一道圓錐曲線試題的拓展探究

浙江省杭州市交通職業(yè)高級(jí)中學(xué) (310011) 吳 江

1 試題呈現(xiàn)及解析

另外還可以結(jié)合圖形，分析可知當(dāng)直線MN的斜率kMN→0時(shí)，|BP|→0，|DP|→∞，由此可知|BP|+|DP|不可能為定值. 通過上述分析，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A為橢圓長(zhǎng)軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，那么定值與哪些變量有關(guān)？可否用一般性結(jié)論來表示？除此之外還會(huì)有哪些結(jié)論？接下來對(duì)這些問題展開討論.

2 一般化探究

將上述題干中的條件做一般化處理，可得到下述結(jié)論.

由結(jié)論1可知|BP|·|DP|是一個(gè)與n無關(guān)的量，揭示了原問題產(chǎn)生定值的本質(zhì). 另外關(guān)于直線的斜率也有定值關(guān)系，結(jié)論如下.

由結(jié)論2和結(jié)論3可知直線GH的斜率kGH和直線EF的斜率kEF都只與n(斜率kMN的倒數(shù))有關(guān)，與t無關(guān)，那么當(dāng)n變化時(shí)，直線EF如何變化？對(duì)于該問題，有下述結(jié)論.

在圖形計(jì)算器中，創(chuàng)建滿足條件的滑桿a、b、t和n，圖1為當(dāng)n變化時(shí)，直線EF形成的直線簇圖像，圖2為在圖1的基礎(chǔ)上畫出結(jié)論4中的方程圖像.

圖1 圖2

以上是將原問題條件一般化后得到的結(jié)論，接下來將這些結(jié)論類比推廣到雙曲線和拋物線.

3 拓展推廣

類比關(guān)于橢圓的結(jié)論1至結(jié)論4，關(guān)于雙曲線有下述結(jié)論，證明過程與上述證明類似，故從略.

在圖形計(jì)算器中，創(chuàng)建滿足條件的滑桿a、b、t和n，圖3為當(dāng)n變化時(shí)，直線EF形成的直線簇圖像，圖4為在圖3的基礎(chǔ)上畫出結(jié)論8中的方程圖像. 由上述可知，關(guān)于橢圓的結(jié)論1至結(jié)論4與關(guān)于雙曲線的結(jié)論5至結(jié)論8有著高度的相似性，體現(xiàn)出一種“對(duì)稱美”. 類似地，將上述結(jié)論類比推廣到拋物線，可得到下述結(jié)論.

圖3 圖4

已知拋物線y2=2px(p>0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P(t,0)(t>0)，過點(diǎn)P作直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，直線OM，ON分別交x=t于B，D兩點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G、H分別為線段BM、DN、BN、DM的中點(diǎn).

結(jié)論9 |BP|·|DP|=2pt.

結(jié)論10 直線BN、EF、DM、MN的斜率kBN、kEF、kDM、kMN滿足關(guān)系kBN=kEF=kDM=2kMN.

結(jié)論11 線段BN、EF、DM的中點(diǎn)G、I、H均在x軸上.

結(jié)論13 直線EF形成的包絡(luò)線方程為y2=-8p(x-t).

圖5 圖6

4 結(jié)束語

通過上述討論可以發(fā)現(xiàn)原本作為一道較為常規(guī)的圓錐曲線定值問題，卻展現(xiàn)出豐富的內(nèi)容和廣闊的空間供我們探究. 對(duì)于題目的拓展及變式探究是教師所必備的能力，這是提高學(xué)生核心素養(yǎng)的必要條件，所以只有教師看得更高，想得更全，學(xué)生才能走得越穩(wěn)越遠(yuǎn).