不同強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)預(yù)測(cè)巖石抗拉強(qiáng)度的適用性

楊宇

（1.山西省交通科技研發(fā)有限公司，山西 太原 030032；2.山西省智慧交通研究院有限公司，山西 太原 030032）

0 引言

巖石強(qiáng)度理論可以表征巖石在破壞條件下的應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度參數(shù)之間的關(guān)系，是巖土工程設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)[1]。目前，大部分強(qiáng)度準(zhǔn)則是基于巖石三軸壓縮試驗(yàn)提出，即考慮巖石的3個(gè)主應(yīng)力，主要反映巖石的抗壓和抗剪性能。但是，在一些工況下，需要巖石承受拉張應(yīng)力，而且?guī)r石抵抗拉應(yīng)力的能力很差。例如，在地質(zhì)構(gòu)造穩(wěn)定的山區(qū)進(jìn)行硐室開(kāi)挖，硐室上覆圍巖層理水平，在硐室開(kāi)挖后，頂端圍巖在自重應(yīng)力的作用下，會(huì)產(chǎn)生向兩側(cè)的拉應(yīng)力，使得上覆巖層發(fā)生拉張斷裂，對(duì)硐室穩(wěn)定性造成影響。因此，在工程中，巖石抗拉強(qiáng)度是一個(gè)重要的力學(xué)參數(shù)。

目前，測(cè)試巖石抗拉強(qiáng)度的方法有很多，在現(xiàn)場(chǎng)主要通過(guò)點(diǎn)荷載試驗(yàn)測(cè)定抗拉強(qiáng)度，但是這種方法測(cè)得的結(jié)果離散型較大，只能粗略反映抗拉強(qiáng)度，若要得到更準(zhǔn)確的抗拉強(qiáng)度，還需要借助室內(nèi)力學(xué)試驗(yàn)進(jìn)行測(cè)試。主要的室內(nèi)測(cè)試方法有兩種，直接拉伸試驗(yàn)和間接拉伸試驗(yàn)，直接拉伸試驗(yàn)可以精確地測(cè)得巖石抗拉強(qiáng)度，但是由于其試樣制備困難，沒(méi)有得到較廣泛的使用。間接拉伸試驗(yàn)包括劈裂法和抗彎法，其中劈裂法應(yīng)用最為廣泛。但是劈裂法也存在很多問(wèn)題，譬如加載方式、試樣尺寸、計(jì)算方法等，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)的研究，這里不作贅述。

雖然關(guān)于巖石抗拉強(qiáng)度的研究逐漸深入，但是還存在諸多問(wèn)題，巖石破裂形態(tài)與抗拉強(qiáng)度的關(guān)系尚不明確，間接拉伸法計(jì)算巖石抗拉強(qiáng)度中的誤差分析，考慮巖石各向異性的抗拉強(qiáng)度計(jì)算等?；诖?，本文結(jié)合前人研究成果，對(duì)比不同破裂形態(tài)，對(duì)傳統(tǒng)抗拉強(qiáng)度計(jì)算公式進(jìn)行了改進(jìn)。此外，分別利用幾種不同強(qiáng)度準(zhǔn)則預(yù)測(cè)了巖石的抗拉強(qiáng)度，通過(guò)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，判斷了強(qiáng)度準(zhǔn)則預(yù)測(cè)抗拉強(qiáng)度的適用性。研究結(jié)果可以為抗拉強(qiáng)度計(jì)算和預(yù)測(cè)提供一定的科學(xué)依據(jù)。

1 幾種強(qiáng)度準(zhǔn)則

1.1 直線型Mohr-Coulomb準(zhǔn)則

Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則建立于1900年，直至現(xiàn)在仍然是工程設(shè)計(jì)的主要依據(jù)。該準(zhǔn)則是基于巖土材料的剪切破壞提出的，沒(méi)有考慮中間主應(yīng)力的影響，利用莫爾圓來(lái)表示應(yīng)力狀態(tài)，其表達(dá)式為[2]：

