a）低手性強度時液晶排列為纏繞于外殼周圍的螺旋模式；（b，c，d）不同半徑下3 種有限準晶體的結(jié)構(gòu)：（b）OHS（八邊形/六邊形/正方形），（c）PH（五邊形/六邊形），（d）OHP（八邊形/六邊形/五邊形）；（e）對應于（c）中相鄰的五邊形和六邊形產(chǎn)生的兩個半斯格明子和9 個-1/2 缺陷；（f）非晶構(gòu)型［52］。Fig.6 Cholesteric shell configurations.（a）LC spiral mode around the shell at low chiral strength；（b，c，d）Three finite quasicrystals configurations：（b）OHS（octagonal/hexagon/square），（c）PH（pentagonal/hexagon）and（d）OHP（octagonal/hexagon/pentagonal）；（e）Director field pattern of two half-skyrmions and nine -1/2 defects defining a pentagon and a hexagon in（c）；（f）Amorphous configuration［52］.

液晶的相平衡極易被激發(fā)，具有由拓撲缺陷構(gòu)成的多種不同的結(jié)構(gòu)。正如Kralj 等人［53］所描述的，這些拓撲缺陷類似于簡單的音符，使用一種單一的音符，就可以通過不同的排列方式制造出數(shù)種性質(zhì)上不同的旋律。液晶中這種豐富的拓撲缺陷結(jié)構(gòu)具有廣泛的應用價值，理論模型為拓撲缺陷的研究提供了有力手段。

4.2 液晶靜態(tài)模型在液晶膠體中的應用

當膠體粒子浸沒在液晶材料中時，會引起液晶分子取向的彈性變形，從而產(chǎn)生拓撲缺陷和各向異性相互作用。這些效應具有潛在的應用價值，引起了人們的廣泛關注［54-59］。向列相液晶和膠體混合物中的膠體粒子影響液晶分子的均一取向，使其發(fā)生畸變。這些指向矢畸變的影響范圍遠超出了粒子本身的物理范圍。在不同尺度中，液晶中膠體問題的研究應選用不同的理論模型。在宏觀尺度上，利用OF 彈性能可以計算膠粒間的長程力，而在非線性效應非常重要的介觀尺度上，則要選用更適合的LdG 模型進行描述。

膠體問題中對拓撲缺陷的研究是準確理解液晶膠體相互作用的基礎［49-50，60-61］。Vilfan 等人［60］研究了具有球形顆粒的向列相液晶膠體中，誘導平行錨定條件的粒子間相互作用力的約束效應，實驗結(jié)果與LdG 自由能極小化結(jié)論一致。Wang等人［61］基于LdG 理論對向列相液晶中單個和一對球形膠體粒子誘導的拓撲缺陷結(jié)構(gòu)進行了數(shù)值計算，球形表面采用垂直取向錨定條件，對膠體二聚體對（兩粒子問題）周圍液晶缺陷的穩(wěn)定性進行了分析。首先給出相對簡單的單粒子問題的相圖，為分析兩粒子問題提供了基礎。單粒子周圍會出現(xiàn)兩種類型的缺陷構(gòu)型，包括四極態(tài)缺陷結(jié)構(gòu)（土星環(huán)結(jié)構(gòu)）和偶極態(tài)缺陷結(jié)構(gòu)，如圖7 所示。偶極-偶極構(gòu)型二聚體周圍的穩(wěn)定區(qū)域與單粒子構(gòu)型的穩(wěn)定區(qū)域大小非常相似。此外，研究人員［58-59］還研究了向列相液晶中膠體粒子間的相互作用，并由基于OF 理論的模擬計算證實。

圖7 圍繞單球形粒子的向列相液晶的缺陷構(gòu)。（a～c）四極（土星環(huán)）態(tài)；（d～f）偶極態(tài)；（g）相圖中這些態(tài)具有最低自由能的相應區(qū)域［61］。Fig.7 Defect configurations in a nematic liquid crystal surrounding a spherical particle.（a～c）Quadrupolar（Saturn-ring）state；（d～f）Dipolar state；（g）Corresponding regimes in the phase diagram where these states have the lowest free energies［61］.

