考慮垂度影響的拉索-雙粘滯阻尼器系統(tǒng)振動分析

孫利民，狄方殿，陳 林，鄒易清

(1. 同濟大學(xué)土木工程學(xué)院 橋梁工程系，上海 200092；2. 同濟大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點實驗室，上海 200092；3. 上海期智研究院，上海 200092；4. 柳州歐維姆機械股份有限公司，廣西，柳州 545006)

自20 世紀(jì)80 年代以來，斜拉橋的跨徑不斷刷新記錄，斜拉索的長度也隨之增加。斜拉索的振動是此類橋極為棘手的問題，隨著拉索長度的增加，該問題在設(shè)計和運營中變的更為突出。對于拉索不同類型的振動，目前工程中采用了多種控制措施，包括空氣動力措施、阻尼器及輔助索等方法[1-5]。相比于其他措施，拉索上安裝阻尼器仍然是目前最常用的方法。

對于拉索阻尼器減振系統(tǒng)的研究，最早可以追溯至Carne[6]和Kovacs[7]，他們的研究都是基于張緊弦理論，關(guān)注拉索在近錨端安裝阻尼器時系統(tǒng)的一階模態(tài)阻尼比。Carne 發(fā)展了一種近似的分析方法，并得到了與阻尼器阻尼系數(shù)和安裝位置相關(guān)的拉索一階模態(tài)阻尼比計算公式；Kovacs 則根據(jù)工程經(jīng)驗首次提出粘滯阻尼器阻尼系數(shù)優(yōu)化問題，給出了一階最優(yōu)阻尼系數(shù)。Yoneda 和Maeda[8]結(jié)合工程經(jīng)驗，近似得到了阻尼器安裝在近錨點時的拉索一階模態(tài)阻尼比。Uno 等[9]引入無量綱化分析方法，方便了阻尼器的設(shè)計計算。Pacheco 等[10]采用Galerkin 方法計算得到了線性粘滯阻尼器的設(shè)計通用曲線，并簡單分析了垂度的影響。Mehrabi 和Tabatabai[11-12]提出有限差分法，推導(dǎo)出了考慮拉索垂度和抗彎剛度后拉索振動的無量綱微分方程，研究結(jié)果表明拉索的垂度主要對拉索一階模態(tài)阻尼比有明顯影響，抗彎剛度對索獲得的模態(tài)阻尼比有較大影響。Xu 等[13-16]提出一種混合方法，考慮拉索的平面內(nèi)、外振動，研究了拉索的垂度、傾角、阻尼器剛度和安裝位置對各階模態(tài)阻尼比的影響。Krenk[17-18]給出拉索粘滯阻尼器的完整復(fù)模態(tài)分析方法。推導(dǎo)出阻尼器近錨固端安裝條件下模態(tài)阻尼比的近似解析表達式。同時，Krenk 和Nielsen[19]也推導(dǎo)出有垂度拉索近端安裝阻尼器阻尼比的近似解析表達式。Main 和Jones[20-22]重點針對拉索安裝阻尼器后頻率的變化進行了分析。在阻尼器安裝在靠近拉索錨固點時，得到了與Krenk 一樣的模態(tài)阻尼比近似解析式，并討論了當(dāng)阻尼器安裝在拉索任一位置時超越方程的復(fù)特征值解的特點。

