追本溯源 高瞻遠(yuǎn)矚
——立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題研究

浙江

(作者單位：浙江省柯橋中學(xué))

立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題，其核心考點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)直線所構(gòu)成的靜態(tài)平面，難點(diǎn)是考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和創(chuàng)新思維能力，已成為新高考命題的一大熱點(diǎn).深挖其問題背景，總結(jié)其求解方法，掌握其證明技巧，透析其變化規(guī)律，對提升考生的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效益將大有裨益.

一、真題研學(xué)

A.γ<α<βB.α<γ<β

C.α<β<γD.β<γ<α

根據(jù)題意，過D作平面ABC的高DH，過H分別作PR,PQ,QR的高HE,HF,HG，如圖，易得α=∠DEH，β=∠DFH，γ=∠DGH，可以看出它們的對邊都是一樣的，所以只需要比較EH,FH,GH三邊的大小即可，即把立體問題轉(zhuǎn)化為底面平面幾何問題.

然后我們細(xì)究命題思路，該題是在取底面正三角形三邊中點(diǎn)的基本模型下，改為其中兩邊的近、遠(yuǎn)三等分點(diǎn)，從而命制出一個(gè)立足課本基本模型的立體幾何好題，我們就以該真題為研究對象，將中點(diǎn)、三等分點(diǎn)改成任意棱上一點(diǎn)，編制出一道一模題如下.

二、好題細(xì)品

母題：如圖，三棱錐V-ABC的底面ABC是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱VA上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，記直線PB與直線AC所成角為α，二面角P-AC-B的平面角為β，則α+β不可能是( )

點(diǎn)評：該題是將極限思想運(yùn)用到立體幾何中，將三棱錐趨向于無窮小及無窮大，則角的范圍迎刃而解.

A.β>γ>αB.α>β>γ

C.α>γ>βD.β>α>γ

繼2017年之后，浙江卷2018，2019兩年連續(xù)考到了動(dòng)態(tài)空間三角的大小比較關(guān)系，通法是通過線面垂直關(guān)系先做出線線、線面、二面角，把立體幾何問題最終轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡單平面問題，再比較線段長大小.當(dāng)然空間三角大小關(guān)系也隱含著最小角，最大角定理的運(yùn)用.

(2018·浙江卷·8)已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段AB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)),設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則( )

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

(2019·浙江卷·8)設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱VA上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)).記直線PB與直線AC所成的角為α，直線PB與平面ABC所成的角為β，二面角P-AC-B的平面角為γ，則( )

A.β<γ，α<γB.β<α，β<γ

C.β<α，γ<αD.α<β，γ<β

2019年高考的動(dòng)態(tài)立體幾何仍延續(xù)2018年的最小角、最大角定理，故易選B.

然后我們將模型由三棱錐換成標(biāo)準(zhǔn)正交勻稱圖形正方體，設(shè)置一個(gè)由動(dòng)點(diǎn)連接定點(diǎn)的隱平面，即得到以下題目.

【變式2】(2021·寧波一?！?6)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AB上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，F(xiàn)為CC1的中點(diǎn)，G為C1D1的四等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)C1)，直線AA1交平面EFG于點(diǎn)H，則直線EH與直線BD1所成角的余弦值是________.

該題雖E為動(dòng)態(tài)點(diǎn)，而事實(shí)上平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面EFG為截面，過E作EH∥FG交AA1于點(diǎn)H，平面EFG與平面ABB1A1和平面DCC1D1截得的兩直線EH∥FG，從而直線EH與直線BD1所成角等于直線FG與直線BD1所成角.以下可使用向量的對角線定理

關(guān)于平面的延拓性是共面的難點(diǎn)，該知識(shí)點(diǎn)在2021年浙江卷第6題進(jìn)行了考查.