液晶膠體中的顆粒受到各向異性彈性力的作用，而這些相互作用又容易通過外加電場、磁場、光、溫度或邊界約束來調(diào)節(jié)，為更好地控制膠體組裝提供了新的方式。同時，缺陷位點是分子和納米材料組裝的關鍵，理論模型也為理解其物理化學行為提供了一個有力的工具。Poulin等人［62］首次描述了自組裝產(chǎn)生的各種結(jié)構(gòu)，Silvestre、Wang 等人［63-64］分別報道了基于LdG 模型的液晶中膠體粒子自組裝的相關工作，顯示出其具有良好的光學應用前景，如圖8 所示。

圖8 （a）分子組裝的可逆形成和原位交聯(lián)；（b）LC 缺陷中兩親分子的自組裝［64］。Fig.8 （a）Reversible formation and in situ crosslinking of molecular assemblies；（b）Self-assembly of amphiphiles in LC defects［64］.

Sahu 等人［65］介紹了一種向列相液晶中的花生狀赤鐵礦膠體體系，通過LdG 模型模擬證實，垂直液晶指向矢取向的膠體由于向外傾斜呈現(xiàn)的紋理表現(xiàn)出彈性畸變的偶極和四極對稱，并受外磁場影響。這種具有各向異性形狀的磁性膠體在制備具有磁場響應的復雜自組裝膠體方面具有廣闊的應用前景，如圖9所示。Yuan等人［66］描述了一種介觀結(jié)構(gòu)“介花”（Mesoflowers）組成的能誘導不同階彈性多極的向列相膠體系統(tǒng)，如圖10所示。通過對LdG 自由能的數(shù)值極小化，且假定粒子表面為有限垂直錨定，對指向矢排布和彈性相互作用進行模擬，計算出“介花”在指向場中產(chǎn)生的彈性單極子和高階多極子。通過改變這些粒子的基本組成部分，可以有效地控制它們的膠體行為。而這些介觀結(jié)構(gòu)可以作為設計工具，用于工程膠體相互作用和自組裝。通過化學合成獲得大量的介觀結(jié)構(gòu)，可促進膠體自組裝新復合材料的發(fā)展。液晶膠體具有巨大的潛力，不僅可以將自組裝的長度范圍從原子擴展到膠體尺度，而且還可以通過超越原子系統(tǒng)所能達到的形式，使膠體組織形式多樣化，而液晶的理論模型是這一工作中極為重要的工具。Roel P.A.Dullens 團隊［67］開發(fā)了一種利用聚合物和紫外線改變彎曲分子曲率的方法，利用該方法可以誘導棒狀物展現(xiàn)出種類豐富的相行為，例如近晶相（極性和反極性）以及雙軸向列相。該工作為生產(chǎn)一系列新型向列相膠體液晶打開了大門，同時這些液晶在電子設備的各種顯示器應用中具有巨大潛力。

圖9 （a～l）向列相液晶中的花生狀赤鐵礦膠體體系［65］Fig.9 （a～l）Nematic colloidal system made of peanutshaped hematite particles［65］

圖10 （a～k）金的介觀結(jié)構(gòu)組成的能誘導彈性多極子的向列相膠體系統(tǒng)［66］Fig.10 （a～k）Nematic colloidal system consisting of mesostructures of gold capable of inducing elastic multipoles of different order［66］

4.3 液晶靜態(tài)模型在液晶雙穩(wěn)態(tài)顯示上的應用

近年來，平面雙穩(wěn)態(tài)器件在液晶界受到廣泛關注。雙穩(wěn)態(tài)和多穩(wěn)態(tài)器件是液晶取向理論研究中的一個重要且具有實際應用前景的方向，Majumdar［68］和Spencer［69］最早分別基于OF 理論和LdG 理論提出了三維后對準雙穩(wěn)向列相（PABN）器件和二維頂點雙穩(wěn)器件（ZBD）。模型通常包括充滿向列相液晶材料的淺方形或矩形阱的周期性陣列，其具有幾何結(jié)構(gòu)簡單和結(jié)構(gòu)圖像豐富的優(yōu)點。

