V 型電熱驅動器的理論建模及位移響應特性

李 峰，王新杰，陳 浩

（南京理工大學 機械工程學院，江蘇 南京 210094）

1 引 言

作為微機電系統（Micro-Electro-Mechanical System，MEMS）的驅動機構，微驅動器也稱為微執(zhí)行器或致動器，通過將其他形式的能量轉化為機械能，從而產生驅動力或力矩；其輸出力或力矩、驅動位移和可靠性等參數決定了整個MEMS的性能，是MEMS 重要的組成部分［1-3］。依據驅動原理的不同，微驅動器分為靜電型［4］、電磁型［5］、壓電型［6］以及電熱型［7］等，其中，電熱驅動器利用焦耳和熱膨脹效應，將電能或其他形式的能量轉變?yōu)闊崮埽M而輸出位移。和其他驅動器相比，電熱驅動器的驅動電壓更低、輸出位移更大、工藝兼容性更好，因此電熱驅動器是目前的研究熱點之一。電熱驅動器分為U，V 和Z 型3 種，其中，V 型電熱驅動器在傾角足夠大時可以提供更大的位移［8-10］。

為了研究電熱驅動器的位移響應特性，通常需要先對電熱驅動器進行解耦［11］，即依序單獨建立電-熱耦合子模型和熱-力耦合子模型。對于電-熱耦合子模型，Shan 等［12］考慮溫度對電阻率、導熱系數等參數的影響，建立V 型電熱驅動器的瞬態(tài)傳熱模型，在此基礎上對真空和空氣環(huán)境下的瞬態(tài)熱響應進行了仿真分析；Estahbanati 等［13］將V 型電熱驅動器劃分成8 個集總熱單元，利用節(jié)點分析法建立V 型電熱驅動器的等效電路模型。對于熱-力耦合子模型，Shan 等［12］依據虛功原理，采用力和力矩來等效替代V 型電熱驅動器一側的約束，從而建立V 型電熱驅動器的熱-力耦合子模型，并利用有限元仿真驗證所構建的熱-力耦合子模型；Zhang 等［14-15］認為V 型電熱驅動器所受外力做功能夠全部轉化為彈性體的應變能，并結合應變能、余能與外力之間的關系，推導出V 型電熱驅動器尖端的位移計算公式。綜上可知，相關學者基于不同方法構建了V 型電熱驅動器的電-熱-力耦合模型，但未充分考慮溫度對材料參數的影響。而對于電熱驅動器的位移響應特性，Shan 等［12］通過理論分析和有限元仿真研究了電流脈沖作用下V 型電熱驅動器的位移響應特性，并分析了V 型電熱驅動器參數對位移響應的影響；Estahbanati 等［13］通過理論建模、仿真分析與實驗研究了V 型電熱驅動器在恒定電壓下的位移響應特性；Zhang 等［14-15］從理論建模、有限元仿真和實驗三個方面出發(fā)，研究了V 型電熱驅動器在階躍電壓下的動態(tài)響應，并分析了參數對電熱驅動器響應特性的影響。上述文獻對V 型電熱驅動器在電流脈沖、恒定電壓和階躍電壓下的位移響應特性進行了研究，但并未對電熱驅動器在周期方波電壓下的位移響應特性進行研究，難以滿足微機電系統中對電熱驅動器動態(tài)周期性位移控制的需求。

考慮到溫度對材料參數的影響，本文在建立V 型電熱驅動器的電-熱耦合子模型時引入材料參數更新函數。利用改進型切比雪夫譜方法求解V 型電熱驅動器電-熱耦合子模型中的偏微分方程，計算得到V 型電熱驅動器的溫度表達式。在此基礎上，結合受迫振動原理，建立V 型電熱驅動器的熱-力耦合子模型，計算得到V 型電熱驅動器的瞬態(tài)位移表達式。然后，通過有限元仿真驗證理論下V 型電熱驅動器的溫度和瞬態(tài)位移表達式。最后，通過搭建電熱驅動器瞬態(tài)位移響應實驗平臺來測量恒定電壓激勵下V 型電熱驅動器的瞬態(tài)位移，并與理論和仿真下V 型電熱驅動器的瞬態(tài)位移結果進行對比。同時，測量V 型電熱驅動器在周期方波電壓激勵下的瞬態(tài)位移。本文的研究結果可為V 型電熱驅動器在微機電系統中的周期性微驅動應用提供參考。