式中：τ為剪應(yīng)力；c為黏聚力；σ為正應(yīng)力；φ為內(nèi)摩擦角。

由式（1）可以推導(dǎo)得到主應(yīng)力的表達(dá)式：

式中：σ1和σ3分別表示最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力。

令σ1=0，σ3=-σt，可以得到單軸抗拉強(qiáng)度σt的表達(dá)式：

1.2 拋物線型Mohr-Coulomb準(zhǔn)則

通過(guò)大量試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，巖土材料的包絡(luò)線并非是一條直線，因此佘成學(xué)等人[3]提出了雙參數(shù)的拋物線型M-C準(zhǔn)則，具體表達(dá)式為：

其中，a、b可以表示為：

式中：σc為單軸抗壓強(qiáng)度。

式（5）可以用主應(yīng)力表示為：

A和C可以通過(guò)線性回歸得到，由此可以計(jì)算單軸抗拉強(qiáng)度：

1.3 Griffith強(qiáng)度準(zhǔn)則

Griffith強(qiáng)度準(zhǔn)則最早出現(xiàn)在材料力學(xué)中，用于描述裂紋尖端效應(yīng)，后來(lái)被引入巖土工程中，來(lái)描述巖體中微裂隙的擴(kuò)展。Griffith認(rèn)為，引起裂紋擴(kuò)展的應(yīng)力為拉應(yīng)力，因此提出了關(guān)于拉應(yīng)力的強(qiáng)度準(zhǔn)則[4]：

利用式（9）便可以計(jì)算出巖土材料的抗拉強(qiáng)度。

1.4 Hoek-Brown準(zhǔn)則

Hoek-Brown準(zhǔn)則是在大量試驗(yàn)基礎(chǔ)上提出的一種經(jīng)驗(yàn)準(zhǔn)則，狹義表達(dá)式為[5]：

式中：m為試驗(yàn)參數(shù)。

令σ1=0，σ3=-σt，可以得到單軸抗拉強(qiáng)度的表達(dá)式：

1.5 Lade-Duncan準(zhǔn)則

Lade依據(jù)于砂土的真三軸試驗(yàn)結(jié)果，在1975年提出Lade-Duncan準(zhǔn)則[6]，考慮了中間主應(yīng)力的影響，并且在1984年進(jìn)行了進(jìn)一步修正，使其適用于更多的巖土材料[7]。這里用1984年修正后的L-D準(zhǔn)則表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算：

式中：Pa為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓；η1、m為材料參數(shù)；I1、I3分別為第一、三應(yīng)力張量不變量。

當(dāng)材料中存在拉應(yīng)力時(shí)，需要加上I1+3αPa，αPa為材料抗拉強(qiáng)度。α為材料參數(shù)。通過(guò)進(jìn)行推導(dǎo)得到：

通過(guò)進(jìn)行數(shù)值回歸，可以得到材料的抗拉強(qiáng)度。

2 抗拉強(qiáng)度計(jì)算

一般計(jì)算巖石的抗拉強(qiáng)度有兩種方法，分別為直接拉伸和間接拉伸，由于直接拉伸試驗(yàn)所需的試樣很難制作，因此目前大多工程和研究均采用間接拉伸法，常用的方法就是巴西劈裂試驗(yàn)。根據(jù)國(guó)際巖石力學(xué)學(xué)會(huì)（ISRM）所提到的抗拉強(qiáng)度試驗(yàn)與計(jì)算方法[8]，依據(jù)圖1中的幾何關(guān)系，得到了彈性力學(xué)平面應(yīng)變問(wèn)題解析。式（15）表示了A點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。

圖1 圓盤(pán)應(yīng)力狀態(tài)

