區(qū)間自回歸模型及其性質(zhì)

趙志文，劉冬雪，姜 珊

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

0 引言

近年來(lái)，區(qū)間值數(shù)據(jù)在實(shí)際中廣泛存在.例如某城市一天內(nèi)溫度的變化范圍、人體舒張壓波動(dòng)情況都屬于區(qū)間值觀測(cè)數(shù)據(jù).如何對(duì)區(qū)間值數(shù)據(jù)進(jìn)行建模一直是統(tǒng)計(jì)學(xué)家關(guān)心的熱點(diǎn)問(wèn)題之一.M.A.Gil等[1-3]為研究區(qū)間值數(shù)據(jù)之間的線性關(guān)系定義了區(qū)間數(shù)據(jù)的廣義度量， 并利用該度量建立了區(qū)間回歸模型，同時(shí)利用最小二乘方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì).C.F.Manski和E.Tamer等[4]將精確值觀測(cè)數(shù)據(jù)推廣到區(qū)間值數(shù)據(jù)， 并研究了區(qū)間值數(shù)據(jù)回歸模型的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題.M.Domingues等[5]介紹了一種新的區(qū)間值數(shù)據(jù)線性回歸方法，該方法基于對(duì)稱線性回歸方法， 對(duì)因變量區(qū)間值上下限進(jìn)行預(yù)測(cè)， 且該預(yù)測(cè)不會(huì)因?yàn)閰^(qū)間值數(shù)據(jù)中存在異常值而受到影響.2003年，P.D’urso等[6-7]提出利用中心半徑法表示區(qū)間值數(shù)據(jù)，E.A.L.Neto等[8]對(duì)帶有約束條件的中心半徑法展開(kāi)深入研究.基于該表示方法， 統(tǒng)計(jì)學(xué)家們?cè)谏鲜鲅芯炕A(chǔ)上，進(jìn)一步考慮如何利用區(qū)間值數(shù)據(jù)構(gòu)建新模型以及如何對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)等問(wèn)題.利用中心半徑方法表示區(qū)間數(shù)據(jù)，A.Blanco-Fernández等[9]討論了當(dāng)自變量和因變量均為區(qū)間值時(shí)如何建立回歸模型以及如何對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)等問(wèn)題；B.Sinova等[10]進(jìn)一步對(duì)區(qū)間隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系進(jìn)行研究，研究結(jié)果表明區(qū)間值數(shù)據(jù)回歸模型的參數(shù)估計(jì)值取決于區(qū)間中點(diǎn)和區(qū)間半徑之間距離的權(quán)重；A.Blanco-Fernández等[11]基于最小二乘估計(jì)的漸近分布，研究了區(qū)間值線性回歸模型參數(shù)置信集的構(gòu)造問(wèn)題.本文將運(yùn)用中心半徑法表示區(qū)間值數(shù)據(jù)，對(duì)區(qū)間值時(shí)間序列觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，進(jìn)一步構(gòu)建區(qū)間自回歸模型，同時(shí)研究區(qū)間自回歸模型的相關(guān)性質(zhì).

1 區(qū)間自回歸模型

中心半徑法是利用區(qū)間中心和區(qū)間半徑來(lái)表示區(qū)間的一種算法.設(shè)區(qū)間集S={[a，b]|a，b∈R，a≤b}，任取區(qū)間A=[a，b]∈S，則區(qū)間A可以表示為A=[midA±sprA]=midA[1±0]+sprA[0±1]，其中midA=(a+b)/2表示區(qū)間A的中心，sprA=(b-a)/2≥0表示區(qū)間A的半徑.

設(shè){Xt}為區(qū)間值時(shí)間序列觀測(cè)數(shù)據(jù)，基于上述區(qū)間值數(shù)據(jù)的中心半徑表示法，定義如下一階區(qū)間自回歸模型AR(1)：

Xt=αmidXt-1[1±0]+βsprXt-1[0±1]+εt.

(1)

該區(qū)間自回歸模型可分解為如下中心自回歸模型和半徑自回歸模型：

(2)

定理1.1區(qū)間自回歸模型(1)可進(jìn)一步表示為

Xt=(αt-1midε1+αt-2midε2+…+α2midεt-2+α1midεt-1+α0midεt)[1±0]+(βt-1sprε1+βt-2sprε2+…+β2sprεt-2+β1sprεt-1+β0sprεt)[0±1].

