順勢(shì)而為 拓展思維
——以一道圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題為例

福建省龍巖第一中學(xué) (364000) 劉文娟

解析幾何的本質(zhì)是用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題，這不可避免地會(huì)涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算，然而在解析幾何問(wèn)題解決的過(guò)程中，很多學(xué)生都在運(yùn)算方面出現(xiàn)了問(wèn)題，從而導(dǎo)致解題困難.另外，解析幾何問(wèn)題還考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力，考查學(xué)生能否將幾何特征代數(shù)化，并用代數(shù)的方法解決問(wèn)題，再將代數(shù)結(jié)論與幾何問(wèn)題融合思考，探究代數(shù)結(jié)論的幾何內(nèi)涵，從而尋找出解析幾何問(wèn)題的基本思想方法.因此，在解析幾何的教學(xué)過(guò)程中，要給學(xué)生留足思考時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考、分析、計(jì)算，同時(shí)適當(dāng)變形，又能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算理解，這樣既有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，又可以提高數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科素養(yǎng).筆者以一道解析幾何的解答題為例，開(kāi)展解題教學(xué)，教學(xué)效果較好，現(xiàn)與同行交流研討.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

此題是一道關(guān)于直線和橢圓位置關(guān)系的綜合題.第(Ⅰ)問(wèn)是比較基礎(chǔ)的問(wèn)題，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，能夠求出其方程；第(Ⅱ)問(wèn)重點(diǎn)考查直線與橢圓的綜合問(wèn)題，如何運(yùn)用“直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1”這一條件是本題的切入點(diǎn)，同時(shí)參變量的選取，解題規(guī)范性，數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，都是挑戰(zhàn).

2 問(wèn)題分析

評(píng)注：第(Ⅰ)問(wèn)對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)難度不大，但仍然有部分學(xué)生沒(méi)有寫(xiě)出解答過(guò)程，直接寫(xiě)出橢圓方程，解題不規(guī)范.

3 變式探究

引導(dǎo)學(xué)生改變題目的條件和結(jié)論，將試題進(jìn)行變式探究，可以較好地刺激學(xué)生對(duì)所學(xué)材料的興趣，活躍學(xué)習(xí)氣氛.平時(shí)教學(xué)過(guò)程中，教師要適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生分析探究問(wèn)題，抓住題目的本質(zhì)，并對(duì)典型試題做分析，適當(dāng)變形，舉一反三，這樣既能促進(jìn)學(xué)生積極思考問(wèn)題，又能拓展學(xué)生的思維能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4 問(wèn)題推廣

本節(jié)課后，筆者對(duì)課堂上的試題進(jìn)行反思，將試題做了如下推廣：

推廣2 已知拋物線C:y2=2px(p>0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A、B為C上不同于O的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線OA與直線OB的傾斜角分別為α,β，當(dāng)α,β變化且α+β為定值θ(0<θ<π).

5 思考反思

一道成功的試題往往意境深遠(yuǎn)，具有較強(qiáng)的“再生”能力與發(fā)展空間，我們可以把它作為知識(shí)與能力的生長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生探究其本質(zhì)，多角度地考慮問(wèn)題，開(kāi)闊視野，拓展思維.數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧”.回顧就是解題反思，它是整個(gè)解題過(guò)程的再思考、再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過(guò)程.教師要引導(dǎo)學(xué)生做好解題反思，通過(guò)題目的引申、變化、發(fā)散，探究問(wèn)題的本質(zhì)，從而提升學(xué)生的解題思維能力.