經(jīng)過30 多年的發(fā)展，國內(nèi)外學(xué)者對于拉索-阻尼器系統(tǒng)的研究不斷深入，在分析模型的精細化[23]和系統(tǒng)頻率、阻尼及響應(yīng)計算方法方面均有重要改進。然而拉索阻尼器減振依然面臨兩個問題：① 位置限制，即阻尼器只能安裝在拉索錨固端附近，而實際拉索所獲得的最大阻尼比與安裝距離成正比，因此，對于超長拉索來說，阻尼器安裝位置的限制也勢必造成拉索獲得的阻尼不足；② 頻率敏感性，雖然說阻尼器是一種廣譜性的減振裝置，但是使拉索某一階振動獲得最優(yōu)模態(tài)阻尼的阻尼器阻尼系數(shù)，對于其他模態(tài)卻不能達到最優(yōu)。實際工程中通常是針對拉索的前幾階振動設(shè)計阻尼器參數(shù)，因此，對于拉索的高階振動難以控制。隨著拉索的增長，上述問題更為突出。因此，近年來學(xué)者更加關(guān)注負剛度阻尼器、拉索附加轉(zhuǎn)動阻尼器、拉索安裝雙阻尼器等，以求提高阻尼器的減振效果。Krenk 和Hogsberg 等[17]發(fā)現(xiàn)當(dāng)相應(yīng)的阻尼器參數(shù)使其產(chǎn)生相位超前的控制力時，也即在阻尼器位置引入了負剛度，阻尼器的效果顯著增大；此外，考慮阻尼器位置的附加質(zhì)量時，阻尼器的效果同樣增大，類似的是因為附加的集中質(zhì)量相當(dāng)于減小了拉索在此位置的剛度。傳統(tǒng)振動控制中，負剛度效果需要通過主動或者半主動控制實現(xiàn)。近年來，一些被動負剛度、慣質(zhì)裝置陸續(xù)出現(xiàn)，在土木工程領(lǐng)域首先應(yīng)用于建筑物的減隔震中[24]。Chen 等[25]以及Zhou等[26]建立了拉索附加負剛度阻尼器模型，并進行了理論分析。Chen 等[27]考慮拉索抗彎剛度研究了在索上單點同時安裝橫向和抗轉(zhuǎn)動阻尼器以提升阻尼效果。

阻尼器由于安裝高度的限制，隨著拉索長度的增加，單點安裝阻尼器抑制拉索振動越來越顯不足。拉索上兩處安裝阻尼器(拉索-雙阻尼器系統(tǒng))有望彌補上述不足，且拉索同時安裝外置阻尼器和內(nèi)置阻尼器在工程中已有應(yīng)用。Caracoglia 等[28]及Hoang 等[29]對拉索安裝雙阻尼器系統(tǒng)進行了研究，研究結(jié)果表明拉索安裝雙阻尼器后模態(tài)阻尼比是單阻尼器的兩倍。國內(nèi)外不少學(xué)者也對拉索安裝不同類型的雙阻尼器系統(tǒng)進行了研究[30]。上述研究的拉索模型均是基于張緊弦理論，對于超長拉索垂度影響是不容忽略的，為此，本文建立了有垂度拉索-雙粘滯阻尼器系統(tǒng)模型，并推導(dǎo)出端部安裝雙阻尼器的拉索模態(tài)阻尼比近似解析式(雙阻尼器安裝在拉索兩端、雙阻尼器安裝在拉索同一端)。分別分析了兩端安裝和一端安裝雙阻尼器后拉索的振動特性，研究雙阻尼器參數(shù)關(guān)系對拉索模態(tài)阻尼的影響，對阻尼器參數(shù)進行了優(yōu)化設(shè)計。研究成果可以為超長拉索雙阻尼器設(shè)計提供計算方法及阻尼器參數(shù)設(shè)置依據(jù)。

1 拉索-雙粘滯阻尼器系統(tǒng)的復(fù)特征頻率方程

有垂度拉索-雙阻尼器系統(tǒng)如圖1 所示。考慮一水平放置的拉索，其弦長為L，水平張力為H，單位長度質(zhì)量為m，軸向剛度為EA。拉索的抗彎剛度忽略不計。為了方便描述拉索的靜位移和動位移，建立了如圖1 所示的坐標(biāo)系。拉索兩錨固點連接方向假設(shè)為x軸 ，y(x)和v(x,t)分別表示拉索的靜位移和相對靜位移的動位移。