2 V 型電熱驅動器的電-熱-力耦合模型

V 型電熱驅動器是一個彎曲梁結構，其結構如圖1 所示［16］。圖中：w為V 型電熱驅動器的寬度；h為V 型電熱驅動器的厚度；θ為傾斜角；L為V 型電熱驅動器長度的一半；g為V 型電熱驅動器與基底的距離；y為V 型電熱驅動器的位移。在電壓作用下，驅動器產生的熱膨脹變形會使它沿著初始彎曲方向進一步彎曲。與驅動器兩端的彎曲撓度相比，中間部分的彎曲撓度更大，因此將該撓度作為V 型電熱驅動器的位移［17］。

圖1 V 型電熱驅動器的結構Fig.1 Structure of V-shaped electrothermal actuator

2.1 電-熱耦合子模型

與熱對流和熱輻射相比，熱傳導傳輸的熱量更多［18］，因此首先進行熱傳導分析。在V 型電熱驅動器上任取一個微元，如圖2 所示。其中，x為微元的位置，Δx為微元的長度，T(x，t)為微元溫度T關于位置x和時間t的函數。

圖2 V 型電熱驅動器的微元Fig.2 Micro element of V-shaped electrothermal actuator

Qi和Qo分別為以熱傳導方式流入和流出V型電熱驅動器微元的熱量，則［19］：

式中：m=L和R時，分別為V 型電熱驅動器的左梁和右梁；Tm為V 型電熱驅動器左右各梁的溫度；κ為室溫下V 型電熱驅動器的導熱系數；κ(Tm)為導熱系數κ關于溫度Tm的函數。

V 型電熱驅動器的微元與空氣發(fā)生熱對流而產生的熱損失為Qwo，與基底的傳熱而產生的熱損失為Qwg，則：

式中：S0為V 型電熱驅動器與空氣的熱對流系數，取70 W/（m2·K）；Sv為V 型電熱驅動器與基底 的 傳 熱 系 數，取6 000 W/（m2·K）［20］；T0為室溫。

依據焦耳效應，V 型電熱驅動器微元在通電條件下產生的焦耳熱為：

式中：J為電流密度；ρ0為室溫下V 型電熱驅動器的 電 阻 率；ρ(Tm)為 電 阻 率ρ關 于 溫 度Tm的函數。

V 型電熱驅動器的寬度和厚度遠小于其長度，因此將它簡化為一維幾何模型，如圖3 所示。將V 型電熱驅動器中心的撓度作為其位移，因此其中心區(qū)域溫度對位移影響很大，而改進型切比雪夫譜方法的點大多分布在模型兩邊，中間部分分布較少，因此模型計算精度較低。為了提升模型的計算精度，這里需要增加切比雪夫點在V 型電熱驅動器中心區(qū)域的數量，因此將V 型電熱驅動器模型分為［0，L］和［L，2L］兩個長度區(qū)域，并將這兩個區(qū)域作為求解區(qū)域的定義域。

圖3 V 型電熱驅動器的一維簡化模型Fig.3 One-dimensional simplified model of V-shaped electrothermal actuator

