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    指數(shù)Gamma分布在無資料地區(qū)水文頻率分析中的應用研究

    2022-08-03 08:18:08易瑞來廖樸訥
    廣東水利水電 2022年7期
    關鍵詞:等值線圖參數(shù)估計水文

    李 航,易瑞來,廖樸訥

    (廣州市增城區(qū)中新鎮(zhèn)人民政府,廣州 511365)

    1 概述

    隨著我國水利事業(yè)的蓬勃發(fā)展,目前國內水利工程的建設重心已經(jīng)從大型水利工程向中小型水利工程轉移,而城市化進程的飛速推進、城市防洪排澇體系的不完善和城市布局的不合理,越發(fā)凸顯城市中小型水利工程配套建設的落后。水文頻率分析是根據(jù)區(qū)域內的某種水文現(xiàn)象的統(tǒng)計特征,利用現(xiàn)有水文數(shù)據(jù)資料,分析和計算水文變量設計值與重現(xiàn)期之間的定量關系,是水利工程規(guī)劃、設計與管理的基礎和科學依據(jù),分析結果的精確與否將會直接關系到流域水利工程是否能夠發(fā)揮其應有的作用[1]。然而,中小流域作為近年來水利工程的建設重心,常常會因為自然條件和人為因素的限制,出現(xiàn)無法取得基礎性水文數(shù)據(jù)的狀況,為水資源的科學管理和水利工程的規(guī)劃建設造成很大困擾。根據(jù)世界氣象組織的統(tǒng)計數(shù)據(jù),最近20年間,世界上的水文站點數(shù)量正在迅速減少,尤其是前蘇聯(lián)和一些發(fā)展中國家,作為最大的發(fā)展中國家,中國現(xiàn)有的設站條件面臨著同樣的難題[2]。

    為解決無資料地區(qū)的水文頻率分析和水文預報問題,促進水文科學理論研究和技術研究應用于解決實際性問題,2003年7月國際水文科學學會(IAHS)正式啟動無資料地區(qū)水文預測計劃,即PUB計劃(Prediction in Ungauged Basins)[3]。經(jīng)過十幾年的研究對比,目前常用的無資料地區(qū)水文頻率分析和水文預報的方法可以大致分為四類:隨機模擬法[4-6]、區(qū)域化方法[7-8]、徑流系數(shù)法[9-10]和參數(shù)等值線圖法[11],分別適用于不同資料缺失程度的研究區(qū)域。在工程所在流域找不到參證流域且無降雨資料的情況下,參數(shù)等值線圖可以根據(jù)已繪制的各省市水文特征等值線圖經(jīng)過計算得到設計年徑流量[12]。因此,參數(shù)等值線圖法成為中小流域水利工程建設過程中實際應用最多的方法。

    目前,參數(shù)等值線圖法中最為常用的水文頻率計算模型為皮爾遜Ⅲ型分布。然而,皮爾遜Ⅲ型分布并不能適用于各種自然條件,且近年來隨著水文極值的不斷出現(xiàn)[13],在水文頻率分析過程中時常出現(xiàn)皮爾遜Ⅲ型分布與經(jīng)驗點據(jù)明顯脫離的不合理現(xiàn)象[14]。為了提高水文頻率分析模型的適用性和彈性,同時兼容現(xiàn)有皮爾遜Ⅲ型分布的設計標準,1985年,中國水利水電科學研究院孫濟良先生等[15]提出指數(shù)Gamma分布模型,該模型可以通過改變參數(shù)轉化為包括P-Ⅲ型分布、對數(shù)正態(tài)分布在內的10余種常見分布模型。

    受限于當時的計算機技術及模型計算方法,具有4個參數(shù)的指數(shù)Gamma分布參數(shù)估計計算較為復雜,因此并沒有得到廣泛的應用。隨著計算機的廣泛應用和模型方法的研究,指數(shù)Gamma分布優(yōu)秀的擬合效果和適用性得到越來越多水文學者的關注。