圖1 有垂度拉索-雙粘滯阻尼器系統(tǒng)Fig. 1 A shallow cable with two viscous dampers

對于土木工程領(lǐng)域常用的中小垂度拉索，其靜止?fàn)顟B(tài)形狀可以假定為拋物線函數(shù)[32]：

式中：f為拉索跨中垂度； g為重力加速度。

拉索被阻尼器分為3 個索段單元。為表示的方便，連接點用Pp編號，P0和P3分別表示拉索的左、右錨固點，兩個粘滯阻尼器分別安裝在P1和P2兩點。lp為第p個拉索單元的長度(Pp-1和Pp點間距離)。定義各單元的局部坐標(biāo)系，vp(xp,t)為第p個拉索單元在t時刻的豎向動位移，水平xp軸由Pp-1沿著索弦線指向Pp點。拉索振動產(chǎn)生一個隨時間變化的附加水平張力h(t)，忽略拉索自身阻尼。各拉索單元的振動方程可以寫成如下的形式：

拉索振動中其在附加水平張力h作用下發(fā)生彈性變形。假定索伸長后，拉索微元由初始長度ds變 為 ds′，沿索弦線的張力增量為h(ds/dx)。根據(jù)索的彈性關(guān)系可以得到下式：

其中，最后一項表示拉索上某點從初始位置(x,y) 變化為 (x+u,y+v)。

考慮拉索在錨固點的邊界條件，式(3)乘(ds/dx)2并在索跨長內(nèi)積分可以得到：

僅考慮索平面內(nèi)的自由振動時，式(2)的解通常具有以下形式：

式中：ω為復(fù)頻率；；為振型函數(shù)；為拉索附加水平張力幅值。將式(5)代入式(2)，可以得到：

化簡式(4)得到：

各拉索單元左、右端的豎向振動分別用νp-1(t)和νp(t) 表 示，對于自由振動有νp-1(t)=exp(iωt)和νp(t)=exp(iωt) 。因此，可以由下式得出：

注意到：

其中 θ為拉索傾斜角度。

式(10)乘以 ( βL)3可以得到：

根據(jù)拉索附加阻尼器位置內(nèi)力平衡條件，進一步可得：

式中，cp為第p個阻尼器的阻尼系數(shù)。

最后，由式(11)和式(13)可得如下3 個方程：

將式(14)寫成矩陣的形式，得到：

式中：

拉索-雙粘滯阻尼器系統(tǒng)的復(fù)頻率特征方程由式(15)系數(shù)矩陣的行列式等于0，得到：

式中：

2 拉索-雙粘滯阻尼器系統(tǒng)方程求解

考慮阻尼器安裝于索近錨固端，可以求解索附加模態(tài)阻尼比的近似解析解。本節(jié)考慮雙阻尼器分別安裝在拉索的兩端和安裝在同一端兩種情況。

2.1 近似對稱振型

2.1.1 阻尼器兩端布置

式(16)可以寫成如下的形式[32-33]：

利用三角函數(shù)變化，并考慮l1和l3遠小于L，式(17)可以簡化為：

式(18)等號左邊可寫成如下形式：

將式(19)代入式(18)，并對式(18)中三角函數(shù)級數(shù)展開取一階小量，式(18)可以寫成如下形式：

式(22)為近似對稱振型下拉索在兩端安裝粘滯阻尼器時系統(tǒng)模態(tài)阻尼比的近似解析式。該公式 包 含κ、ρ、ε 及 垂 度 相 關(guān) 參 數(shù)λ2。當(dāng) ε=0 時，式(22)變?yōu)橛写苟壤靼惭b單個阻尼器時的模態(tài)阻尼比計算公式[19]。

2.1.2 阻尼器同端布置

兩個阻尼器相鄰安裝，即l1和l2遠小于L。以阻尼器1 為參照，令 ρ=l2/l1?？梢缘玫剑?/p>

式(24)為近似對稱振型下拉索在一端安裝粘滯阻尼器時，系統(tǒng)模態(tài)阻尼比的近似解析式。該公 式 包 含κ、ρ、ε及λ2。當(dāng) ε=0 時，式(24)變 為有垂度拉索安裝單個阻尼器時的模態(tài)阻尼比計算公式。

