深度學(xué)習(xí)的實踐探究
——以“以退為進(jìn)”問題求解為例

江蘇省蘇州灣實驗初級中學(xué) (215200) 吳明飛

深度學(xué)習(xí)的研究起源于國外，F(xiàn)erence Marton和Reger Saljo于1976年首次公開提出深度學(xué)習(xí)(Deep Learning)這個概念，后來得到了更為深入、廣泛的研究.隨著核心素養(yǎng)概念的提出，深度學(xué)習(xí)的概念又一次被廣大教師所談及，深度學(xué)習(xí)得到了廣泛的認(rèn)同，并被不少人認(rèn)為深度學(xué)習(xí)是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的有效途徑.深度學(xué)習(xí)一定具有思維深度，孫智昌等人指出，深度學(xué)習(xí)的“深度”應(yīng)當(dāng)具有“理解”和“創(chuàng)新”的方向[1],數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最強(qiáng)調(diào)就是理解學(xué)習(xí)，創(chuàng)新也是深度學(xué)習(xí)的一種表現(xiàn).今天我們就從問題的解決過程中，體現(xiàn)創(chuàng)新的過程，了解深度學(xué)習(xí)的一些具體表現(xiàn).

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“善于退，足夠的退，退到最原始而不失去重要的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅”.在解題的過程中，有時感到“進(jìn)”有困難，沒有思路，沒有角度去“進(jìn)”，可能是因為太關(guān)注目標(biāo)，離題目“太近”，以致于管中窺豹，不能觀其全貌，退一步海闊天空.我們不妨運(yùn)用“退”的思路，“退”到我們最容易看清楚的地方，從而尋求突破口，再“進(jìn)”上去.根據(jù)不同的問題，可以從一般退到特殊，從數(shù)退到形，從條件退到結(jié)論，從整體退到局部，從充要條件退到必要條件等等，退到一個我們更容易解決的問題上，找到思路，解決問題，并能夠培養(yǎng)更高階的思維.本文結(jié)合具體問題，談?wù)勥@種策略的應(yīng)用.

一、從一般退到特殊

當(dāng)探尋一般性規(guī)律受阻時，往往可以通過特殊去探尋一般情形，即從一般退到特殊[2]這一策略，探尋解題思路.

例1 已知數(shù)列{an}中，a1=2，?p,q∈N*，有ap+q=ap+aq，求數(shù)列{an}的通項公式.

分析1：由ap+q=ap+aq很難求出{an}的通項公式，可以先寫出前幾項，尋找規(guī)律，再求{an}的通項公式，實際上就是采用特殊化的方法，利用數(shù)學(xué)歸納法求出通項公式.

分析2：?p,q∈N*，有ap+q=ap+aq，用特殊化的方法轉(zhuǎn)化為常見的遞推關(guān)系，即令p=n,q=1，得到an+1=an+a1.

解：令p=n,q=1，得到an+1-an=2，所以{an}為等差數(shù)列，an=2n，檢驗：?p,q∈N*，有ap+q=2(p+q)=2p+2q=ap+aq滿足.

本題采用從一般退到特殊，再由特殊推出一般規(guī)律，但要反過來檢驗一般性.

二、從數(shù)退到形

數(shù)屬于數(shù)學(xué)抽象思維的范疇，形屬于數(shù)學(xué)形象思維的范疇.抽象的東西很難把握，但形象的東西更容易解決，從數(shù)退到形，開拓解題思路，提高解題能力.

例2 設(shè)x,y,z∈(0,1)，求證：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

圖1

三、從條件退到目標(biāo)

有些題目，從已知條件去推出結(jié)論是很困難的，有時，我們可以先從目標(biāo)出發(fā)，尋求所需條件，反而可以簡化運(yùn)算，達(dá)到意想不到的效果.

圖2

四、從整體退到局部

通常判斷整體的性質(zhì)不便解決，可以先研究其局部，局部的解決，往往伴隨著整體問題的解決.

下證g(x)在(0,+∞)有零點.

五、從充要條件退到必要條件

一般地，所解的數(shù)學(xué)問題都是充要問題，但有些問題不容易入手，求解時不妨放寬條件，先求其必要條件，對于取值范圍問題而言，就是先縮小范圍，這樣有助于對問題的處理.

例5 若a>0，x2+ax+4<0有唯一整數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.

評注：還可以先從端點考慮，也稱端點效應(yīng)，從而縮小所求參數(shù)的范圍，例如函數(shù)f(x)=x2-2ax+1在區(qū)間[1,2]上恒成立，求參數(shù)a的取值范圍問題，可以先考慮端點，f(1)≥0,f(2)≥0從而縮小范圍，得a≤1，得到二次函數(shù)的對稱軸小于等于1，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]單調(diào)的，從而解決問題.

總之，深度學(xué)習(xí)能矯正學(xué)生淺層次的學(xué)習(xí)，更強(qiáng)調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的理解程度與思考程度，從而達(dá)到更高階的思維程度.