LdG 模型從統(tǒng)計物理角度出發(fā)，針對向列型液晶提出了能全面描述液晶物理現(xiàn)象的Q張量模型。Tsakonas 等人［21］將研究聚焦于底部為方形或矩形的阱截面上的平面向列相平衡態(tài)。阱面被誘導處理為切向邊界條件，在向列相液晶的LdG 理論中建模（沒有任何外場），計算了二維LdG 能量在正方形或矩形阱上具有切向邊界條件的局部極小值，并得到兩類明顯的穩(wěn)定平衡態(tài)：對角解和旋轉(zhuǎn)解（圖11）。Luo 等人［22］在此基礎上，將分析進一步擴展到表面能和一定程度的弱錨定，仔細研究了對角解和旋轉(zhuǎn)解對表面錨定強度的依賴關系，并提出了基于介電效應的切換機制的動態(tài)模型，認為對角解與旋轉(zhuǎn)解間的切換由外加電場和頂部邊緣錨定之間的競爭引起。通過施加足以打破邊緣錨定的外部電場或不施加電場，數(shù)值演示了對角解和旋轉(zhuǎn)解之間的切換過程。在LdG 理論的框架內(nèi)，Kusumaatmaja 和Majumdar［70］對表面能勢建模，計算可變表面錨定強度的穩(wěn)定平衡態(tài)之間的最小能量路徑，提供了在LdG 理論模型中如何連接各平衡態(tài)的新信息。

圖11 （a）向列相液晶器件原理圖；（b）兩種穩(wěn)定平衡解［21］。Fig.11 （a）Schematic diagram of the nematic liquid crystal device；（b）Two stable equilibrium solutions［21］.

在OF 框架下，Walton 等人［71］提出了液晶被限制在矩形阱中的靜態(tài)模型，其指向矢在xy平面內(nèi)。平面內(nèi)的分子指向矢由系統(tǒng)總自由能的極小值決定，推導出指向矢的解析表達式，寫成一個包含超越方程根的無窮級數(shù)，并確定了臨界錨定強度。在該強度下，均勻的指向矢取向發(fā)生扭曲，得到與上述一致的兩類平衡解。使用指向矢取向的解析形式可以計算系統(tǒng)在接近臨界錨定強度和無限強錨定極限時的漸近行為。后一種分析可以與該領域前期工作的結(jié)果進行比較，最終結(jié)果表明漸近展開式與數(shù)值計算結(jié)果完全一致。Lewis［10］的工作同樣基于OF 理論模型，討論了內(nèi)部缺陷的平衡態(tài)以及內(nèi)部缺陷在不同態(tài)之間的能量最小化路徑，并計算了穩(wěn)定平衡之間的能壘。此外，Tiribocchi［72］基于LdG 理論研究了藍相液晶的雙穩(wěn)態(tài)缺陷結(jié)構(gòu)，從理論上確定了兩種受限的藍相Ⅰ系統(tǒng)，并可以通過外加電場對其選擇。其中文獻［22，69，72］涉及到液晶在外電場的作用下在穩(wěn)態(tài)之間的切換，因此自由能中包括電場能項。文獻［22，72］還包含Q張量的動力學方程。

多穩(wěn)態(tài)顯示器在無外場時可以支持兩種或更多種穩(wěn)定的光學對比明顯的液晶態(tài)，能夠在斷電時持續(xù)顯示，只需要在改變顯示圖像和文字時加電脈沖驅(qū)動，具有超低功耗的優(yōu)點，在未來新一代更經(jīng)濟、更高分辨率的顯示器領域有著廣泛的應用前景。