依據能量守恒定理，得到V 型電熱驅動器的瞬態(tài)模型方程，如下：

且：

式中：ρd為V 型電熱驅動器的密度；c為V 型電熱驅動器的比熱容；V（t）為V 型電熱驅動器加載電壓V關于時間t的函數。

由式（4）可得該模型存在一個間斷點x=L，即V 型電熱驅動器的中心，且間斷點處的溫度二階可導，則有：

式中：m為L和R時，Tm(x，t)分別為V 型電熱驅動器左、右梁的溫度Tm關于位置x和時間t的函數。

此外，由模型的邊界條件和初始時刻得到：

由式（6）～式（8）簡化式（4），簡化后采用切比雪夫譜變換和歐拉前向差分法分別對式（4）的空間域和時間域進行離散處理，得到：

式中：NL和NR分別為驅動器左、右梁上選取的切比雪夫點的數量；um為切比雪夫點處的絕對溫度向量；Δt為求解時間步長；n為時間步序號；為絕對溫度關于位置x的二階偏導數的切比雪夫求導矩陣；g（n）為材料參數更新函數，定義如下：

式中：［］為去尾取整函數；ns為材料更新時間步。

由于V 型電熱驅動器的溫度隨時間變化，因此驅動器的部分材料參數也會變化。為了提高模型的求解精度，在求解過程中需要隔一段時間更新一次材料參數。

同理，式（5）可改寫為：

由式（9）～式（11）可得：

式中：

同理，在第n+1 個時間步，V 型電熱驅動器電-熱模型間斷點處滿足式（6）的離散形式為：

式中：

綜合式（11）～式（15），得到V 型電熱驅動器電-熱耦合模型求解的總體矩陣方程，如圖4所示。

圖4 V 型電熱驅動器電-熱模型求解的總體矩陣方程Fig.4 Overall matrix equation for solving electric-thermal model of V-shaped electrothermal actuator

2.2 熱-力耦合子模型

V 型電熱驅動器受熱膨脹會運動，但位移較小，因此可用受迫振動方程來描述V 型電熱驅動器中心區(qū)域的瞬態(tài)運動，則有：

對于V 型電熱驅動器的等效剛度系數Ke，由材料力學可得：

式中：A為V 型電熱驅動器梁的橫截面積；d為V型電熱驅動器中心到兩梁根部連線的垂直距離；E為V 型電熱驅動器梁的楊氏模量；I為V 型電熱驅動器梁的慣性矩。當傾斜角θ為0 時，等效剛度系數Ke=6EI/L3，該結果與簡支梁中心剛度的計算公式一致。而且在等效外力Fˉ作用下，V型電熱驅動器的拉伸量與熱膨脹產生的伸長量相等，可得：

式中Δlt為V 型電熱驅動器的熱膨脹總伸長量。

依據電-熱耦合子模型中關于溫度的分析，并結合熱膨脹計算公式，可得V 型電熱驅動器左、右梁的熱膨脹總伸長量為：

式中：α（T）為V 型電熱驅動器的熱膨脹系數α關于溫度T的函數。

結合式（18）～式（20），并對式（16）進行差分離散可得：

式中：

由式（21）～式（22）可得V 型電熱驅動器的位移為：

3 仿 真

V 型電熱驅動器的結構參數如表1 所示，所使用的材料為高濃度P 型摻雜單晶硅，單晶硅在室溫下（273K）的熱學和力學材料參數如表2所示。

表2 室溫下單晶硅的熱學和力學材料參數Tab.2 Thermal and mechanical material parameters of single crystal silicon at room temperature

依據表1 所列參數建立V 型電熱驅動器的有限元仿真模型，如圖5 所示。選擇solid226 作為網格劃分單元，然后施加約束條件，設置參數，最后求解并查看結果。

圖5 V 型電熱驅動器的有限元模型Fig.5 Finite element model of V-shaped electrothermal actuator

表1 V 型電熱驅動器的結構參數Tab.1 Structure parameters of V-shaped electrothermal actuator

在16 V 電壓的作用下，V 型電熱驅動器在理論和仿真下的溫度分布如圖6 所示。從圖中可以看 出：當 時 間 為5 ms 和10 ms 時，V 型 電 熱 驅 動器的理論溫度和仿真溫度曲線基本重合；當時間為50 ms 時，驅動器中心區(qū)域的理論溫度和仿真溫度曲線基本重合，而驅動器其他區(qū)域的理論溫度和仿真溫度曲線差異較大，這是因為對理論模型的時域處理采用的是歐拉前向差分方法，這種方法在溫度梯度較大的區(qū)域進行計算會導致結果偏大。