2.1.3 最優(yōu)附加模態(tài)阻尼比

1)兩端安裝阻尼器

式(22)對κ求導(dǎo)，令 d(ζn(l1/L)-1)/dκ=0，可得到最優(yōu)值。

① 當(dāng) ε=0時，表示拉索安裝單個阻尼器。此時最優(yōu)阻尼器參數(shù)κopt=1，對應(yīng)最優(yōu)阻尼為：

2)同端安裝阻尼器

式(24)對κ求導(dǎo)，令 d(ζn(l1/L)-1)/dκ=0。

2.2 近似反對稱振型

2.2.1 阻尼器兩端布置

為了便于推導(dǎo)，將式(16)寫成如下的形式：

式(26)等號左邊可以近似為 ΔβnL/2?？紤]到l1和l3遠小于L，對三角函數(shù)級數(shù)展開并取一階小量，式(26)可以寫成如下形式：

為了分析方便，以阻尼器1(l1≠0、ξ1≠0)為參照，令 ρ=l3/l1。則式(27)可以寫成如下形式：

對應(yīng)拉索模態(tài)阻尼比為：

式(29)為近似反對稱振型下拉索在兩端布置粘滯阻尼器時系統(tǒng)模態(tài)阻尼比的近似解析式，該公 式 僅 包 含3 個 參 數(shù)，即κ、ρ、ε 。 當(dāng) ε=0 時，式(29)即為拉索安裝單個粘滯阻尼器時的模態(tài)阻尼比計算公式[10]；對于無垂度拉索，式(29)則為任意振型下拉索安裝雙阻尼器后模態(tài)阻尼比的計算公式[28-29]。

2.2.2 阻尼器同端布置

兩個阻尼器相鄰安裝，即l1和l2遠小于L。阻尼器1 為參照，令 ρ =l2/l1?？梢缘玫剑?/p>

式(30)為近似反對稱振型下拉索在一端安裝雙粘滯阻尼器時，系統(tǒng)模態(tài)阻尼比的近似解析式，該公式也只包含κ、ρ、ε 三 個參數(shù)。當(dāng) ε=0時，式(30)退變?yōu)槔靼惭b單個粘滯阻尼器時的模態(tài)阻尼比計算公式；對于無垂度拉索，式(30)則為任意振型下拉索一端安裝雙阻尼器時模態(tài)阻尼比的解析表達式[29]。

2.2.3 最優(yōu)附加模態(tài)阻尼比

1) 兩端安裝阻尼器

式(29)對κ求導(dǎo)，令 d(ζn(l1/L)-1)/dκ=0，則可得到最優(yōu)阻尼器參數(shù)及對應(yīng)的附加阻尼比。

① 當(dāng) ε=0時，表示拉索安裝單個阻尼器。此時κopt=1 ， ζn,opt(l1/L)-1=0.5，與文獻[5]結(jié)果相吻合。

② 當(dāng) ρ=1、ε=1時，表示2 個參數(shù)相同的阻尼器在拉索兩端對稱安裝。此時，κopt=1，ζn,opt(l1/L)-1=1。這種情況下，拉索所獲得的最大模態(tài)阻尼比是對應(yīng)安裝單個阻尼器的2 倍。

③ 當(dāng) ρε=1,κopt=1 ， ζn,opt(l1/L)-1=(1+ρ)/2。由于 0≤ρ≤1 ，所以該情況下 ζn,opt(l1/L)-1最大值為1，即為②中所述的情況。當(dāng) ρ不斷減小時，即阻尼器2 的安裝距離不斷減小， ζn,opt(l1/L)-1值也不斷減小，當(dāng) ρ減小到0 時，即為①中所述情況。