在圓心處O點(diǎn)處，θ1=θ2，r1=r2。所以可以將式（15）簡(jiǎn)化為：

式中，由于y方向的力是x方向的3倍，所以認(rèn)為σx=σt。即巖石所受的拉應(yīng)力為圓心處沿x方向的應(yīng)力。

3 對(duì)比與分析

3.1 抗拉強(qiáng)度計(jì)算公式修正

ISRM建議的抗拉強(qiáng)度計(jì)算方法將圓盤(pán)中心點(diǎn)的水平應(yīng)力作為抗拉強(qiáng)度，但是大量巴西劈裂試驗(yàn)現(xiàn)象表明，很多試驗(yàn)并不是中心起裂，還有其他形態(tài)的破裂方式，如圖2所示。并且研究發(fā)現(xiàn)，非中心起裂的破壞模式多見(jiàn)于層理發(fā)育的沉積巖中，層理巖石的橫觀各向同性特征導(dǎo)致了偏心破裂。此時(shí)用式（16）計(jì)算得到的抗拉強(qiáng)度與實(shí)際有偏差，該情況下抗拉強(qiáng)度的誤差有多大？是否在可接受范圍？基于此，考慮非中心破裂形式，對(duì)式（16）進(jìn)行了修正。

圖2 巴西劈裂試驗(yàn)的破裂跡線

基于此，考慮到非圓心破壞的破裂面形態(tài)，利用幾何數(shù)學(xué)對(duì)破壞跡線進(jìn)行了分析。假設(shè)破裂面為一條半徑為r，弦長(zhǎng)為D，圓心角為α的標(biāo)準(zhǔn)圓弧l，如圖3所示。圖中a為弧頂與圓心的距離，由此可以通過(guò)圖中的幾何關(guān)系得到l。當(dāng)破裂面沿著直徑D破壞，此時(shí)l=D'。

圖3 破裂面的幾何關(guān)系圖

由此可以得到弧長(zhǎng)，再通過(guò)式（18）：

可以得到裂紋為弧線條件下巖石的抗拉強(qiáng)度σt：

式（19）中，a、P可通過(guò)試驗(yàn)直接得到。

以圖2中提到的4個(gè)非中心破裂的試驗(yàn)結(jié)果為對(duì)象，分別利用式（16）和式（19）計(jì)算得到了抗拉強(qiáng)度（表1）。

從表1中可以看出，非中心起裂的抗拉強(qiáng)度要略低于中心點(diǎn)的抗拉強(qiáng)度，并且偏心距越大，強(qiáng)度降低越多。劈裂法測(cè)得的是圓心位置的抗拉強(qiáng)度，但是在出現(xiàn)非中心起裂時(shí)，實(shí)際抗拉強(qiáng)度應(yīng)分布在破裂跡線上。計(jì)算結(jié)果表明，在巴西劈裂試驗(yàn)中，按照傳統(tǒng)方法計(jì)算非中心起裂試樣的抗拉強(qiáng)度，其結(jié)果偏高。由此可得到一組計(jì)算抗拉強(qiáng)度的公式：

表1 修正前后試樣抗拉強(qiáng)度對(duì)比

黃耀光等人（2015）[14]研究表明圓盤(pán)上的水平應(yīng)力偏離中心點(diǎn)越遠(yuǎn)，其值越小（圖4），本文計(jì)算結(jié)果符合這一規(guī)律。

圖4 巴西圓盤(pán)無(wú)量綱水平應(yīng)力

3.2 強(qiáng)度準(zhǔn)則適用性分析

為驗(yàn)證以上強(qiáng)度準(zhǔn)則的適用性，以太行山奧陶系泥質(zhì)灰?guī)r為對(duì)象，分別開(kāi)展了三軸壓縮和巴西劈裂試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果列于表2。

表2 奧陶系泥質(zhì)灰?guī)r三軸試驗(yàn)結(jié)果

結(jié)合張磊等人[15]以及本文的試驗(yàn)結(jié)果，分別利用上述5種強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行計(jì)算分析，得到了不同強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)比下的應(yīng)力關(guān)系圖，如圖5所示。

圖5 應(yīng)力關(guān)系曲線

通過(guò)將試驗(yàn)數(shù)據(jù)與計(jì)算結(jié)果進(jìn)行誤差對(duì)比，可以將擬合情況定量化，利用式（21）進(jìn)行誤差分析：

