利用一“數(shù)”一“形”巧解天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

甘肅 趙強(qiáng)強(qiáng) 石小娟

(作者單位：甘肅省甘谷縣第四中學(xué))

天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是高考必考內(nèi)容之一，近幾年隨著我國(guó)航空航天事業(yè)的發(fā)展，考查天體運(yùn)動(dòng)的試題情境越來(lái)越新，學(xué)生也感覺這類試題越來(lái)越難。天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題就是一個(gè)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，涉及的主要知識(shí)有勻速圓周運(yùn)動(dòng)、萬(wàn)有引力定律、功能關(guān)系等。現(xiàn)有的大多數(shù)研究主要是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類，而后針對(duì)每一類問(wèn)題提出相應(yīng)的解決辦法，這使學(xué)生認(rèn)為這類問(wèn)題比較復(fù)雜，理解記憶也比較困難。事實(shí)上，天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題本身涉及的物理量確實(shí)比較多，其中有些物理量易混淆，又由于情境的不斷變化，讓問(wèn)題的解決變得更加困難。為此，本文總結(jié)了一個(gè)普遍通用的數(shù)學(xué)公式和一個(gè)普遍適用的圖形，利用這一“數(shù)”與一“形”相結(jié)合來(lái)幫助學(xué)生快速準(zhǔn)確的解決有關(guān)天體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，并以高考真題為例，演繹解題過(guò)程。

一、歸納總結(jié)一“數(shù)”一“形”

在高中教學(xué)中，處理天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)有兩個(gè)近似，一是將行星繞中心天體的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)近似為做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；二是物體在天體表面附近時(shí)，近似認(rèn)為物體的重力等于萬(wàn)有引力。接下來(lái)，我們將在這兩個(gè)前提下分析處理天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。首先，需建立一個(gè)圖形，其用于展示一個(gè)天體運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)及其相關(guān)的各個(gè)物理量，如圖1所示。在圖1中M、R、g分別表示中心天體的質(zhì)量、半徑和天體表面的重力加速度；m、v、ω、T、an、h分別表示行星的質(zhì)量、線速度、角速度、周期、向心加速度和距中心天體表面的高度，r為行星繞中心天體運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，易知r=R+h。

圖1

G表示引力常量；根據(jù)萬(wàn)有引力定律和第一個(gè)近似可知，行星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)適用的關(guān)系式為

再根據(jù)萬(wàn)有引力定律和第二個(gè)近似可知，物體在天體表面附近時(shí)適用的關(guān)系式為

綜合①②兩式可得到一個(gè)普遍適用的關(guān)系式

筆者將③稱之為“萬(wàn)能公式”，為了方便后面描述，依次把每一項(xiàng)稱作有M項(xiàng)、g項(xiàng)、v項(xiàng)、ω項(xiàng)、T項(xiàng)和an項(xiàng)。結(jié)合圖1和“萬(wàn)能公式”，我們可以快速、準(zhǔn)確的解決有關(guān)天體運(yùn)動(dòng)的絕大多數(shù)問(wèn)題。

二、演繹利用一“數(shù)”一“形”相結(jié)合的解題過(guò)程

1.求解行星運(yùn)動(dòng)參量

【例1】(2018·全國(guó)卷Ⅲ·15)為了探測(cè)引力波，“天琴計(jì)劃”預(yù)計(jì)發(fā)射兩顆地球衛(wèi)星P，其軌道半徑約為地球半徑的16倍，另一地球衛(wèi)星Q的軌道半徑約為地球半徑的 4倍。P與Q的周期之比為

( )

A.2∶1 B.4∶1 C.8∶1 D.16∶1

【答案】C

【例2】(2020·浙江省7月選考·7)火星探測(cè)任務(wù)“天問(wèn)一號(hào)”的標(biāo)識(shí)如圖2所示。若火星和地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火星公轉(zhuǎn)軌道半徑與地球公轉(zhuǎn)軌道半徑之比為3∶2，則火星與地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的

( )

圖2

A.軌道周長(zhǎng)之比為2∶3

D.向心加速度大小之比為9∶4

【答案】C

2.計(jì)算中心天體質(zhì)量

【例3】(2020·全國(guó)卷Ⅱ·15)若一均勻球形星體的密度為ρ，引力常量為G，則在該星體表面附近沿圓軌道繞其運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的周期是