2) 同端安裝阻尼器

式(30)對κ求 導(dǎo)，令 d(ζn(l1/L)-1)/dκ=0。

① 當(dāng) ε=0時，表示拉索安裝單個阻尼器。此時κopt=1 ， ζn,opt(l1/L)-1=0.5。

② 當(dāng) ρ=0、ε=1時，表示2 個相同參數(shù)的阻尼器安裝在近索端同一位置，此時κopt=0.5，ζn,opt(l1/L)-1=0.5。這時拉索所獲得的最大模態(tài)阻尼比與同位置處安裝一個對應(yīng)參數(shù)的阻尼器相同?？梢姡诶鞫瞬客晃恢冒惭b雙阻尼器并不能提高拉索的模態(tài)阻尼比，只是減少了阻尼器的尺寸。

3 拉索-雙粘滯阻尼器系統(tǒng)參數(shù)分析

3.1 近似反對稱振型

為了驗證近似解的正確性，選取典型工況與數(shù)值解進行對比，數(shù)值解采用幅角原理(APM)方法[27]求得。后續(xù)近似解也進行對比驗證，不再特別說明。

由式(22)可知，對于拉索近似對稱振型的振動，垂度為一個影響因素。分析垂度的影響，計算得到圖2。

圖2 不同 λ2 時系統(tǒng)模態(tài)阻尼曲線( l 1/L=0.02)Fig. 2 Damping curves for l 1/L=0.02 and varied values ofλ2

圖2 給出不同的λ2下拉索一階、三階近似對稱振型振動模態(tài)阻尼比曲線。由圖2 可知，垂度對于模態(tài)阻尼比有較大的影響。當(dāng)λ2=(n+1)2π2時出現(xiàn)“頻率交叉”，此時阻尼器失效，文獻[19]對這種現(xiàn)象做了詳細的解釋。拉索安裝雙阻尼器與安裝單阻尼器規(guī)律是一致的，對于一階、三階近似對稱振動模態(tài)，λ2分別為40、160 時系統(tǒng)模態(tài)阻尼比幾乎為0，當(dāng)λ2偏離這個值時，阻尼器效果將會提高。

分析λ2對拉索模態(tài)阻尼比的影響，圖3 給出了拉索前5 階模態(tài)下λ2與最大模態(tài)阻尼比的關(guān)系曲線。由圖3 可知，垂度僅對拉索近似對稱振型的最優(yōu)模態(tài)阻尼比有影響。對于一階、三階、五階模態(tài)，當(dāng)垂度參數(shù)λ2=(n+1)2π2時，系統(tǒng)模態(tài)阻尼比降低到0，偏離這個值后，λ2增大或減小都會使模態(tài)阻尼比增大，這與圖2 所得結(jié)論相一致。由圖3 可知垂度僅對一階振動模態(tài)阻尼比影響較大，對于三階、五階的影響較小。實際斜拉橋中拉索λ2一般不大于3，迪拜在建云溪塔的最長拉索，其垂度參數(shù)λ2達到10 以上[32]。當(dāng)λ2=3時，垂度造成拉索的一階模態(tài)阻尼比降低至不考慮垂度時的70%左右，當(dāng)λ2=10時，降低至35%附近?？梢姶苟葘τ谝浑A模態(tài)阻尼影響非常顯著。

圖3 前五階模態(tài) λ2與最大模態(tài)阻尼的關(guān)系曲線Fig. 3 Dependence of maximum modal damping on the cable sag

為了研究拉索-雙阻尼器系統(tǒng)近似對稱振型振動下的動力特性，對式(22)進行分析。拉索兩端安裝阻尼器時系統(tǒng)模態(tài)阻尼曲線如圖4 所示。λ2=3時，圖4(a)給出同參數(shù)雙阻尼器在不同相對安裝位置時系統(tǒng)一階模態(tài)阻尼比變化情況，雙阻尼器安裝位置參數(shù) ρ的取值范圍[0, 1]。圖4(b)給出 ρ=3/4時兩個阻尼器阻尼參數(shù)比對拉索模態(tài)阻尼比的影響情況。

圖4 兩端安裝阻尼器系統(tǒng)一階模態(tài)阻尼曲線Fig. 4 First modal damping curves of cable equipped with two dampers at the opposite cable ends