    在我國現(xiàn)有條件下,基層水文工作缺乏足夠技術力量支持,水文測站無法短時間內在全國范圍內普及。在缺少技術力量和水文資料的情況下,將指數(shù)Gamma分布應用于參數(shù)等值線圖法,并開發(fā)配套的水文設計值計算工具,能夠免去篩選合適擬合曲線的繁瑣過程,有效解決各種水文自然條件下無資料地區(qū)的水文頻率分析問題,并提高水文設計值計算精度。

    本文選取江谷河流域作為研究區(qū)域,以指數(shù)Gamma分布作為頻率分布曲線,通過廣東省水文局頒布的《廣東省暴雨參數(shù)等值線圖》(2003年版)采用參數(shù)等值線圖法進行水文頻率分析,得出暴雨設計值與采用優(yōu)化適線法的指數(shù)Gamma分布計算結果和采用參數(shù)等值線圖法的P-Ⅲ型分布計算結果進行對比研究,分析指數(shù)Gamma分布在無資料地區(qū)的水文頻率分析結果的可靠性。文中分析結果以期為我國無資料地區(qū)水文頻率分析的研究和應用提供支撐。

    2 指數(shù)Gamma分布的參數(shù)估計方法

    設隨機變量X服從指數(shù)Gamma分布,其概率密度函數(shù)為:

    (1)

    α>0,β>0,δ

    式中:

    α,b,β,δ——分別為指數(shù)Gamma分布的形狀參數(shù)、變換參數(shù)、比例參數(shù)和位置參數(shù)。

    變換參數(shù)b的取值范圍一般為0≤b≤10,其中位置參數(shù)δ為模型隨機變量X的下限,同時也為保證隨機變量X不會出現(xiàn)負值的情況,在某一研究區(qū)域的頻率分布模型中,δ表示為隨機變量X在該研究區(qū)域的最小值。將指數(shù)Gamma分布采用積分法進行積分,可以得到指數(shù)Gamma分布的超越概率分布函數(shù)F(x)。在水文頻率分析中,通常使用超越累計頻率P代表F(x),即:

    (2)

    2.1 矩法

    (3)

    (4)

    (5)

    (6)

    式中:

    v1——一階原點矩;

    μ2——二階中心矩;

    μ3——三階中心矩;

    μ4——四階中心矩。

    其中:

    (7)

    (8)

    μ3=[Γ2(α)Γ(α+3b)-3Γ(α+b)Γ(α+2b)+2Γ3(α+b)]/β3bΓ3(α)

    (9)

    μ4=[Γ3(α)Γ(α+4b)-4Γ2(α)Γ(α+b)Γ(α+3b)+6Γ(α)Γ2(α+b)Γ(α+2b)-3Γ4(α+b)]/[β4bΓ4(α)]

    (10)

    2.2 優(yōu)化適線法

    應用矩法,可以得到指數(shù)Gamma分布設計值的計算公式[1]:

    (11)

    式中:

    (12)

    離差絕對值和最小準則為:

    (13)

    式中:

    xi——經(jīng)驗頻率Pi下的水文實測值;

    xi*——相應頻率下估計值。

    以α、b、β、δ作為未知參數(shù),選用離差絕對值和最小準則作為目標函數(shù)求解各參數(shù)值。

    2.3 參數(shù)等值線圖法

    2.4 指數(shù)Gamma分布樣本矩的計算

    設樣本序列長度為n,將樣本序列按降序排列為xi(i= 1, 2,…,n),頻率計算公式為:

    (14)

    (15)

    (16)

    (17)

    (18)

    3 應用實例

    查閱《廣東省暴雨參數(shù)等值線圖》(2003年版),獲取江谷水庫、大垌、潭布、塘下的水文頻率特征參數(shù),分別以指數(shù)Gamma分布和P-Ⅲ型分布作為頻率分布曲線,采用參數(shù)等值線圖法進行水文頻率分析。選取江谷水庫、大垌、潭布、塘下4個水文測站的年最大3 d暴雨實測序列,以指數(shù)Gamma分布作為頻率分布曲線,采用優(yōu)化適線法進行水文頻率分析。對比基于指數(shù)Gamma分布的參數(shù)等值線圖法分析結果與其余兩種方法的擬合情況,分析指數(shù)Gamma分布在無資料地區(qū)水文頻率分析的適用性。本文所選暴雨資料通過了“三性審查”,符合水文頻率計算的要求,研究區(qū)域的水文資料系列長度見表1所示。

