一道THUSSAT測(cè)試題的溯源與變式

山東省青島市即墨區(qū)第二中學(xué) (266200) 崔為為

1 試題呈現(xiàn)

評(píng)注：試題以導(dǎo)數(shù)應(yīng)用為背景設(shè)計(jì)的數(shù)列不等式證明問題，融構(gòu)造數(shù)列不等式、裂項(xiàng)、數(shù)列累加求和、對(duì)數(shù)運(yùn)算及放縮于一題，體現(xiàn)了知識(shí)間的交會(huì)運(yùn)用.其中的兩次“放縮”在證明的過程中起到了關(guān)鍵作用.

2 試題溯源

(2017年高考全國卷Ⅲ第21題)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

分析：上述測(cè)試題與該高考題本質(zhì)上可謂如出一轍. 由此可以看出，在強(qiáng)調(diào)命題改革的今天，通過改編、創(chuàng)新等手段來賦予往年高考真題新的生命，演變?yōu)樾碌母呖荚囶}，這已成為高考命題的一種常態(tài)化命題趨勢(shì).以“題”為鑒，這就啟示我們?cè)诟呖紡?fù)習(xí)教與學(xué)的過程中重視“回歸”，即回歸到對(duì)往年高考真題的深層次挖掘和研究，并將這樣的“回歸”貫穿復(fù)習(xí)備考的始終.

答案：(1)a=1；(2)m的最小值為3.(過程略)

3 變式探究

變式1 (2021屆河南省洛陽市第二次統(tǒng)考21改編)已知函數(shù)f(x)=x-lnx．

(1)求f(x)的最小值；

解析：(1)易得f(x)的最小值為1.

(2)由(1)可知，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f(x)>1，即x-lnx>1，所以lnx

(1)若不等式g′(x)-f′(x)≥0恒成立，求a的取值范圍；

(1)求函數(shù)f(x)的極值；

(2)(i)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0恒成立，求正整數(shù)的最大值；

解析：(1)當(dāng)k≤0時(shí)，f(x)無極值；當(dāng)k>0時(shí)，f(x)的極小值為lnk-k+2，無極大值.

(2)(i)k的最大值為3.

4 結(jié)束語

在數(shù)列不等式的證明過程中往往需要用到 “放縮”法.放縮法靈活多變、技巧性強(qiáng)，如何把握放縮的“度”，使得放縮“恰到好處”，這正是放縮法的精髓和關(guān)鍵所在.

高考真題具有很強(qiáng)的典型性和思維性，是命題者精心設(shè)計(jì)的問題，是對(duì)考試大綱的具體詮釋，對(duì)高考復(fù)習(xí)具有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義和導(dǎo)向性.關(guān)注命題者的意圖、解題需要的能力和科學(xué)的思維方法，使復(fù)習(xí)跳出題海，并“打磨利器，有的放矢”，利用對(duì)往年高考真題檢驗(yàn)復(fù)習(xí)效果，指導(dǎo)復(fù)習(xí)備考，使復(fù)習(xí)備考“擇高處立，向闊處行”.