Toeplitz算子的頻繁超循環(huán)性*

郭志濤

(河南工學(xué)院 理學(xué)部,河南 新鄉(xiāng) 453003)

0 引言

其中,N∈N。顯然,頻繁超循環(huán)算子必為超循環(huán)算子。

設(shè)T表示復(fù)平面C上的單位圓周,L2表示T上關(guān)于規(guī)范化Lebesgue測度平方可積的函數(shù)空間,則χn(eiθ)=einθ,n∈Z構(gòu)成L2上的一組規(guī)范正交基。Hardy空間定義如下:

1 幺模特征值準(zhǔn)則

Bayart和Grivaux[3]給出了利用特征值判定算子頻繁超循環(huán)性的“幺模特征值準(zhǔn)則”。該準(zhǔn)則說明,如果算子T的模為1的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量有足夠多,那么T就是頻繁超循環(huán)算子。以下假設(shè)底空間為無限維可分的復(fù)Hilbert空間H。

定義1[3]設(shè)T為H上的有界線性算子,如果存在T上的一個(gè)連續(xù)的概率測度σ,使得對(duì)任意滿足σ(A)=1的σ-可測子集A?T,有

則稱T具有幺模特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量的完美張成集,其中,如果對(duì)于每一個(gè)λ∈T,都有σ({λ})=0,則稱σ為連續(xù)的測度。

定理1(幺模特征值準(zhǔn)則)[3]設(shè)T為H上的有界線性算子,若T具有幺模特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量的完美張成集,則T在H上是頻繁超循環(huán)算子。

2 Tλχ-k的頻繁超循環(huán)性

利用幺模特征值準(zhǔn)則,我們討論Toeplitz算子Tλχ-k的頻繁超循環(huán)性。為此,先證明以下引理。

引理1 設(shè)λ∈C,k∈N+,則δ是Tλχ-k的特征值等價(jià)于|δ|<|λ|。

證明 假設(shè)δ是Tλχ-k的特征值,則存在

即|δ|<|λ|。

定理2 設(shè)λ∈C,k∈N+, |λ|>1,則Tλχ-k是H2上的頻繁超循環(huán)算子。

證明 由引理1,滿足|δ|<|λ|的δ是Tλχ-k的特征值。此時(shí),算子Tλχ-k-δI的核Ker(Tλχ-k-δI)是由以下函數(shù)所張成的k-維線性空間:

〈g,f0〉=〈g,f1〉=…=〈g,fk-1〉=0

我們有

…

由于A是T的一個(gè)不可數(shù)子集,故A在圓盤D(0,|λ|)={z∈C:|z|<|λ|}上有一個(gè)聚點(diǎn);另一方面,函數(shù)Φ0,Φ1,…,Φk-1在圓盤D(0,|λ|)上是解析的,因此,我們有Φ0=Φ1=…=Φk-1≡0。由此可知,對(duì)于所有的n∈N,有

〈g,χnk〉=〈g,χnk+1〉=…=〈g,χnk+k-1〉=0

從而g=0。所以,Tλχ-k-δI(δ∈A)的核Ker(Tλχ-k-δI)張成H2的稠密子空間。根據(jù)幺模特征值準(zhǔn)則(定理1),Tλχ-k在H2上是頻繁超循環(huán)算子。

3 頻繁超循環(huán)準(zhǔn)則

判定算子的頻繁超循環(huán)性,還有一種證明方法,即下述的“頻繁超循環(huán)準(zhǔn)則”。本文最后,我們利用以下準(zhǔn)則給出定理2的另一種證法。

?

必存在某個(gè)正整數(shù)t∈N+使得m

另一方面，我們有Snχm=λ-nχm+nk，且

利用頻繁超循環(huán)準(zhǔn)則(定理3)，Tλχ-k是H2上的頻繁超循環(huán)算子。