2022年新高考數(shù)學Ⅱ卷第12題探究*

四川省成都市郫都區(qū)第四中學 (611731) 涂道新

2022年新高考數(shù)學Ⅱ卷第12題是一道結構對稱優(yōu)美、解法靈活多樣、有探究價值的條件不等式問題．該題作為一道多項選擇題，極富數(shù)學思維價值和數(shù)學探究價值．因此，本文擬對這個問題從思路分析、推廣等角度作一些探究．

題目(多項選擇題)：若實數(shù)x,y滿足x2+y2-xy=1，則( )．

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

一、思路分析

思路2：(配方法)配方得x2+y2=2-(x-y)2，所以x2+y2≤2．由(x-y)2=1-xy≥0得xy≤1．因此(x+y)2=1+3xy≤4．所以-2≤x+y≤2．故選B、C．

二、問題的推廣

這道高考題的實質是，在條件x2+y2-xy=1之下，求解x+y和x2+y2的范圍．

推廣1 (多項選擇題)若正實數(shù)x,y滿足x3+y3-xy=1，則( )．

A.x+y≤2 B.x+y≥1

C.x3+y3≤2 D.x3+y3≥1

推廣2 若實數(shù)x,y滿足x2+y2-λxy=1，其中-2<λ<2，則

在推廣2中，對λ賦值，可編擬出很多新穎題目．

推廣3 設實數(shù)x,y滿足x2+y2-λxy=μ，其中-2<λ<2，μ>0，分別求x+y和x2+y2的取值范圍．

推廣3可以仿照推廣2的方法予以解答．

推廣4 設實數(shù)x,y滿足x2+y2-λxy=μ，其中|λ|>2，μ>0，分別求x+y和x2+y2的取值范圍．

推廣5 設n為大于1的正整數(shù)，x,y為正實數(shù)，且xn+yn-xy=1，分別求x+y和xn+yn的取值范圍．

推廣6 設n為大于1的正整數(shù)，x,y為正實數(shù)，且xn+yn-λxy=1，其中實數(shù)λ是常數(shù)，分別求x+y和xn+yn的取值范圍．

推廣4、5、6的探討都較復雜，留讀者探究．