證明注意到

Xt=αmidXt-1[1±0]+βsprXt-1[0±1]+εt=αmid(αmidXt-2[1±0]+βsprXt-2[0±1]+εt-1)+βspr(αmidXt-2[1±0]+βsprXt-2[0±1]+εt-1)+εt=α(αmidXt-2[1±0]+midεt-1[1±0])+β(βsprXt-2[0±1]+sprεt-1[0±1])+εt=α2midXt-2[1±0]+αmidεt-1[1±0]+β2sprXt-2[0±1]+βsprεt-1[0±1]+εt=α2midXt-2[1±0]+β2sprXt-2[0±1]+αmidεt-1[1±0]+βsprεt-1[0±1]+εt=α2mid(αmidXt-3[1±0]+βsprXt-3[0±1]+εt-2)+β2spr(αmidXt-3[1±0]+βsprXt-3[0±1]+εt-2)+αmidεt-1[1±0]+βsprεt-1[0±1]+εt=α2(αmidXt-3[1±0]+midεt-2[1±0])+β2(βsprXt-3[0±1]+sprεt-2[0±1])+αmidεt-1[1±0]+βsprεt-1[0±1]+εt=α3midXt-3[1±0]+α2midεt-2[1±0]+β3sprXt-3[0±1]+β2sprεt-2[0±1]+αmidεt-1[1±0]+βsprεt-1[0±1]+εt=α3midXt-3[1±0]+β3sprXt-3[0±1]+α2midεt-2[1±0]+β2sprεt-2[0±1]+αmidεt-1[1±0]+βsprεt-1[0±1]+εt=α3mid(αmidXt-4[1±0]+βsprXt-4[0±1]+εt-3)+β3spr(αmidXt-4[1±0]+βsprXt-4[0±1]+εt-3)+α2midεt-2[1±0]+β2sprεt-2[0±1]+αmidεt-1[1±0]+βsprεt-1[0±1]+εt=α3(αmidXt-4[1±0]+midεt-3[1±0])+β3(βsprXt-4[0±1]+sprεt-3[0±1])+α2midεt-2[1±0]+β2sprεt-2[0±1]+αmidεt-1[1±0]+βsprεt-1[0±1]+εt=α4midXt-4[1±0]+α3midεt-3[1±0]+β4sprXt-4[0±1]+β3prεt-3[0±1]+α2midεt-2[1±0]+β2sprεt-2[0±1]+αmidεt-1[1±0]+βsprεt-1[0±1]+εt=α4midXt-4[1±0]+β4sprXt-4[0±1]+α3midεt-3[1±0]+β3prεt-3[0±1]+α2midεt-2[1±0]+β2sprεt-2[0±1]+αmidεt-1[1±0]+βsprεt-1[0±1]+εt=…=αtmidXt-t[1±0]+βtsprXt-t[0±1]+αt-1midε1[1±0]+βt-1sprε1[0±1]+αt-2midε2[1±0]+βt-2sprε2[0±1]+…+α2midεt-2[1±0]+β2sprεt-2[0±1]+αmidεt-1[1±0]+βsprεt-1[0±1]+εt=αt-1midε1[1±0]+αt-2midε2[1±0]+…+α2midεt-2[1±0]+αmidεt-1[1±0]+βt-1sprε1[0±1]+βt-2sprε2[0±1]+…+β2sprεt-2[0±1]++βsprεt-1[0±1]+εt=(αt-1midε1+αt-2midε2+…+α2midεt-2+αmidεt-1)[1±0]+(βt-1sprε1+βt-2sprε2+…+β2sprεt-2+βsprεt-1)[0±1]+εt=(αt-1midε1+αt-2midε2+…+α2midεt-2+α1midεt-1+α0midεt)[1±0]+(βt-1sprε1+βt-2sprε2+…+β2sprεt-2+β1sprεt-1+β0sprεt)[0±1].

因此定理1.1成立.

2 區(qū)間自回歸模型的性質(zhì)

基于定理1.1，我們進(jìn)一步研究該模型的均值函數(shù)，方差函數(shù)，協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)系數(shù)等數(shù)字特征.

定理2.1對(duì)于區(qū)間自回歸模型(1)，其均值函數(shù)為

證明注意到

由此證明定理2.1成立.

定理2.2對(duì)于區(qū)間自回歸模型(1)，其方差函數(shù)為

證明注意到

由此證明定理2.2成立.

定理2.3對(duì)于區(qū)間自回歸模型(1)，其協(xié)方差函數(shù)為

證明當(dāng)t≠s時(shí)，令t≥s，由(2)式可知midXt=αmidXt-1+midεt為AR(1)模型，其中{midεt}為白噪聲序列，滿足E(midεtmidεs)=0，因而有

Var(midεt，midεs)=E(midεt-E(midεt))(midεs-E(midεs))=E(midεtmidεs)=0.

此外，注意到

Cov(Xt，Xs)=Cov((αt-1midε1+αt-2midε2+…+αt-smidεs+…+α1midεt-1+α0midεt)[1±0]+(βt-1sprε1+βt-2sprε2+…+βt-ssprεs+…+β1sprεt-1+β0sprεt)[0±1]，

此外，當(dāng)t=s時(shí)，區(qū)間自回歸模型的協(xié)方差函數(shù)為

由此證明定理2.3成立.

定理2.4對(duì)于區(qū)間自回歸模型(1)，其自相關(guān)系數(shù)為

證明令γ(t，s)=Cov(Xt，Xs)，區(qū)間自回歸模型的自相關(guān)系數(shù)

當(dāng)t≠s時(shí)，令t≥s，則有

當(dāng)t=s時(shí)，則有

由此證明定理2.4成立.

3 結(jié)語(yǔ)

區(qū)間值時(shí)間序列觀測(cè)數(shù)據(jù)在實(shí)際中廣泛存在，如何對(duì)區(qū)間值時(shí)間序列觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模是統(tǒng)計(jì)學(xué)家關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題之一.本文進(jìn)一步考慮了區(qū)間值時(shí)間序列觀測(cè)數(shù)據(jù)的建模分析問(wèn)題.基于中心半徑法表示區(qū)間值數(shù)據(jù)，提出了一種新的區(qū)間自回歸模型.和文獻(xiàn)中已有的模型比較，該模型的區(qū)間中心和區(qū)間半徑具有不同的系數(shù).此外，也研究了該模型的數(shù)字特征，給出了該模型的均值函數(shù)、方差函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)以及自相關(guān)系數(shù)等，這些結(jié)果為進(jìn)一步研究區(qū)間自回歸模型的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題奠定了基礎(chǔ).