( )

【答案】A

3.比較兩個(gè)行星的運(yùn)動(dòng)參量

【例4】(2020·浙江省1月選考·9)如圖3所示，衛(wèi)星a、b、c沿圓形軌道繞地球運(yùn)行。a是極地軌道衛(wèi)星，在地球兩極上空約1 000 km處運(yùn)行；b是低軌道衛(wèi)星，距地球表面高度與a相等；c是地球同步衛(wèi)星，則

( )

圖3

A.a、b的周期比c大

B.a、b的向心力一定相等

C.a、b的速度大小相等

D.a、b的向心加速度比c小

【答案】C

【總結(jié)】不管是求解(比較)行星運(yùn)動(dòng)參量問(wèn)題，還是計(jì)算中心天體質(zhì)量和密度的問(wèn)題，只需要將題目描述過(guò)程和圖1對(duì)應(yīng)，再找到公式③中與已知量和要求量對(duì)應(yīng)的項(xiàng)組成的等式，就可以進(jìn)行相應(yīng)的分析和計(jì)算。值得注意的是，在解決這些問(wèn)題時(shí)，首先要確定天體系統(tǒng)，找準(zhǔn)中心天體，尤其在計(jì)算質(zhì)量和密度時(shí)只能計(jì)算的是中心天體的質(zhì)量和密度。其次，要注意區(qū)分天體半徑R和軌道半徑r，二者之間的關(guān)系是r=R+h，但當(dāng)題目中出現(xiàn)天體表面或者天體表面附近時(shí)，通常認(rèn)為r=R。

4.能量問(wèn)題

【例5】(2017·全國(guó)卷Ⅱ·6)(多選)如圖4，海王星繞太陽(yáng)沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，P為近日點(diǎn)，Q為遠(yuǎn)日點(diǎn)，M、N為軌道短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，運(yùn)行的周期為T0，若只考慮海王星和太陽(yáng)之間的相互作用，則海王星在從P經(jīng)M，Q到N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中

( )

圖4

B.從Q到N階段，機(jī)械能逐漸變大

C.從P到Q階段，速率逐漸變小

D.從M到N階段，萬(wàn)有引力對(duì)它先做負(fù)功后做正功

【答案】CD

5.衛(wèi)星的變軌問(wèn)題及衛(wèi)星的發(fā)射與回收問(wèn)題

【例6】(2019·陜西省山陽(yáng)中學(xué)模擬考試·4)2018年12月12日，我國(guó)發(fā)射的“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器進(jìn)入環(huán)月軌道1，12月30日實(shí)施變軌進(jìn)入環(huán)月軌道2。其飛行軌道如圖5所示，p點(diǎn)為兩軌道的交點(diǎn)。如果嫦娥四號(hào)探測(cè)器在環(huán)月軌道1和環(huán)月軌道2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受到月球的萬(wàn)有引力作用，環(huán)月軌道1為圓形軌道，環(huán)月軌道2為橢圓軌道。則以下說(shuō)法正確的是

圖5

( )

A.若已知嫦娥四號(hào)探測(cè)器環(huán)月軌道1的半徑、運(yùn)動(dòng)周期和引力常量，則可以計(jì)算出月球的密度

B.若已知嫦娥四號(hào)探測(cè)器環(huán)月軌道2的近月點(diǎn)到月球球心的距離、運(yùn)動(dòng)周期和引力常量，則可以計(jì)算出月球的密度

C.嫦娥四號(hào)探測(cè)器在環(huán)月軌道2上經(jīng)過(guò)p點(diǎn)的速度小于在環(huán)月軌道1上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度

D.嫦娥四號(hào)探測(cè)器在環(huán)月軌道2時(shí)，從近月點(diǎn)運(yùn)動(dòng)向遠(yuǎn)月點(diǎn)P的過(guò)程中，加速度變大

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，選取公式③中有M項(xiàng)和T項(xiàng)組成等式可求出M，但是不知道月球半徑，無(wú)法計(jì)算其密度；對(duì)于B選項(xiàng)，由于是橢圓軌道，所以公式并不適用，也無(wú)法計(jì)算月球密度；對(duì)于C選項(xiàng)，由于探測(cè)器做近心運(yùn)動(dòng)，所以其速度要在p點(diǎn)減小；對(duì)于D選項(xiàng)，探測(cè)器在從近月點(diǎn)向遠(yuǎn)月點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中r逐漸增大，選取公式③中有M項(xiàng)和an項(xiàng)，可得GM=anr2，易知當(dāng)r逐漸增大時(shí)，an逐漸變小。綜上可知，C正確。