圖6 理論和仿真下V 型電熱驅動器不同時刻的溫度分布Fig.6 Temperature distribution of V-shaped electrothermal actuator at different time in theory and simulation

不同電壓作用下，V 型電熱驅動器的理論和仿真瞬態(tài)位移曲線如圖7 所示。從圖中可以看出：一段時間后，V 型電熱驅動器在理論和仿真下的位移不再變化；8 V 電壓作用下，驅動器理論下位移與仿真值誤差較大，這是因為歐拉前向差分法在溫度較低時，剛度值較小，且電壓越低，由于重力作用而產生的分位移越大，驅動器y方向的位移越小，因此8 V 電壓作用下，驅動器理論下位移與仿真值誤差較大；16 V 電壓作用下，電熱驅動器穩(wěn)態(tài)階段的理論位移小于仿真值，這是因為此時驅動器位移不再是小變形問題，理論模型中的受迫振動方程不再適用。

圖7 理論和仿真下V 型電熱驅動器的瞬態(tài)位移Fig.7 Transient displacements of V-shaped electrothermal actuator in theory and simulation

4 實 驗

4.1 高速光學動態(tài)測量系統平臺

利用基于高速攝影的MEMS 結構動態(tài)測試技術來進行V 型電熱驅動器動態(tài)響應特性實驗，所搭建的動態(tài)測量系統實驗平臺如圖8 所示。該實驗平臺主要由電壓激勵源和光學測量系統兩部分組成，其中，電壓激勵源提供激勵電壓，光學測量系統測量V 型電熱驅動器的瞬態(tài)位移。

圖8 動態(tài)測量系統實驗平臺Fig.8 Experimental platform of dynamic measurement system

4.2 恒定電壓激勵

在3 種不同恒定電壓作用下，V 型電熱驅動器位移的實驗測量結果如圖9 所示。由圖可知：在恒定電壓作用下，V 型電熱驅動器位移的輸出速度和穩(wěn)態(tài)幅值隨著電壓的增大而增大。

圖9 V 型電熱驅動器位移的實驗測量結果Fig.9 Experimental measurement results of displacement for V-shaped electrothermal actuator

在12 V 和16 V 的 電 壓 作 用 下，V 型 電 熱 驅動器瞬態(tài)位移的理論、仿真和實驗曲線如圖10 所示。從圖中可以看出：在相同電壓作用下，實驗獲得的位移響應速度比仿真和理論響應速度快。這是因為在理論和有限元仿真過程中難以建立熱耗散系數與溫度之間的關系，而將熱耗散系數設置為恒定值。在初始階段，由于理論和仿真所采用的熱耗散系數大于實際值，溫度升高較慢，因此理論和仿真位移增長速度較??；在穩(wěn)態(tài)階段，由于理論和仿真采用的熱耗散系數與實際值相差不大，因此理論與仿真的穩(wěn)態(tài)位移與實驗結果接近。

圖10 V 型電熱驅動器瞬態(tài)位移在理論、仿真和實驗下的曲線Fig.10 Curves of transient displacement for V-shaped electrothermal actuator in theory，simulation and experiment

