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    一類考慮復(fù)吸的時滯戒煙模型*

    2022-08-10 09:20:38張子振張偉詩
    關(guān)鍵詞:吸煙者平衡點時滯

    張子振,張偉詩

    (安徽財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院,安徽 蚌埠 233030)

    1 問題的提出

    生物數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)W者認為吸煙可以通過社交活動接觸傳播,因此,近年來他們一直努力基于傳染病動力學(xué)原理,通過數(shù)學(xué)建模的方式向人類宣傳控?zé)熀徒錈煹谋匾?尤其是Garsow等[1]提出基本的戒煙模型以后,學(xué)者構(gòu)建了各類戒煙模型,如考慮臨時戒煙群體的戒煙模型[2]和考慮偶爾吸煙群體的戒煙模型[3].由于現(xiàn)實世界中多數(shù)問題具有一定的不確定性,因此學(xué)者進一步構(gòu)建了具不確定性的戒煙模型,如隨機戒煙模型[4]和具有非線性發(fā)生率的戒煙模型[5-6].Ullah等[7]在文獻[3-4]的基礎(chǔ)上,提出了如下考慮復(fù)吸的戒煙模型:

    (1)

    其中:P(t),O(t),S(t),Qt(t)和Qp(t)分別為潛在吸煙者、偶爾吸煙者、重度吸煙者、暫時戒煙者和永久戒煙者在時刻t的數(shù)量;Λ,β,μ,α1,α2,γ,δ為模型(1)的參數(shù),Λ為潛在吸煙者的輸入率,β為潛在吸煙者和重度吸煙者之間的有效接觸率,μ為所有個體的自然死亡率,α1為偶爾吸煙者變?yōu)橹囟任鼰熣叩谋壤?,?為暫時戒煙者復(fù)吸的比例,γ為重度吸煙者戒煙的比例,δ為永久戒煙者在所有戒煙者中的占比,1-δ為暫時戒煙者在所有戒煙者中的占比.

    顯然,模型(1)假設(shè)偶爾吸煙者變?yōu)橹囟任鼰熣呤撬矔r的,這與現(xiàn)實不相符,因為偶爾吸煙者需要經(jīng)過一定的時間周期才會對尼古丁產(chǎn)生依賴而變?yōu)橹囟任鼰熣?因此,筆者在模型(1)中引入偶爾吸煙者變?yōu)橹囟任鼰熣咝枰?jīng)歷的時間周期時滯τ:

    (2)

    2 基本再生數(shù)和吸煙平衡點

    于是

    進而有

    這里S*是方程

    (3)

    的正根.這里:

    l0=μ((μ+γ)(μ+α1)μ-α1βΛ);

    l1=μ(μ+γ)(μ+α1)(α2+β)-α1α2βΛ-α2γμ(1-δ)(μ+α1);

    l2=α2β(μ+α1)(μ+γδ).

    3 局部漸近穩(wěn)定性和Hopf分岔的存在性

    模型(2)在吸煙平衡點E*(P*,O*,S*,Qt*,Qp*)的雅克比矩陣

    其中:

    m11=-(βS*+μ);m13=-βP*;m21=βS*;m22=-μ;m23=βP*;

    n22=-α1;m33=α2Qt*-(μ+γ);m34=α2S*;n32=α1;

    m43=γ(1-δ)-α2Qt*;m44=-(α2S*+μ);m53=γδ;m55=-μ.

    相應(yīng)的特征方程為

    λ5+Θ4λ4+Θ3λ3+Θ2λ2+Θ1λ+Θ0+(Ξ4λ4+Ξ3λ3+Ξ2λ2+Ξ1λ+Ξ0)e-λτ=0.

    (4)

    其中:

    Θ0=-m11m22m55(m33m44+m34m43);

    Θ1=m11m22(m33m44+m33m55+m44m55)+m33m44m55(m11+m22)+

    m34m43(m11m22+m11m55+m22m55);

    Θ2=-(m34m43(m11+m22+m55)+m11m22(m33+m44+m55))-

    ((m11+m22)(m33m44+m33m55+m44m55)+m33m44m55);

    Θ3=(m11+m22)(m33+m44+m55)+m11m22+m33m44+m33m55+m44m55+m34m43;

    Θ4=-(m11+m22+m33+m44+m55);

    Ξ0=m11m44m55(m23n32-m33n22)-m55(m13m21m44n32+m11m34m43n22);

    Ξ1=m34m43n22(m11+m55)+(m44+m55)(m11m33n22+m13m21n32)+

    m44m55n22(m11+m33)-m23n32(m11m44+m11m55+m44m55);

    Ξ2=m23n32(m11+m44+m55)-m13m21n32-(m11m33+m34m43)n22-

    n22(m44m55+(m11+m33)(m44+m55));

    Ξ3=n22(m11+m33+m44+m55)-m23n32;

    Ξ4=-n22.

