一類具有Hill型感染率的HIV模型的動(dòng)力學(xué)分析

李永鳳,黃嵩,朱城志

(鄭州輕工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,鄭州 450002)

具有時(shí)滯的模型已有很多研究[9-11],在研究病毒清除率時(shí)，文獻(xiàn)[9]引入兩種時(shí)滯，即藥理時(shí)滯和細(xì)胞內(nèi)時(shí)滯.細(xì)胞內(nèi)時(shí)滯定義為從細(xì)胞感染到產(chǎn)生新的病毒粒子的這段時(shí)間.如果對(duì)HIV病人使用抗病毒藥物，應(yīng)用藥物之后，藥理效應(yīng)有一個(gè)短的時(shí)滯，即由藥物吸收到滲透進(jìn)靶細(xì)胞這段時(shí)間，稱這段時(shí)滯為藥理時(shí)滯.PERELSON等[9]認(rèn)為HIV-1生命周期內(nèi)的階段是由血漿病毒載量的初始負(fù)荷減去藥理時(shí)滯和血漿病毒的平均壽命.文獻(xiàn)[10]考慮了細(xì)胞內(nèi)時(shí)滯是一個(gè)連續(xù)的隨著分布發(fā)生變化的時(shí)滯.文獻(xiàn)[11]考慮了細(xì)胞內(nèi)時(shí)滯，假設(shè)從細(xì)胞感染到產(chǎn)生病毒的滯后時(shí)間用τ表示，是一個(gè)離散時(shí)滯，本文采用此形式時(shí)滯.

1 模型構(gòu)建

基于以上因素，考慮Hill型飽和感染率，可得模型：

(1)

參數(shù)意義如下，T:靶細(xì)胞的數(shù)量;I:感染細(xì)胞的數(shù)量;V:病毒的載量;s,μT,r,Tmax參數(shù)意義同文獻(xiàn)[3]所述;β:感染率;α(>0):半飽和常數(shù);μI:感染T細(xì)胞的自然死亡率;d:感染T細(xì)胞的因病死亡率;N:一個(gè)感染的CD4+T細(xì)胞由于細(xì)胞分解而產(chǎn)生的病毒粒子的數(shù)量;μV:病毒的清除率，記p=Nd.

同時(shí)在模型(1)中引入離散時(shí)滯，則模型(1)變?yōu)?/p>

(2)

初始值為T(ξ)=φ1(ξ)≥0,I(ξ)=φ2(ξ)≥0,V(ξ)=φ3(ξ)≥0,ξ∈[-τ,0],φi(0)>0(i=1,2,3).

2 模型(1)分析

引理1系統(tǒng)(1)總有無(wú)病平衡點(diǎn)E0，且當(dāng)R0>1時(shí)有唯一的地方病平衡點(diǎn)E*.

引理2令(T(t),I(t),V(t))為系統(tǒng)(1)的解，則對(duì)t≥0有T(t)≥0,I(t)≥0,V(t)≥0.

引理3令(T(t),I(t),V(t))為系統(tǒng)(1)的解，則對(duì)t≥0有T(t),I(t),V(t)有界.

(3)

定理1如果R0<1，系統(tǒng)(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)；如果R0>1，E0是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)，且有二維穩(wěn)定流形及一維不穩(wěn)定流形，即dimWs(E0)=2，dimWu(E0)=1.

由路斯霍維茨判據(jù)知當(dāng)且僅當(dāng)R0<1時(shí)λ2,λ3有負(fù)實(shí)部，此時(shí)E0漸近穩(wěn)定.若R0>1，則λ2·λ3<0，因此E0是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)，且dimWs(E0)=2，dimWu(E0)=1.如果R0=1，則λ2,λ3一定有一個(gè)為零，不妨記λ2=0，此時(shí)λ3=-(μI+d+μV)<0，無(wú)病平衡點(diǎn)E0是中立穩(wěn)定的，且此時(shí)E0=E*.當(dāng)R0>1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)E*出現(xiàn).