4.4 液晶靜態(tài)模型在手性液晶外場響應研究中的應用

膽甾相（手性向列相）液晶通常由在向列相液晶中加入手性劑制成，其分子長軸在空間中螺旋旋轉(zhuǎn)。在垂直于螺旋軸的平面內(nèi)，分子長軸取向沿該平面內(nèi)的指向矢方向。膽甾相液晶具有很多特殊的性質(zhì)［16］，如旋光性、圓二色性、選擇性反射等，此外它還是一種非常優(yōu)良的非線性光學材料，具有明顯的熱光效應［73］、電光效應［74］、磁光效應［75］、壓光效應［76］等，使得光在其中傳播時表現(xiàn)出一些特殊的性質(zhì)。Oseen 最早提出了一種廣泛使用的膽甾液晶模型［5］，將液晶視為一種各向異性介質(zhì)，其介電張量與位置有關，可以采用兩種坐標系描述，即固定坐標系（Oxyz）和旋轉(zhuǎn)坐標系（Oabc）。其中z軸和c軸相同且平行于螺旋軸方向，在第二個坐標系中介電張量用一個“螺旋橢球”表示，兩個主軸Oa和Ob繞z軸旋轉(zhuǎn)，沿z方向單位長度的變化對應的兩主軸扭轉(zhuǎn)角為2π/p，p表示膽甾相液晶的螺距，如圖12 所示，其中q為螺旋結(jié)構(gòu)的周期波矢，大小等于2π/p。這一模型已經(jīng)被廣泛應用在膽甾相液晶光學性質(zhì)及手性材料的計算中［77-80］。

圖12 Oseen 模型中的雙坐標系［79］Fig.12 Coordinate systems in the Oseen model［79］

對于膽甾相液晶而言，外部電場和磁場會使系統(tǒng)的能量面和能量面上極小值的位置發(fā)生變化，進而導致液晶相的狀態(tài)轉(zhuǎn)換，被稱為Fréedericksz 效應。這種相變既可以連續(xù)，也可以不連續(xù)，取決于能量面的液晶參數(shù)。在一定條件下，膽甾相液晶可以具有多個不同光學性質(zhì)的穩(wěn)定態(tài)。液晶穩(wěn)定態(tài)間轉(zhuǎn)換的理論描述是液晶基礎研究中的一個重要問題，在光學液晶顯示器的設計中具有重要意義。在膽甾相液晶的外場響應問題中，一個長螺距的膽甾相液晶被夾在兩個水平平行玻璃板之間，假設采用垂直定向，即靠近表面的分子垂直于平板，當兩個平行玻璃板間的距離d足夠小時，表面錨定迫使膽甾相液晶中所有分子都垂直于平板。當施加平行方向磁場或垂直方向的高頻電場，且達到臨界閾值以上時，膽甾相液晶的螺旋結(jié)構(gòu)將逐漸解旋，顯示了一系列豐富的熱力學相圖，諸如垂直取向向列相、指紋模式等。當膽甾相的液晶分子周期性螺旋排列時，液晶材料呈現(xiàn)Bragg 反射特性；而當膽甾相液晶分子取向受到外場影響而出現(xiàn)變化時，液晶材料的光傳輸性質(zhì)也將發(fā)生顯著變化［81-83］。

膽甾相液晶的解螺旋問題可以通過自由能密度函數(shù)F來分析，該函數(shù)依賴于單位矢量n（r）的局部變化，它給出了在每個位點r上的分子優(yōu)先取向方向。膽甾相液晶自由能密度最簡單的形式是Frank 提出的［6］，F(xiàn)rank 理論同樣假設膽甾相液晶在小尺度上可以視作向列相材料。Meyer［84］通過OF 理論，提出 了一種計算由電場或磁場導致膽甾相液晶分子結(jié)構(gòu)變化的通用方法，其一般步驟是找到以單位矢量n（r）為特征的結(jié)構(gòu)，使總自由能最小化。同時，舉例討論了膽甾相液晶螺旋結(jié)構(gòu)隨外加電場的變化。當電場作用于填充了膽甾相液晶的液晶盒時，膽甾相液晶分子結(jié)構(gòu)的變化還取決于許多因素，諸如液晶盒厚度、外加電壓強度、錨定條件、膽甾相液晶介電特性等。李青等人［85］通過膽甾相液晶的OF 彈性連續(xù)體理論，分析了多疇膽甾相液晶在靜電場下各狀態(tài)的物理變化過程，以單疇為研究對象建立了靜電場中單疇從平面織構(gòu)態(tài)（P 態(tài)）到焦錐織構(gòu)態(tài)（FC 態(tài)）以及從FC 態(tài)到場致向列相態(tài)（H 態(tài)）的狀態(tài)轉(zhuǎn)化的物理方程，為進一步研究多疇膽甾相液晶相變的動力學變化規(guī)律打下了基礎。Ivanov等人［86］通過分析OF 模型定義的系統(tǒng)多維能量面，研究了膽甾相液晶中多種穩(wěn)定態(tài)之間的轉(zhuǎn)變，通過能量面的極小值對應穩(wěn)定狀態(tài)，以極小值間的最短能量路徑定義了轉(zhuǎn)變的機制。Tenishchev 等人利用OF 模型自由能，推導了膽甾相液晶盒中不同亞穩(wěn)態(tài)之間螺旋結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換的最短能量路徑與電場強度的關系，研究了在電場作用下膽甾相液晶的場致畸變［87-88］，如圖13 所示。