【答案】C

【例7】(2021·天津等級(jí)性考試·5)2021年5月15日，天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器著陸火星取得成功，邁出了我國(guó)星際探測(cè)征程的重要一步，在火星上首次留下國(guó)人的印跡。天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器成功發(fā)射后，順利被火星捕獲，成為我國(guó)第一顆人造火星衛(wèi)星。經(jīng)過(guò)軌道調(diào)整，探測(cè)器先沿橢圓軌道Ⅰ運(yùn)行，之后進(jìn)入稱為火星停泊軌道的橢圓軌道Ⅱ運(yùn)行，如圖6所示，兩軌道相切于近火點(diǎn)P，則天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器

( )

圖6

A.在軌道Ⅱ上處于受力平衡狀態(tài)

B.在軌道Ⅰ運(yùn)行周期比在Ⅱ時(shí)短

C.從軌道Ⅰ進(jìn)入Ⅱ在P處要加速

D.沿軌道Ⅰ向P飛近時(shí)速度增大

【答案】D

【例8】(多選)如圖7為發(fā)射某衛(wèi)星的示意圖，P、Q分別為該衛(wèi)星橢圓軌道Ⅰ上的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)，軌道Ⅰ、Ⅱ相切于Q點(diǎn)，則

( )

圖7

A.衛(wèi)星在軌道Ⅱ上的運(yùn)行周期大于在軌道Ⅰ上的運(yùn)行周期

B.衛(wèi)星在軌道Ⅱ上的線速度大于7.9 km/s

C.在軌道Ⅰ上，衛(wèi)星在P點(diǎn)的加速度大于在Q點(diǎn)的加速度

D.衛(wèi)星在軌道Ⅰ上具有的機(jī)械能等于在軌道Ⅱ上具有的機(jī)械能

【答案】AC

【總結(jié)】衛(wèi)星的變軌問(wèn)題及衛(wèi)星的發(fā)射與回收問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是衛(wèi)星軌道半徑變大或變小的問(wèn)題。公式③仍然適用，利用中心天體質(zhì)量不變可確定公式③中每一項(xiàng)都不變，再利用r的變化可確定其他幾個(gè)物理量的變化。但要注意兩點(diǎn)，一是衛(wèi)星在變軌瞬間要做離心或近心運(yùn)動(dòng)，就需要在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行加速或者減速，因此在沒有進(jìn)行加速或減速時(shí)，由于只有萬(wàn)有引力做功，故衛(wèi)星的機(jī)械能守恒；在發(fā)射衛(wèi)星或者加速后，衛(wèi)星的機(jī)械能將增加；在回收衛(wèi)星或者減速后，衛(wèi)星的機(jī)械能將減小。二是涉及速度時(shí)，要區(qū)分是發(fā)射速度還是運(yùn)行速度，是瞬時(shí)速度還是穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)的速度。

三、總結(jié)與展望

在高考中有關(guān)天體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題多數(shù)是以選擇題的形式進(jìn)行考查，只需要得到最后的結(jié)果，而不用展示分析過(guò)程，所以在考試過(guò)程中，只需要將題目中的物理情境對(duì)應(yīng)到筆者總結(jié)的“形”中，再將題目給出的已知量和需要求解的量對(duì)應(yīng)到“數(shù)”中，找到對(duì)應(yīng)的項(xiàng)建立等式，就可以快速準(zhǔn)確地解決問(wèn)題。筆者對(duì)一“數(shù)”一“形”相結(jié)合的方法進(jìn)行了大量的解題實(shí)踐驗(yàn)證，并指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用此方法來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題，不斷收集學(xué)生運(yùn)用此方法時(shí)所遇到的各種問(wèn)題，并對(duì)此方法進(jìn)行修正和完善，最終得到現(xiàn)有的結(jié)論。實(shí)踐證明，此方法能夠很好地解決天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，更為重要的是有利于培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想方法分析處理物理問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的物理核心素養(yǎng)。