定理2如果R0<1，無(wú)病平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定.

3 時(shí)滯系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理4如果R0<1，對(duì)任意的τ>0，系統(tǒng)(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的；如果R0>1，對(duì)任意的τ>0，E0是不穩(wěn)定的.

(4)

當(dāng)τ>0時(shí)，假設(shè)方程(4)有純虛根λ=±iw(w>0)，將其代入方程(4)得，

如果R0=1，(4)式變?yōu)棣?+(μI+d+μV)λ+(μI+d)μV-(μI+d)μVe-λτ=0，顯然λ=0是單根，下面說(shuō)明另一個(gè)根一定有負(fù)實(shí)部.事實(shí)上，如果有復(fù)根λ=u±iw(u>0,w>0)，則有

化簡(jiǎn)得:

(5)

而(5)式左端等于

(u2+w2)2+((μI+d+μV)u+(μI+d)μV)2+2u2((μI+d+μV)u+(μI+d)μV)+

證明在E*處的特征方程為

λ3+m1λ2+m2λ+m5+(m3+m4λ)e-λτ=0,

(6)

其中m1=μI+d+μV+B-A,m2=(μI+d)μV+(B-A)(μI+d+μV),m4=-pC,m3=A(μI+d)μV,m5=(μI+d)μV(B-A).由Rouche定理[14]及τ的連續(xù)性，(6)有正實(shí)部的根當(dāng)且僅當(dāng)它有純虛根.令λ=iw(w>0)為其根，下面說(shuō)明此w不存在.

把λ=iw代入到方程(6)中并分離實(shí)部與虛部得:

(7)

平方相加得:

w6+A1w4+A2w2+A3=0,

(8)

H(z)=z3+A1z2+A2z+A3=0,

(9)

4 時(shí)滯系統(tǒng)(2)正平衡點(diǎn)處的分支

定理6如果成立，時(shí)滯系統(tǒng)(2)當(dāng)τ=τj時(shí)在地方病平衡點(diǎn)E*處發(fā)生Hopf分支現(xiàn)象，即當(dāng)τ通過臨界值τj時(shí)E*處產(chǎn)生一族周期解.

5 數(shù)值模擬

對(duì)于系統(tǒng)(1)，令s=10,μT=0.01,μI=0.009,μV=2,r=0.8,n=1,T=1 300,β=0.007,d=0.3,α=3,N=100,此時(shí)定理2條件滿足，系統(tǒng)(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，即疾病消除，見圖1.

取s=8,μT=0.01,μI=0.009,μV=2,r=0.5,n=1,T=1 500,β=0.007,d=0.3,α=50,N=2 500,定理3條件滿足，系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)穩(wěn)定，疾病持續(xù)，見圖2.

取s=5,μT=0.005,μI=0.03,μV=5,r=0.4,n=1,T=100,β=0.000 27,d=0.2,α=50,N=10,τ=3.2,此時(shí)定理4條件滿足，系統(tǒng)(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)穩(wěn)定，見圖3.

取s=10,μT=0.01,μI=0.009,μV=2,r=0.8,n=1,T=100,β=0.000 27,d=0.3,α=11,N=2 500,τ=1，此時(shí)定理5條件滿足，系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)穩(wěn)定，見圖4.

令s=5,μT=0.005,μI=0.03,μV=5,r=0.4,n=1,T=400,β=0.003,d=0.2,α=50,N=10,τ=3，系統(tǒng)(2)出現(xiàn)正周期解，見圖5.

6 結(jié)束語(yǔ)

本文建立了一類具有Hill感染率的HIV模型及時(shí)滯模型，利用Routh-Hurwitz判據(jù)和Lyapunov函數(shù)等方法分別給出了無(wú)病平衡點(diǎn)和正平衡點(diǎn)存在和穩(wěn)定的條件，得到了基本再生數(shù)R0，并對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)(2)正平衡點(diǎn)處的分支情況進(jìn)行了討論.最后利用數(shù)值模擬驗(yàn)證了定理的正確性.