4.3 周期方波電壓激勵

將頻率為20 Hz、峰峰值為14 V 且無偏置的周期方波電壓1 和頻率為20 Hz、峰峰值為7 V、偏置為+7 V 的周期方波電壓2 施加到V 型電熱驅動器上，對應的V 型電熱驅動器位移分別為位移1 和位移2。所施加的電壓-時間曲線與V 型電熱驅動器在第一個周期中的位移-時間曲線如圖11 所示。從圖中可以看出，V 型電熱驅動器位移的最小值和最大值分別對應電壓相位的0 °和180°，這表明在方波電壓加載下，驅動器位移與電壓相位不出現滯后現象；電熱驅動器的位移呈三角波形變化，這是因為電熱驅動器的位移到達穩(wěn)態(tài)階段所用時間大于方波電壓的一個周期，導致在方波電壓周期內的高電壓作用階段，電熱驅動器的位移始終增加，而低電壓作用階段，位移始終減小。

圖11 第一個周期內的電壓加載曲線和V 型電熱驅動器的位移-時間曲線Fig.11 Loading curves of voltage and displacement-time curves of V-shaped electrothermal actuator in first cycle

將頻率為50 Hz、峰峰值為14 V 且無偏置的周期方波電壓3 和頻率為50 Hz、峰峰值為7 V 且偏置為+7 V 的周期方波電壓4 施加到V 型電熱驅動器上，對應的V 型電熱驅動器位移分別為位移3 和位移4。V 型電熱驅動器在第13，14 個周期中的位移-時間曲線，與在前10 個周期中電壓相位為0°和180°時的位移-周期曲線如圖12（a）和12（b）所示。從圖12（a）中可以看出：在周期方波電壓作用一段時間后，V 型電熱驅動器做周期性運動，且運動周期與周期方波電壓的周期相等。從圖12（b）中可以看出：在電壓頻率、峰峰值和偏置相同的條件下，180°相位所對應的位移到達穩(wěn)態(tài)用時比0°相位少；在電壓相位和頻率相同的條件下，位移4 的變化幅度比位移3 的變化幅度小。

將頻率為100 Hz、峰峰值為14 V 且無偏置的周期方波電壓5 和頻率為100 Hz、峰峰值為7 V 且偏置為+7 V 的周期方波電壓6 施加到V 型電熱驅動器上，所對應的V 型電熱驅動器位移分別為位移5 和位移6。V 型電熱驅動器在第26，27 個周期中的位移-時間曲線，與在前20 個周期中電壓相位為0°和180°時的位移-周期曲線如圖12（c）和12（d）所示。從圖中可以看出：在周期方波電壓作用一段時間后，V 型電熱驅動器做周期性運動；與圖12（a）和12（b）相比，位移3 和位移5的平均值近似相等，約為20 μm，位移4 和位移6的平均值也近似相等，約為28 μm；位移3 和位移4 的變化幅度近似相等，約為15 μm，位移5 和位移6 的變化幅度近似相等，約為8 μm。

圖12 V 型電熱驅動器的位移-時間曲線Fig.12 Displacement-time curves of V-shaped electrothermal actuator

5 結 論

本文在建立V 型電熱驅動器的電-熱-力耦合模型時，引入了材料參數更新函數，并利用改進型切比雪夫譜方法求解電-熱模型中的偏微分方程，最終推導出V 型電熱驅動器的溫度和瞬態(tài)位移表達式。將理論下V 型電熱驅動器的溫度和瞬態(tài)位移結果與有限元仿真下溫度和瞬態(tài)位移結果進行對比。最后，通過實驗測量V 型電熱驅動器在恒定電壓和周期方波電壓作用下的位移響應。實驗結果表明：周期方波電壓作用下，V型電熱驅動器在穩(wěn)態(tài)階段做周期性運動，且周期與方波電壓的周期相等；在峰峰值為14 V 且無偏置的周期方波電壓作用下，V 型電熱驅動器的位移平均值約為20 μm，但在峰峰值為7 V 且偏置為+7 V 的周期方波電壓作用下，位移平均值約為28 μm；在其他參數相同的條件下，頻率為50 Hz 和100 Hz 時，位 移 變 化 幅 度 分 別 為15 μm和8 μm。由實驗數據可知：V 型電熱驅動器的位移變化幅度與頻率負相關，頻率的變化不影響位移的平均值。