圖13 不同電壓下沿最小能量路徑計算的不同指向矢構(gòu)型的單位面積能量Fig.13 Energy per unit area of different director configurations along the minimum energy paths at different voltages

此外，使用LdG 自由能表達式可以更好地處理各種平衡和非平衡狀態(tài)的液晶分子取向。Frisch等人［89］利用LdG 模型描述了膽甾相液晶解螺旋的過程，與實驗現(xiàn)象和熱力學相圖理論都有較好的一致性。Gil［90］利用LdG 模型數(shù)值解析得到膽甾相液晶解螺旋過程中的一些平衡構(gòu)型，并對研究結(jié)果進行了展示和討論，如圖14 所示。Belyakov［91］通過最小化LdG 自由能，從理論上研究與討論了膽甾相液晶薄層螺旋結(jié)構(gòu)在溫度或外場作用下的解螺旋過程與層邊界處分子黏附力的關系。Oswald［92］利 用LdG 模型分別分析了具有正、負介電各向異性的膽甾相液晶在施加垂直和平行螺旋軸方向電場時，不同電壓強度下的液晶相變化。此外，他還利用該模型分析了手性劑作用下近晶A 相-膽甾相的相變過程的物理機制，并且描述了將樣品置于溫度梯度中時，膽甾相液晶的解螺旋過程。Hare 等人［93］通過最小化LdG 自由能計算了近晶相液晶和膽甾相液晶的分子排列和液晶中的缺陷，展示了利用摻雜少量手性劑的近晶相液晶創(chuàng)建可調(diào)、可重構(gòu)的微透鏡，以及它如何在相變時從一種缺陷轉(zhuǎn)變成另一種類型的缺陷，如圖15 所示。研究發(fā)現(xiàn)，近晶相液晶的焦錐疇與溫度無關，而膽甾相的圓環(huán)形焦錐疇則對螺距和溫度十分敏感，因而可以構(gòu)建對溫度敏感和不敏感的兩種微透鏡，且前者的焦距可以由溫度或手性劑摻雜量靈活調(diào)節(jié)。

圖14 膽甾相液晶的指紋構(gòu)型（a）和平移不變構(gòu)型（b）的數(shù)值計算［90］Fig.14 Numerical simulations of the cholesteric finger pattern（a）and translationally invariant cholesteric configuration（b）［90］

圖15 近晶相液晶（a，b）和膽甾相液晶（c，d）中的圓環(huán)形疇［93］Fig.15 Circular domains in smectic（a，b）and cholesteric（c，d）liquid crystals［93］

由此可見，液晶的理論模型對于描述和分析膽甾相液晶在溫度和外場作用下的解螺旋與相變過程具有重要意義，進而可以為膽甾相液晶在光場調(diào)控、光學傳感與檢測、光通信等領域的廣泛應用奠定基礎。