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，M，N分別是A1D，D1B的中點(diǎn)，則( )

A.直線A1D與直線D1B垂直，直線MN∥平面ABCD

B.直線A1D與直線D1B平行，直線MN⊥平面BDD1B1

C.直線A1D與直線D1B相交，直線MN∥平面ABCD

D.直線A1D與直線D1B異面，直線MN⊥平面BDD1B1

需要將D1B固定到平面ABD1，連接AD1，由正方體可知A1D⊥AD1，A1D⊥AB，所以A1D⊥平面ABD1，A1D⊥D1B，易得MN∥AB，MN∥平面ABCD.所以A選項(xiàng)正確；由正方體可知A1D與平面BDD1相交于點(diǎn)D，D1B?平面BDD1，D?D1B，直線A1D與直線D1B是異面直線，B，C錯(cuò)；因?yàn)镸N∥AB，AB不與平面BDD1B1垂直，所以MN不與平面BDD1B1垂直，故D錯(cuò)，故選A.

通過以上三例我們闡述的是立體圖形中的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而在新普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊中，明確告訴我們什么是立體幾何，立體幾何是在平面幾何的基礎(chǔ)上構(gòu)成的正交或是仿射維度圖形，其本質(zhì)是基于點(diǎn)射影的解析幾何.鑒于此，2022年高考動(dòng)態(tài)立體幾何試題命制將青睞于平面幾何的折疊，依照母題的三棱錐，改編成平面圖形為三角形的翻折問題，得到變式3.

三、2022年真題預(yù)測

【變式3】如圖，已知△ABC中，AC>AB,AD是∠BAC的平分線，將△ABD沿直線AD翻折成△ADB1,在翻折過程中，設(shè)所成二面角的平面角B1-AD-C為α，∠B1AC=β,∠B1DC=γ,則下列結(jié)論中成立的是( )

A.α≥β,α≥γB.α≥β,α≤γ

C.α≤β,α≥γD.α≤β,α≤γ

點(diǎn)評：立體幾何翻折問題常先考慮折疊前圖形與折疊過程中的圖形的變量與不變量，也是極端法的緣由，其次該題解法的紐帶是投影點(diǎn)B′一定落在AD的高線上.

當(dāng)然在考場上，我們可以再次引入點(diǎn)的極限逼近思想，考慮兩個(gè)極端位置，在初始位置，易知α=π,α>β,α=γ,其次在點(diǎn)B經(jīng)過180°折平時(shí)易知α=β=0,α<γ，易得準(zhǔn)確答案B，讓我們再次感嘆動(dòng)態(tài)逼近思想的精妙絕倫.

此外我們也可以把基本圖形改為直角三角形，在折疊過程中構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)垂直的立體點(diǎn)正投影，得到試題變式4.

【變式4】在△ABC中，∠ACB=90°,BC=2,AC=3，點(diǎn)D在斜邊AB上，以CD為棱把它折成直二面角A-CD-B，折疊后AB的最小值為( )

因?yàn)檎鄢芍倍娼茿-CD-B，為標(biāo)準(zhǔn)正投影，故點(diǎn)A的投影必在直線CF上，該題本質(zhì)是兩個(gè)直角三角形的標(biāo)準(zhǔn)墻角模型.簡單計(jì)算下可設(shè)∠ACE=θ,AE=3sinθ,CE=3cosθ,CF=2sinθ,BF=2cosθ，所以AB2=13-6sin2θ≥7，故選B.變式3與變式4是筆者對2022年高考動(dòng)態(tài)立體幾何的預(yù)測.

四、結(jié)束語

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版2020年修訂)》指出“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)”.本文闡述的立體幾何動(dòng)態(tài)問題研究正是落實(shí)這一理念的良好載體.在解決此類題型時(shí)，教師要以高考真題為核心，從學(xué)生的角度去思考問題，從條件或是結(jié)論或是模型的演變?yōu)閷?dǎo)向得到變式題型，由淺入深，由易到難，由特殊到一般，層層深入，步步啟發(fā).精心設(shè)計(jì)的變式題組在教學(xué)中發(fā)揮著不可替代的作用，對于提高教學(xué)效率、培養(yǎng)尖子生的能力、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)起著重要作用，筆者鑒于此與各位讀者共勉，希望能不斷優(yōu)化課堂教學(xué)，研討出更多值得品味的優(yōu)質(zhì)試題.