讓學生看到數(shù)學森林一片

江蘇省蘇州市陸慕高級中學 (215131) 萬福昌

1 問題提出

《普通高中數(shù)學課程標準》(2017年版)中提出：“提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，引導(dǎo)學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界”，會用數(shù)學的眼光觀察世界，其中所指的這個世界也應(yīng)包含數(shù)學.

教學中，一方面鼓勵學生用數(shù)學的眼光看現(xiàn)實生活；另一方面，也要積極鼓勵學生用數(shù)學的眼光看數(shù)學.我們面對數(shù)學對象或問題，如何讓學生用數(shù)學的眼光看數(shù)學？如何讓學生看到更多的數(shù)學背景，并在觀察、聯(lián)想、思考的過程中發(fā)展學生的能力和素養(yǎng)？

筆者在一次公開課上嘗試用一個數(shù)學問題，鼓勵學生聯(lián)想已學習的數(shù)學知識，多角度思考解決問題的途徑.課堂教學設(shè)計旨在探究如何讓學生看到數(shù)學森林一片，公開課得到了聽課者好評，驚嘆學生的聯(lián)想能力和思維發(fā)散度.下面錄入課堂教學主要片斷，與同行們分享教學中的體會.

2 案例

視角一：視為和積式

師：這個題目是我們所熟知的簡單題，請根據(jù)已知條件和結(jié)論中的式子特征聯(lián)想有關(guān)數(shù)學知識，并加以解決.

生1：已知為和、所求為積，聯(lián)想基本不等式.

視角二：視為三角函數(shù)平方關(guān)系

師：你能聯(lián)想到三角有關(guān)知識嗎？

生2：聯(lián)想到公式sin2θ+cos2θ=1.

師：同樣地，也可以聯(lián)想圓的方程或橢圓方程.

視角三：視為等差數(shù)列

師：你能聯(lián)想到數(shù)列有關(guān)知識嗎？

生3：聯(lián)想等差數(shù)列中項.

視角四：視為平面幾何圖形中有關(guān)量.

師：能否聯(lián)想有關(guān)幾何圖形?

生4：構(gòu)造直角三角形，運用幾何或三角知識來解決問題.

圖1

視角五：視為直線方程

師：有哪些式子和為1，能利用相關(guān)知識來解決嗎？

圖2

生6說出了下列解法8.

視角六：視為函數(shù)求值域

師：求變量的范圍，還有什么方法？

生7：將xy消元變?yōu)橐辉瘮?shù)求值域.

視角七：視為方程的根

師：從方程的視角看，兩個數(shù)的和可以聯(lián)想到什么？

生8：聯(lián)想到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可構(gòu)造一元二次方程.

視角八：視為方程的系數(shù)

師：在求解二元變量時，除了消元變?yōu)橐辉瘮?shù)，還可以考慮整體設(shè)元，回帶求解.

生9提供了解法13.

師：整體設(shè)元，回代后視為一元二次方程的系數(shù)，再用判別式求范圍.

視角九：視為線性規(guī)劃問題

師：在求線性規(guī)劃中，我們?nèi)绾吻蠓秶?

生10：將目標函數(shù)視為整體，變?yōu)楹瘮?shù)和可行域有公共交點.

視角十：視為工程應(yīng)用問題

師：還能聯(lián)想到什么數(shù)學問題？

生11：聯(lián)想到應(yīng)用問題中的工程問題：一項工作，若甲、乙單獨完成分別為x,y小時完成，若甲單獨做2個小時，乙再做3個小時，恰好完成工作，求xy的最小值.

師：解法15將問題特殊化，雖然解法不嚴謹，但敢于聯(lián)想，聯(lián)想到應(yīng)用問題中的工程問題還是值得肯定.

3 教學思考

師生共同探究下，學生通過聯(lián)想激活思維，對問題“橫看成嶺側(cè)成峰”，使這節(jié)變成了一堂智趣的數(shù)學課.一個簡單的問題，可以用十種不同的視角，十多種不同的方法來解決，幾乎涵蓋了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角、數(shù)列、不等式、平面幾何、解析幾何、方程等數(shù)學的主干知識.教學后有如下體會.

3.1 讓學生看到數(shù)學的森林一片

數(shù)學發(fā)展的動力，一方面來源于生活實際需要，另一方面是數(shù)學自身發(fā)展的需要.從數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程來看,數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展不只是實際需求的結(jié)果,也是數(shù)學內(nèi)部矛盾作用的結(jié)果.正負數(shù)不僅起源于為了表示具有相反意義的量,也是數(shù)學自身發(fā)展的需要.無理數(shù)的產(chǎn)生也是如此.教學實踐中既要強調(diào)用數(shù)學的眼光看客觀世界，也要用數(shù)學的眼光數(shù)學.

在不同的視角中，建立數(shù)學知識之間的聯(lián)系，靈活運用數(shù)學知識解決問題，積極發(fā)展學生的思維發(fā)散力，培養(yǎng)學生的數(shù)學思想方法運用意識，培育數(shù)學的關(guān)鍵能力.

3.2 數(shù)學聯(lián)想讓學生思維翩翩起舞

聯(lián)想是一種自覺的有目的的想象，是由當前感知或思考的事物，想起有關(guān)的另一種事件，或由此再想起其他事件的心理活動，豐富多彩的想象，往往有利于開拓思路．只要善于想象，精心聯(lián)想，就能做到靈活解題．

在教學中，教師要善于鼓勵學生多角度的審視已知條件、結(jié)論，把握數(shù)學的本質(zhì)特征，充分聯(lián)想有關(guān)數(shù)學知識，著力培養(yǎng)學生的發(fā)散思維的習慣.

聯(lián)想需要數(shù)學知識做基礎(chǔ).如|x|=1，在數(shù)軸上看是兩個點，在平面直角坐標系中看是兩條直線，在復(fù)平面中是一個圓，在空間直角坐標系中是個球面.掌握數(shù)學概念本質(zhì)，數(shù)學公式的特征十分必要，是數(shù)學運用的前提，也是數(shù)學聯(lián)想活動的關(guān)鍵.聯(lián)想思維的方式，主要有相似聯(lián)想、數(shù)形聯(lián)想、化歸聯(lián)想、整體聯(lián)想.在數(shù)學解題過程中，要針對數(shù)學問題的內(nèi)容和特點展開聯(lián)想，由于聯(lián)想的方式以及方向、角度不同，往往可以得出多種解法．而相似聯(lián)想、數(shù)形聯(lián)想、化歸聯(lián)想、整體聯(lián)想在解題中并不是獨立的，在同一題目中可以相互交錯使用．

在數(shù)學教學中，培養(yǎng)學生既會用數(shù)學的眼光看世界，也會用數(shù)學的眼光看數(shù)學.面對數(shù)學問題，鼓勵學生充分聯(lián)想，多視角審視數(shù)學對象，讓學生看到數(shù)學森林一片.