除了本文提到的幾個領域外，液晶的靜態(tài)理論模型還在很多領域被廣泛應用。Tai 等人［94］通過數(shù)值模擬和實驗證明了垂直表面邊界條件的強度可以用于控制孤子和其他局域場構(gòu)型的結(jié)構(gòu)和拓撲，數(shù)值模擬使用了OF 和LdG 兩種模型的自由能泛函極小化。該工作的結(jié)果揭示了在改變邊界條件時扭曲壁（Twisted walls）、Fingers、Torons、斯格明子（Skyrmions）和其晶體組織之間的相互轉(zhuǎn)換，并為可控地實現(xiàn)斯格明子、Torons 和同時擁有二者特征的雜化孤子結(jié)構(gòu)提供了方法。Bisht 等人［95］聚焦于向列相液晶填充的微米級淺阱中均勻分布的磁性納米粒子的稀釋懸浮液，考慮平行錨定邊界條件，系統(tǒng)內(nèi)的兩個序參量相互耦合在沒有外加磁場的情況下可以表現(xiàn)出自發(fā)磁化，系統(tǒng)的總自由能由LdG 自由能、Ginzburg-Landau 自由能和磁化與向列相液晶之間的耦合能3 部分組成。通過數(shù)值計算得到了由幾何形狀、邊界條件和磁性納米粒子與宿主向列相介質(zhì)之間的耦合所誘導的穩(wěn)定向列相狀態(tài)及相關的磁化形態(tài)，并發(fā)現(xiàn)可以通過耦合和材料性質(zhì)來控制磁化分布中疇壁的位置，通過耦合也可調(diào)整內(nèi)部和邊界處液晶缺陷的位置和多樣性。Mur 等人［96］最近設計的3 個不同功能的可調(diào)諧雙折射向列相層展示了一種有效的液晶光束控制裝置（圖16），并通過LdG 模型計算了指向矢分布。在外電場下操控光束移動、偏轉(zhuǎn)和擴展（或聚焦），可以精確控制出射光的輪廓和傳播方向，出射光調(diào)節(jié)角度可達25°。據(jù)此可制造出高精度、易操作的光束控制裝置，廣泛應用于投影儀、汽車前照燈等領域。

圖16 （a）液晶光束控制裝置示意圖；（b）控制輸出光束分3 步驟進行：偏移、偏轉(zhuǎn)、擴展［96］。Fig.16 （a）Schematic view of a liquid crystal beam control device；（b）Control of the output beam is carried out in three steps：the incident beam is shifted，deflected and expanded［96］.

5 總結(jié)與展望

自20 世紀末液晶被發(fā)現(xiàn)以來，引起了眾多科研工作者的興趣。為了描述這種特殊液體的性質(zhì)，人們嘗試建立了多種理論模型。除本文討論的靜態(tài)理論模型外，描述液晶行為的動力學理論也被廣泛研究。包括著名的Erickson-Leslie（LE）理論（向量模型）［97］、Doi 動力學理論（分子模型）［98］和各種基于張量模型的理論，如均相液晶的Hand 理論［99］、Tsuji 和Rey 對非均質(zhì)流體的現(xiàn)象學理論［100］。液晶動力學的研究是復雜流體中的重要問題，如Yu 等人［101］采用流體動力學耦合模型研究了液晶聚合物在平面剪切流中的微觀結(jié)構(gòu)形成和缺陷動力學。Zhang 等人［102］將向列相液晶的LdG 模型與流體力學框架耦合，探討球殼約束對流動向列相（Active nematic）液晶的影響。由于篇幅關系，這里不過多論述。

本文主要綜述了描述液晶的靜態(tài)理論模型、不同模型的適用條件以及模型之間的聯(lián)系。處理實際問題時需根據(jù)不同模型的適用范圍、邊界條件選擇合適的序參量進行表述。對模型相關參數(shù)在極限下的行為的研究有利于更深入地了解模型描述的物理實質(zhì)。而更高維空間的數(shù)學復雜性及基于全局極小值的奇點附近的性質(zhì)研究是未來的一大挑戰(zhàn)。液晶在拓撲缺陷方面的研究主要集中在平衡和非平衡現(xiàn)象中材料性質(zhì)、幾何形狀、溫度、邊界效應和外場之間的復雜相互關系，理論模型的提出為很多現(xiàn)代應用的發(fā)展提供了方向。

近年來，機器學習，尤其是深度學習被廣泛應用于光學領域，如在計算全息圖產(chǎn)生與成像、光譜共振曲線預測和超表面的結(jié)構(gòu)設計、光學傳感等方面［103-106］顯示出巨大的潛力。因此，突破常規(guī)經(jīng)驗設計，利用深度學習算法對液晶中拓撲缺陷的預測也是值得期待的。