沒有什么不能用數(shù)學(xué)表達(dá)

☉郝景芳

數(shù)學(xué)是一種語言。

數(shù)學(xué)是宇宙世界使用的語言，唯一的語言。我們什么時候找到一件事的底層數(shù)學(xué)語言，就算是真正理解了這件事。

數(shù)學(xué)是世界的原理，萬物只是表象。

數(shù)學(xué)是簡單的

先給大家講一個小故事。

2020年，我們的教研老師做了一版教“微積分”的教研稿。當(dāng)時，她們是中規(guī)中矩按照教科書和網(wǎng)絡(luò)上查到的資料寫的，介紹了定義、歷史發(fā)展和重要的數(shù)學(xué)家。

我說：“這太難太枯燥了，6歲的小孩看不懂?！苯萄欣蠋熣f：“6 歲的小孩本來就沒法懂微積分?！?/p>

我說：“微積分就是直尺量曲線，6歲的小孩怎么能不懂？”

后來，我們做了一個小游戲，讓小朋友嘗試用一把直尺測量曲線，以此理解微積分的概念，小孩子都能玩通關(guān)。我女兒說：“微積分也挺容易的嘛！”

不久之后，當(dāng)我在餐桌上跟其他人笑談這段往事時，在座的一位女士恍然大悟，她說：“微積分就是直尺量曲線嗎？你這么一說，我好像有點明白了。那么，直尺量曲線該怎么量呢？”

我說：“你自己想想啊，你覺得怎么量？”

她想了想說：“一小段一小段地量，再加起來？”

我說：“對啦！恭喜你推導(dǎo)出了微積分！分成小段，叫微分；加起來，叫積分?！?/p>

她說：“所以，那一小段得特別小?！?/p>

我說：“這叫求極限，微分就是無限小。”

她說：“今天才明白！原來是這樣。”

我說：“是啊，所有微積分，都是某種形式的‘直尺量曲線’，只是算的東西千變?nèi)f化。微積分是一種思想，是把一個大問題拆分到一個極為微小的局部，把局部算出來，再加總為整體。其余的都是計算技巧?！?/p>

很多數(shù)學(xué)概念，其實都是思維方法。微積分是“直尺量曲線”，這是最直觀的數(shù)學(xué)概念。它的實際思想是把大問題拆分為小問題，再加總得到大問題的答案。這個思想能解決很多問題。不僅對物理問題有用，對我們在生活里思考問題也有幫助。

有時候，我們的老師并不重視對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念的理解，就讓學(xué)生直接做題。很多學(xué)生沒有完全理解數(shù)學(xué)概念，做題就會陷入云里霧里，覺得數(shù)學(xué)好難?。?/p>

其實，數(shù)學(xué)概念本身是簡單的，很多都是為了把這個世界更清晰地表達(dá)出來，并且發(fā)現(xiàn)其中的終極規(guī)律。如果發(fā)現(xiàn)了，帶著數(shù)學(xué)規(guī)律去看世界，會發(fā)現(xiàn)千變?nèi)f化的世界也變得簡單清晰了。

萬事皆通數(shù)學(xué)

給別人講過微積分的故事之后，有人問我：“那線性代數(shù)怎么理解呢？”

我說：“線性代數(shù)就是找男朋友的分?jǐn)?shù)對比?！?/p>

這是什么意思呢？其實，線性代數(shù)處理的就是多維度向量問題。

以找男朋友為例，維度，是你找男朋友要看的標(biāo)準(zhǔn)。例如，長相、身高、智商、家庭條件等。維度必須要求是“正交”的，也就是相互之間不能有相關(guān)性。例如，“家庭條件”和“慷慨程度”就是有相關(guān)性的，這就不能算成兩個維度?！爸巧獭焙汀爱厴I(yè)院?！笔怯邢嚓P(guān)性的，也不能算兩個維度。“長相”“智商”和“家庭條件”基本上是各自獨立的因素，就可以算是不同維度。

向量是什么呢？就是你給候選人打的分?jǐn)?shù)，例如，長相=7 分，身高=8 分，智商=5 分，家庭條件=9 分，人品靠譜=3 分，做家務(wù)=1 分，對你的感情=5分，那么向量就是：

候選人1=〔7，8，5，9，3，1，5〕

如果有另一個人選：

候選人2=〔4，6，9，2，9，7，8〕

那這樣兩個候選人該怎么比較呢？能把分?jǐn)?shù)直接加總，算總分嗎？我們知道，相互正交的維度數(shù)值是不能直接相加的。例如，長方形的長和寬，不能直接相加算大小。但是我們可以定義一個“長度”，就是把每個數(shù)值平方相加開根號，這就能算是“向量長度”，也叫“內(nèi)積”，也就是你的兩個男朋友候選人的總分。算一下就知道：

候選人1=15.9分

候選人2=18.2分

現(xiàn)在看到候選人2 分?jǐn)?shù)高，是不是說明你就想選擇候選人2 呢？很可能不是。你還是覺得自己被候選人1 深深吸引，即使明知道他不靠譜，對自己也不夠好，但就是覺得被他的某種莫名的魅力深深吸引，于是怎么都不肯和候選人2在一起，偏偏要愛候選人1。這又是為什么呢？

原因在于，你在選擇的時候，“人品靠譜”和“做家務(wù)”這兩個維度，你心里覺得是不重要的，甚至智商也不太重要，反正你看到的這個人的慷慨和風(fēng)度，主要來源于他的家庭，也不是他自己的本事，但這些你都忽略不計了。

其實，你內(nèi)心真正的向量是四個維度：〔長相，身高，家庭條件，對你的感情〕

這么一算，兩個候選人的打分就不一樣了：

候選人1=〔7，8，9，5〕

候選人2=〔4，6，2，8〕

誰高誰低，一目了然。你心目中所有衡量維度組成的空間叫“內(nèi)積空間”，你就是在自己的內(nèi)積空間里給每個候選人打分，再比較分?jǐn)?shù)。最初7個維度的內(nèi)積空間叫7維空間，后來經(jīng)過一番思考，發(fā)現(xiàn)你真正在乎的只有四個維度：高、富、帥和愛你，所以你心里的內(nèi)積空間是4維空間。

當(dāng)你的內(nèi)積空間從一開始就沒有“靠譜”這個維度的時候，遇見渣男也就不足為奇了。這是你自己的空間，過濾進(jìn)來的就有大量不靠譜的人。

希望所有人，都能愛上數(shù)學(xué)。