由圖4(a)可知，拉索的模態(tài)阻尼比隨著 ρ值的增大而增大。當(dāng) ρ=1 時 ，阻尼比 ζ(l1/L)-1約為ρ=0 時 的2 倍，即垂度λ2=3時安裝雙阻尼器較安裝單阻尼器拉索的最大模態(tài)阻尼比提高了1 倍，對應(yīng)2.1.3 節(jié)，可見安裝雙阻尼器對拉索減振效果的提高是十分顯著的。圖4(b)給出了 ρ=3/4時典型工況的系統(tǒng)阻尼曲線，并給出了更多工況下系統(tǒng)阻尼比的最優(yōu)值點(圓點表示)。由分析結(jié)果可知，雙阻尼器阻尼參數(shù)比的變化對拉索的減振有較大的影響。 ε=0表示拉索安裝單個阻尼器，ε ＞0 后表示第二個阻尼器參與減振。隨著 ε值的增大系統(tǒng)所獲得的最大阻尼比先增大后減小，最大模態(tài)阻尼比點逆時針形成一個近似閉合的環(huán)。最大阻尼比存在最優(yōu)值，即當(dāng) ε=1/ρ時，相關(guān)證明已在2.1.3 節(jié)中提及。當(dāng) ε變的無窮大時，意味著第二個阻尼器的阻尼系數(shù)無窮大，拉索在該位置處“鎖定”，拉索僅是自由長度的減小，此時雙阻尼器的減振效果近似于單個阻尼器。

3.2 近似對稱振型同端布置

式(24)給出了拉索一端安裝雙阻尼器時系統(tǒng)一階模態(tài)阻尼比計算公式，如圖5 所示。

由圖5(a)可見，拉索在同一位置安裝2 個同參數(shù)的阻尼器( ρ=0、ε=1)與在該位置安裝一個對應(yīng)參數(shù)的阻尼器拉索所能獲得的模態(tài)阻尼比是相同的，κ值約從1 將為0.5。所以，在拉索端部同位置安裝雙阻尼器并不能提高拉索的模態(tài)阻尼比，但可以減小每個阻尼器的尺寸。該結(jié)論與2.1.3 節(jié)對應(yīng)一致。

從圖5(a)的分析可知，拉索同一端安裝雙阻尼器對于共同抑制拉索的某一階振動沒有太大意義。而考慮單個阻尼器對拉索高階振動控制的不足，討論針對拉索高階振動安裝第二個阻尼器是有意義的。圖5 進一步分析了固定阻尼器2，ρ=1(即l1=l2)，即在阻尼器2 與拉索近端錨固點中間的位置安裝阻尼器1 時的系統(tǒng)阻尼變化情況。由圖5(b)可知，當(dāng) ε趨于∞時，意味著阻尼器1 阻尼系數(shù)趨于0，相當(dāng)于在拉索距錨固端l1+l2處安裝單個阻尼器，此時 ζ(l1/L)-1最大。隨著 ε的減小，即阻尼器1 的阻尼系數(shù)逐漸增大，當(dāng)ε=0時，阻尼器1 阻尼系數(shù)趨于∞，拉索在阻尼器1 位置處“鎖定”， ζ(l1/L)-1約降低到最大值的1/2。在 ε由大變小的過程中，最大模態(tài)阻尼(圓點表示)逐漸減小。由此可見，阻尼器1 的安裝對于阻尼器2 的減振起到了負作用，并且阻尼器1 的阻尼系數(shù)越大負作用越明顯，特別是當(dāng)ε ＜1 時 。當(dāng) ε ＞1時，即阻尼器1 阻尼系數(shù)小于阻尼器2 的阻尼系數(shù)時，負作用較小。

圖5 同一端安裝雙阻尼器系統(tǒng)一階模態(tài)阻尼曲線Fig. 5 First modal damping curves of cable equipped with two dampers at the same cable end

