一道橢圓中定比分點問題的求解

北京師范大學(xué)臺州附屬高級中學(xué) (318000) 江君香

圓錐曲線中的定比分點問題在歷年的高考中占有一席之地，而且主要是以橢圓為例，基本上都是定比分點在坐標(biāo)軸或定比分點為中點(即中點弦)的情況，常用的處理方法有韋達(dá)定理法、點差法、定比點差法、相關(guān)點法、幾何法等，對于定比分點為橢圓內(nèi)一般的點或者定比分點在橢圓外研究的不多，本文是筆者在教學(xué)中自編的一道題目及相關(guān)的求解方法.

一、題目分析

接下去如何處理？轉(zhuǎn)化這個結(jié)構(gòu)式，構(gòu)造出一個能使用韋達(dá)定理的式子？發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化有困難，計算量也不小.

那產(chǎn)生這樣計算困難的源頭在哪里，應(yīng)該是定比分點P位置的一般性，為了簡化計算，我們能否讓P點的位置變得特殊？同時，解析幾何也是幾何，既然從形的角度直觀感知直線應(yīng)該是經(jīng)過原點，能否繼續(xù)從形的角度進(jìn)行研究？若在橢圓中從形的角度解決比較困難，能否在與橢圓有密切聯(lián)系的幾何圖形中去思考？在這兩個思考的方向下，有了以下兩種解法.

二、解法探討

圖1

分析2：從幾何角度，與橢圓有淵源的幾何圖形是誰？那應(yīng)該是圓. 橢圓可以由圓伸長或縮短變換得到，所以自然而然的想法是讓橢圓回到圓，有了圓，我們可以依托圓的平面幾何的相關(guān)知識進(jìn)行解決.如何實現(xiàn)橢圓回到圓，仿射變換可以，經(jīng)過仿射變換，橢圓上的點相應(yīng)的位置，線段的數(shù)量比值是沒有發(fā)生改變.那就轉(zhuǎn)化為圓中相應(yīng)線段長度之比，從而簡化計算.

圖2

三、題目拓展

當(dāng)橢圓中的定比分點從橢圓內(nèi)到橢圓外呢？以上的平移坐標(biāo)法與仿射變換法是否仍然適用？

分析：同樣可以選擇上面的兩種方法求解，第(2)問看似存在問題，實則仍是求λ的最值問題.解答留給讀者思考.

平移坐標(biāo)法與仿射變換法從數(shù)與形的角度解決了定比分點一般性的問題，看似技巧，實則跳出題目本身，從局外的角度去分析定比分點的位置，是一種化繁為簡，化難為易的方法，也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸,數(shù)形結(jié)合的思想,對于定比分點在坐標(biāo)軸上，或者定比分點為中點也同樣適用.