表3 誤差分析對(duì)比結(jié)果

表3中可以看出，在高圍壓條件下，H-B準(zhǔn)則是最接近試驗(yàn)數(shù)據(jù)的，該結(jié)果與劉運(yùn)思等人[16]的研究結(jié)果相符合。其次是Griffith準(zhǔn)則，而兩個(gè)M-C準(zhǔn)則的擬合程度較差，相比于直線型M-C準(zhǔn)則，拋物線型的更接近實(shí)際數(shù)據(jù)。由于H-B準(zhǔn)則是基于大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)準(zhǔn)則，并且其中有擬合參數(shù)，在本算例中該擬合參數(shù)是通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到，所以最終的計(jì)算結(jié)果與實(shí)際最為接近。Griffith準(zhǔn)則是針對(duì)于抗拉強(qiáng)度提出的強(qiáng)度準(zhǔn)則，因此相比于其他強(qiáng)度準(zhǔn)則，在計(jì)算抗拉強(qiáng)度時(shí)更為有效。而L-D準(zhǔn)則與其他準(zhǔn)則最大的區(qū)別是考慮了中間主應(yīng)力的影響，為三維應(yīng)力空間狀態(tài)，在本文的計(jì)算中，以假三軸狀態(tài)為背景，認(rèn)為中間主應(yīng)力與最小主應(yīng)力相等，因此其最終的計(jì)算結(jié)果會(huì)有較大的偏差。而M-C準(zhǔn)則，作為最早的強(qiáng)度準(zhǔn)則，更多地考慮巖土材料的剪切破壞，不適用于計(jì)算拉張破壞，而Griffith準(zhǔn)則更適用于低圍壓條件。

Griffith強(qiáng)度準(zhǔn)則是基于裂隙擴(kuò)展提出的巖石抗拉準(zhǔn)則，其中不考慮剪切行為，巖石裂隙發(fā)育貫通是造成巖石受拉破壞的本質(zhì)因素，這個(gè)結(jié)果解釋了地表出露高陡灰?guī)r邊坡豎直拉張節(jié)理發(fā)育現(xiàn)象。而H-B準(zhǔn)則是巖石抗剪強(qiáng)度準(zhǔn)則，拉張破壞本質(zhì)上是剪切破壞的一種特殊情況，沒(méi)有考慮裂縫的擴(kuò)展。在高圍壓下，巖石以剪切破壞為主，主要發(fā)生塑性變形。因此深部巖體潛在剪切面通常是連續(xù)的，并且具有較好的延伸性，常發(fā)生大型斷裂、斷層、深層滑動(dòng)等。而淺表層巖體多出現(xiàn)短小的節(jié)理，以豎直方向?yàn)橹?，將巖體切割成大量塊體，常形成崩塌落石、楔形體滑動(dòng)等。

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)利用不同強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算巖石的抗拉強(qiáng)度，得到了以下認(rèn)識(shí)：

a）通過(guò)總結(jié)大量巴西劈裂試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，巖石出現(xiàn)3種形式的破裂跡線：非貫通跡線、直線型貫通跡線、非直線型貫通跡線，造成這種現(xiàn)象的主要原因是巖石自身的橫觀各向同性。

b）圓盤(pán)的抗拉強(qiáng)度沿著水平方向自圓心向兩側(cè)逐漸降低，直觀表現(xiàn)為非中心起裂的試樣抗拉強(qiáng)度較低。利用本文提出的修正公式可以計(jì)算得到相應(yīng)的抗拉強(qiáng)度。

c）通過(guò)對(duì)比5種強(qiáng)度準(zhǔn)則，發(fā)現(xiàn)在高圍壓條件下，Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則在預(yù)測(cè)抗拉強(qiáng)度時(shí)，與試驗(yàn)結(jié)果有較好的擬合度，低圍壓條件下，Griffith準(zhǔn)則更為適用。傳統(tǒng)的Mohr-Coulomb準(zhǔn)則不適用于預(yù)測(cè)巖石抗拉強(qiáng)度。