工程中對于拉索阻尼器的設(shè)計，通常是針對拉索的前幾階振動模態(tài)確定阻尼器參數(shù)[33]，無量綱參數(shù)，則阻尼曲線形式上不再重合在一起。針對前j階模態(tài)進行粘滯阻尼器設(shè)計，第1 階模態(tài)阻尼曲線與第j階阻尼曲線的交點所對應(yīng)的橫坐標(biāo)即為粘滯阻尼器優(yōu)化阻尼參數(shù)值，如圖6 所示。

圖6 給出了拉索垂度參數(shù)λ2=3，單個阻尼器安裝在 (l1+l2)/L=0.02時，針對拉索前5 階振動阻尼器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計方法，此時阻尼器最優(yōu)阻尼參數(shù)=0.61。為了研究雙阻尼器在考慮多階優(yōu)化時對拉索多階減振的效果，在l1/L=0.01的位置處增加一個同阻尼參數(shù)的粘滯阻尼器，參考圖5(b)分析結(jié)果取=0.2379，分析前10 階拉索模態(tài)阻尼的變化情況，如圖7 所示。

圖6 粘滯阻尼器多模態(tài)設(shè)計阻尼曲線Fig. 6 Damping ratio curves for design of viscous damper

圖7 安裝單、雙阻尼器減振效果對比Fig. 7 Comparison of two vibration control strategies

由圖7 可知，粘滯阻尼器設(shè)計中考慮對拉索多階控制的優(yōu)化，安裝雙粘滯阻尼器對于控制較低階振動是不利的，與前述分析一致，但是對高階振動的控制卻是有利的。

3.3 近似反對稱振型兩端布置

圖8 給出了第二階和第四階模態(tài)拉索兩端安裝粘滯阻尼器的阻尼曲線，進一步驗證了近似解的準(zhǔn)確性。

圖8 系統(tǒng)模態(tài)阻尼曲線Fig. 8 Asymptotic curves

為了研究拉索-雙阻尼器系統(tǒng)近似反對稱振型振動下的動力特性，對式(29)進行分析。與圖4相類似，得到了如圖9 所示的阻尼曲線。對于近似反對稱振型，由于垂度對系統(tǒng)阻尼計算結(jié)果沒有影響，后續(xù)阻尼曲線適用于任意階近似反對稱振型。

圖9 基本規(guī)律與圖4 相一致。對于近似反對稱振型垂度沒有影響，最優(yōu)值大小可以由2.2.3 小節(jié)確定。

圖9 兩端安裝阻尼器系統(tǒng)模態(tài)阻尼曲線Fig. 9 Modal damping curves of cable equipped with two dampers at the opposite cable ends

3.4 近似反對稱振型同端布置

式(30)給出了拉索一端安裝雙阻尼器時系統(tǒng)模態(tài)阻尼比計算公式，分析如圖10 所示。圖10所得的結(jié)論與圖5 相一致。

圖10 同一端安裝雙阻尼器模態(tài)阻尼曲線Fig. 10 Modal damping curves of cable equipped with two dampers at the same cable end

4 結(jié)論

本文建立了有垂度拉索-雙阻尼器系統(tǒng)模型，并推導(dǎo)出了在拉索近錨固端兩個不同位置安裝粘滯阻尼器時拉索模態(tài)阻尼比的近似解析式，近似公式可以為工程中超長拉索精確設(shè)計雙阻尼器提供參考；在此基礎(chǔ)上對雙阻尼器參數(shù)進行了優(yōu)化，同時分別研究了拉索兩端安裝和一端安裝雙阻尼器后拉索的振動特性，分析阻尼器參數(shù)關(guān)系對拉索模態(tài)阻尼的影響。研究結(jié)果表明：

(1)垂度僅對拉索對稱振型有影響，對于反對稱振型沒有作用，且實際拉索垂度僅會對其一階振動有較大影響。

(2)考慮拉索垂度的影響，兩端對稱安裝阻尼器的阻尼效果約為單側(cè)安裝阻尼器時的兩倍。

(3)同一端兩處安裝阻尼器不能提高拉索某一階模態(tài)的最大阻尼比，但是對于同時抑制拉索高、低階振動具有實際工程意義。