    表1 暴雨資料系列長度

    3.1 參數(shù)估計及曲線擬合

    表2 各站點指數(shù)Gamma分布參數(shù)估計結果

    本文選取4個雨量站的年最大3 d暴雨實測序列作為研究對象,對比分析2種參數(shù)估計方法下指數(shù)Gamma分布和參數(shù)等值線圖法下P-Ⅲ型分布對經(jīng)驗點據(jù)的擬合情況,擬合情況如圖1所示。由圖1可知,優(yōu)化適線法、參數(shù)等值線圖法和P-Ⅲ型分布確定的頻率曲線均能夠很好的擬合經(jīng)驗點距的各個部分,且表現(xiàn)穩(wěn)定。其中,優(yōu)化適線法確定的頻率曲線對經(jīng)驗點距的上部和中部具有更好的擬合效果,2種分布曲線的參數(shù)等值線圖法擬合效果次之;而對于經(jīng)驗點距的下部,2種分布曲線的參數(shù)等值線圖法表現(xiàn)出更好的擬合效果。

    a 江谷水庫

    b 大垌

    c 潭布

    d 塘下

    3.2 誤差分析

    采用AIC準則和均方根誤差為評價標準,進一步對比分析指數(shù)Gamma分布2種參數(shù)估計方法與P-Ⅲ型分布的擬合效果,計算結果見表3所示。

    綜合表3與圖1的對比分析結果可以得出,4個雨量站暴雨頻率分析中,指數(shù)Gamma分布2種參數(shù)估計方法計算結果的AIC指數(shù)和均方根誤差普遍較小。指數(shù)Gamma分布2種參數(shù)估計方法中,部分站點優(yōu)化適線法的結果明顯優(yōu)于參數(shù)等值線圖法,這與參數(shù)等值線圖精度不足,參數(shù)只能取大概數(shù)值有關。作為無資料地區(qū)的暴雨頻率分析方法,參數(shù)等值線圖法的結果雖然部分站點不如由暴雨實測序列計算出的結果,但其結果仍具有很大參考價值,甚至在取值準確的情況下,結果還要優(yōu)于優(yōu)化適線法。

    表3 指數(shù)Gamma分布設計值誤差比較

    4 結語

    本文以江谷水庫、大垌、潭布和塘下4個雨量站的年最大3d暴雨資料為例,將基于指數(shù)Gamma分布的參數(shù)等值線圖法應用于無資料地區(qū)的暴雨頻率分析,并對優(yōu)化適線法、參數(shù)等值線圖法和基于P-Ⅲ型分布的參數(shù)等值線圖法進行了頻率曲線的擬合效果評價與誤差分析,評價分析結果如下:

    1) 優(yōu)化適線法、參數(shù)等值線圖法和基于P-Ⅲ型分布的參數(shù)等值線圖法均能夠很好地擬合經(jīng)驗點據(jù)各個部分,且指數(shù)Gamma分布2種參數(shù)估計方法計算結果的AIC指數(shù)和均方根誤差普遍較小。表明在暴雨頻率分析中,基于指數(shù)Gamma分布的參數(shù)等值線圖法是一種可選的參數(shù)估計方法。

    2) 對比優(yōu)化適線法,參數(shù)等值線圖法確定的頻率曲線能夠更好的擬合經(jīng)驗點距的下部,更適合做為小頻率水文設計值的計算方法,能夠很好的擬合經(jīng)驗點據(jù)的上部。

    3) 文中研究了無資料地區(qū)基于參數(shù)等值線圖法指數(shù)Gamma分布的頻率計算。對于隨機模擬法、區(qū)域化方法和徑流系數(shù)法在指數(shù)Gamma分布上的應用有待進一步研究。

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