    當τ=0時,方程(4)變?yōu)?/p>

    λ5+Λ4λ4+Δ3λ3+Δ2λ2+Δ1λ+Δ0=0.

    其中:

    Δ0=Θ0+Ξ0;Δ1=Θ1+Ξ1;Δ2=Θ2+Ξ2;Δ3=Θ3+Ξ3;Δ4=Θ4+Ξ4.

    根據(jù)Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù),當如下方程成立且τ=0時,模型(2)是局部漸近穩(wěn)定的:

    L1=Δ4>0,

    當τ>0時,假設(shè)λ=i?(?>0)是方程(4)的根,那么

    (5)

    進而得到關(guān)于?的代數(shù)方程

    ?10+Κ4?8+Κ3?6+Κ2?4+Κ1?2+Κ0=0.

    (6)

    其中:

    令?2=χ,則方程(6)變?yōu)?/p>

    χ5+Κ4χ4+Κ3χ3+Κ2χ2+Κ1χ+Κ0=0.

    (7)

    其中

    對方程(4)左右兩邊同時求λ關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù),得到

    于是

    根據(jù)文獻[10]中關(guān)于動力系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分岔的定理,可得如下結(jié)果:

    定理1如果R0>1,那么當τ∈(0,τ0)時,模型(2)局部漸近穩(wěn)定;當τ=τ0時,模型(2)在吸煙平衡點E*(P*,O*,S*,Qt*,Qp*)處產(chǎn)生Hopf分岔,并產(chǎn)生一簇分岔周期解.

    4 仿真示例

    參考文獻[7]中的參數(shù)取值,同時考慮到模型(2)產(chǎn)生Hopf分岔的充分條件,定義Λ=1,β=0.14,μ=0.001,α1=0.05,α2=0.002 5,γ=0.8,δ=0.48,代入模型(2)可得

    (8)

    于是R0=1.713 5>1,方程(3)變?yōu)?/p>

    (9)

    求解方程(9)得到唯一正根S*=2.173 1,由此可得模型(2)的唯一吸煙平衡點E*(3.276 2,19.543 6,2.173 1,140.532 4,834.470 4),進而得到?0=1.605 6,τ0=25.270 9.當τ=23.379 2∈(0,τ0)時,模型(8)是局部漸近穩(wěn)定的,此時模型(8)的狀態(tài)軌跡和相圖分別如圖1和圖2所示;當τ=29.903 9>τ0時,模型(8)失去穩(wěn)定性,在E*(3.276 2,19.543 6,2.173 1,140.532 4,834.470 4)附近產(chǎn)生Hopf分岔和一簇分岔周期解,此時模型(8)的狀態(tài)軌跡和相圖分別如圖3和圖4所示.

    圖1 當τ=23.379 2時,模型(8)的狀態(tài)軌跡Fig. 1 State Trajectories of Model (8) When τ=23.379 2

    圖2 當τ=23.379 2時,模型(8)的相圖Fig. 2 Phase Plots of Model (8) When τ=23.379 2

    圖3 當τ=29.903 9時,模型(8)的狀態(tài)軌跡Fig. 3 State Trajectories of Model (8) When τ=29.903 9

    圖4 當τ=29.903 9時,模型(8)的相圖Fig. 4 Phase Plots of Model (8) When τ=29.903 9

    5 結(jié)語

    在文獻[7]的基礎(chǔ)上引入偶爾吸煙者變?yōu)橹囟任鼰熣咝枰?jīng)歷的時間周期時滯,研究了一類考慮復(fù)吸的時滯戒煙模型.首先計算出模型的基本再生數(shù)和吸煙平衡點,然后以偶爾吸煙者變?yōu)橹囟任鼰熣咝枰?jīng)歷的時間周期時滯為分岔參數(shù),推導(dǎo)出模型的局部漸近穩(wěn)定和產(chǎn)生Hopf分岔的充分條件,進而計算出模型產(chǎn)生Hopf分岔時滯的臨界點.研究結(jié)果表明,時滯取值足夠小時,模型處于理想的穩(wěn)定狀態(tài),此時有利于控制吸煙的流行傳播;時滯取值越過臨界點τ0時,模型失去穩(wěn)定,產(chǎn)生Hopf分岔,此時不利于控制吸煙的流行傳播.值得注意的是,筆者只研究了模型(2)的局部穩(wěn)定性和Hopf分岔的存在性,并未對Hopf分岔的方向及穩(wěn)定性等展開討論.下一步,筆者將深入研究Hopf分岔的性質(zhì).

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